直线中的几类对称问题

直线中的几类对称问题
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一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.
例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解，也可以用动点轨迹法直接求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|
1611|++=++c ，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B （8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法三 设点M （x,y ）是所求直线上的任意点，则点M （x,y ）关于点P （0,1）对称后的点M ′在直线2x+11y+16=0上。

四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称问题，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答，也可以直接转化为点关于点对称的问题。

解法一 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），
将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.
解法二 利用距离相等求解
解法三 转化为点关于点对称求解
例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点 ( )
2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是 ( )
3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是
4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，A B 仅有两个元素，则实数a 的范围是 .
5.不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-恒过定点 .
6.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

7.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是
1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程。

8.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标.
9.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程.
10.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程.
11.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使P A P B + 最小，并求出最小值.
1.一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .
()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.
2.求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.
3.根据下列条件，求直线的直线方程
()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；
()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.
4.()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围.
()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围. ()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈
求证：不论λ取何值，点P 到直线l。