2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{3N =，4}，则
()(U
M N =
) A ．{5} B ．{1，2} C ．{3，4} D ．{1，2，3，4} 2．设43iz i =+，则(z = )
A ．34i --
B ．34i -+
C ．34i -
D ．34i +
3．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x <；命题:q x R ∀∈，||1x e ，则下列命题中为真命题的是(
)
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∨
4．函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是( )
A ．3π
B ．3π和2
C ．6π
D ．6π和2
5．若x ，y 满足约束条件4,
2,3,x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
则3z x y =+的最小值为( )
A ．18
B ．10
C ．6
D ．4
6．2
2
5cos cos (1212
π
π
-= ) A ．12
B
C
．
2
D
7．在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于1
3
的概率为( )
A ．34
B ．23
C ．13
D ．1
6
8．下列函数中最小值为4的是( )
A ．224y x x =++
B ．4|sin ||sin |y x x =+
C ．222x x y -=+
D ．4
y lnx lnx
=+
9．设函数1()1x
f x x
-=+，则下列函数中为奇函数的是( )
A ．(1)1f x --
B ．(1)1f x -+
C ．(1)1f x +-
D ．(1)1f x ++
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( )
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6
π
11．设B 是椭圆22:15
x
C y +=的上顶点，点P 在C 上，则||PB 的最大值为( )
A ．52
B
C
D ．2
12．设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A ．a b <
B ．a b >
C ．2ab a <
D ．2ab a >
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= ．
14．双曲线22
145
x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 ．
15．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒，223a c ac +=，
则b = ．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有旧设备
9.8
10.3
10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
x y 21s 和
22s ．
（1）求x ，y ，21s ，22s ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
22
12
210
s s y x +-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不
认为有显著提高）．
18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．
（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；
（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．
19．（12分）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3
n
n na b =，已知1a ，23a ，39a 成等差数列．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2
n
n S T <
． 20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．
（1）求C 的方程；
（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值． 21．（12分）已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为(2,1)C ，半径为1． （1）写出C 的一个参数方程；
（2）过点(4,1)F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|||3|f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围．
2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{3N =，4}，则
()(U
M N =
) A ．{5}
B ．{1，2}
C ．{3，4}
D ．{1，2，3，4} 【思路分析】利用并集定义先求出M N ，由此能求出
()U
M
N ．
【解析】：全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{3N =，4}， {1M N ∴=，2，3，4}， (){5}U
M
N ∴
=．
故选：A ．
【归纳总结】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 2．设43iz i =+，则(z = ) A ．34i --
B ．34i -+
C ．34i -
D ．34i +
【思路分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解析】：解法一：由43iz i =+，得2
2
43(43)()3434i i i z i i i i i ++-===--=--．
故选：C ．
解法二：（山西运城刘丽补解）：等式两边同乘ｉ可得43z i -=-。

两边再同乘1-即得结果为34i -，故选：C ．
【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x <；命题:q x R ∀∈，||1x e ，则下列命题中为真命题的是(
)
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∨
【思路分析】先分别判断命题p 和命题q 的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．
【解析】：对于命题:p x R ∃∈，sin 1x <，
当0x =时，sin 01x =<，故命题p 为真命题，p ⌝为假命题； 对于命题:q x R ∀∈，||1x e ，
因为||0x ，又函数x y e =为单调递增函数，故||01x e e =， 故命题q 为真命题，q ⌝为假命题，
所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧为假命题，p q ∧⌝为假命题，()p q ⌝∨为假命题， 故选：A ．
【归纳总结】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
4．函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是( )
A ．3π和2
B ．3π和2
C ．6π和2
D ．6π和2
【思路分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
【解析】：()sin cos 2sin()3334
x x x f x π
=+=+，
2613T ππ∴==．
当sin()134
x π
+=时，函数()f x 取得最大值2；
∴函数()f x 的周期为6π，最大值2． 故选：C ．
【归纳总结】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．若x ，y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
则3z x y =+的最小值为( )
A ．18
B ．10
C ．6
D ．4
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：由约束条件作出可行域如图，
联立34
y x y =⎧⎨+=⎩，解得(1,3)A ，
由3z x y =+，得3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3136⨯+=． 故选：C ．
【归纳总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
6．225cos cos (1212
ππ
-= )
A ．1
2 B
3 C 2 D 3
【思路分析】直接利用二倍角的余弦化简求值即可．
【解析】：解法一：2
2
5cos cos
12
π
π
-51cos
1cos
6622π
π
++=-
11115cos cos 226226
ππ=
+-- 11(22=⨯=
．故选：D ． 解法二：（山西运城刘丽补解）：2
2
5cos cos 1212
π
π
-22cos sin cos 12126πππ=-==
【归纳总结】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．
7．在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于1
3
的概率为( )
A ．34
B ．23
C ．13
D ．1
6
【思路分析】我们分别计算出区间1(0,)2和1
(0,)3
的长度，代入几何概型概率计算公式，即
可得到答案．
【解析】：由于试验的全部结果构成的区域长度为11
022
-=，
构成该事件的区域长度为11
033
-=，
所以取到的数小于1
3
的概率1
23132
P ==．
故选：B ．
【归纳总结】本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题． 8．下列函数中最小值为4的是( ) A ．224y x x =++
B ．4
|sin ||sin |
y x x =+
C ．222x x y -=+
D ．4y lnx lnx
=+
【思路分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A ，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B ，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C ，利用特殊值验证，即可判断选项D ．
【解析】：对于A ，2224(1)33y x x x =++=++， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误； 对于B ，因为0|sin |1x <，所以4|sin |2|sin |4|sin |y x x x =+=，
当且仅当4
|sin ||sin |
x x =
，即|sin |2x =时取等号， 因为|sin |1x ，所以等号取不到，
所以4
|sin |4|sin |y x x =+
>，故选项B 错误； 对于C ，因为20x >，所以244
22222422x x x x x
x
y -=+=+⋅
=， 当且仅当22x =，即1x =时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C 正确；
对于D ，因为当1
x e
=时，1414541y ln e ln e =+
=--=-<， 所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．． (详解D) 当x>1时，lnx>0,所以4
y lnx lnx
=
+
4=（当且仅当lnx=2即x=2
e 时取等号）；
当0<x<1时，lnx<0,所以4y lnx lnx =+4[)()]lnx lnx
=--+-
（
4-（当且仅当lnx=-2即x=2
1e
取等号），综上，4
y lnx lnx =+),4[]4+∞⋃-∞-∈，（,所以选项D 错 故选：C ．
【归纳总结】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．
9．设函数1()1x
f x x
-=+，则下列函数中为奇函数的是( )
A ．(1)1f x --
B ．(1)1f x -+
C ．(1)1f x +-
D ．(1)1f x ++
【思路分析】先根据函数()f x 的解析式，得到()f x 的对称中心，然后通过图象变换，使得
变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．
【解析】：因为1(1)22
()1111
x x f x x x x --++===-+
+++， 所以函数()f x 的对称中心为(1,1)--，
所以将函数()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位， 得到函数(1)1y f x =-+，该函数的对称中心为(0,0)， 故函数(1)1y f x =-+为奇函数． 故选：B ．
【归纳总结】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定()f x 的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( )
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6
π
【思路分析】由11//AD BC ，得1PBC ∠是直线PB 与1AD 所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线PB 与1AD 所成的角． 【解析】：
11//AD BC ，1PBC ∴∠是直线PB 与1AD 所成的角（或所成角的补角）
， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，
则11PB PC =
1BC ==
BP ，
2221111cos 2PB BC PC PBC PB BC +-∴∠===⨯⨯，
16
PBC π
∴∠=
，
∴直线PB 与1AD 所成的角为
6
π． 故选：D ．
【归纳总结】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．
11．设B 是椭圆2
2:15
x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则||PB 的最大值为( )
A ．52
B 6
C 5
D ．2
【思路分析】求出B 的坐标，设(5P θ，sin )θ，利用两点间距离公式，结合三角函数
的有界性，转化求解距离的最大值即可．
【解析】：解法一：B 是椭圆2
2:15
x C y +=的上顶点，所以(0,1)B ，
点P 在C 上，设(5P θ，sin )θ，[0θ∈，2)π，
所以222||(5cos 0)(sin 1)42sin 2PB cos θθθθ-+--+ 22125
42sin 64(sin )44
sin θθθ=--+-++
当1sin 4θ=-时，||PB 取得最大值，最大值为5
2
．
故选：A ．
解法二：（安徽滁州刘家范补解）：B 是椭圆2
2:15
x C y +=的上顶点，所以(0,1)B ，
设P ),(00y x ,因为点P 在C 上，所以2200:15
x C y +=，PB 2
=202)1()0(0-+-y x
=5（1-20y ）+20y -20y +1=-420y -20y +6=-4（0y +41）+4
25，因为-1
y 1，所以
当
y = —
41时，PB 2
最大值为4
25，，即PB 最大值为52
【归纳总结】本题考察的考点时椭圆的基本性质（纵坐标的范围），利用二次函数求最值的的方法，考查划归转化思想和计算能力，属中档题。

12．设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A ．a b <
B ．a b >
C ．2ab a <
D ．2ab a >
【思路分析】分0a >及0a <，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a ，b 的大小关
系，进而得出答案．
【解析】：令()0f x =，解得x a =或x b =，即x a =及x b =是()f x 的两个零点，
当0a >时，由三次函数的性质可知，要使x a =是()f x 的极大值点，则函数()f x 的大致图象如下图所示，
则0a b <<； 当0a <时，由三次函数的性质可知，要使x a =是()f x 的极大值点，则函数()f x 的大致图
象如下图所示，
则0b a <<； 综上，2ab a >． 故选：D ．
【归纳总结】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= 8
5
．
【思路分析】根据题意，由//a b ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．
【解析】：因为(2,5)a =，(,4)b λ=，//a b ，
所以850λ-=，解得8
5
λ=．
故答案为：8
5
．
【归纳总结】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
14．双曲线22
145
x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 5 ．
【思路分析】求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解析】：双曲线22
145
x y -=的右焦点(3,0)，
所以右焦点到直线280x y +-=的距离为22|308|
512
d +-==+．
故答案为：5．
【归纳总结】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．
15．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b = 22 ．
【思路分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b 的方程，解方程可得． 【解析】：
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒，
223a c ac +=，
∴
1
sin 32
ac B =⇒2213341222ac ac a c ⨯
=⇒=⇒+=， 又222cos 2a c b B ac +-=⇒2
1122228
b b -=⇒=，
（负值舍） 故答案为：22．
【归纳总结】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 ②⑤或③④ （写出符合要求的一组答案即可）．
【思路分析】通过观察已知条件正视图，确定该三棱锥的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．
【解析】：观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，
④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，
当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，
当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④． 故答案为：②⑤或③④．
【归纳总结】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，
以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有
x y 21s 和
22s ．
（1）求x ，y ，21s ，22s ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
21210
s s y x +-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不
认为有显著提高）．
【思路分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；
（2）比较y x -与
【
解析】：（1）由题中的数据可得，
1
(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)1010x =⨯+++++++++=，
1
(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.310y =⨯+++++++++=，
222222211
[(9.810)(10.310)(1010)(10.210)(9.910)(9.810)10
s =⨯-+-+-+-+-+-
2222(1010)(10.110)(10.210)(9.710)]0.036+-+-+-+-=；
2
2222221[(10.110.3)(10.410.3)(10.110.3)(10.010.3)(10.110.3)10
s =⨯-+-+-+-+-
22222(10.310.3)(10.610.3)(10.510.3)(10.410.3)(10.510.3)]0.04+-+-+-+-+-=；
解法二：（安徽滁州刘家范补快速解）：
1
10(0.20.300.20.10.200.10.20.3)1001010x =+⨯-+++--+++-=+=，
1
10(0.10.40.100.10.30.60.50.40.5)100.310.310
y =+⨯+++++++++=+=，
（2）10.3100.3y x -=-=，
0.174=≈，
所以y x ->
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
【归纳总结】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，
考查了运算能力，属于基础题．
18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．
（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；
（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．
【思路分析】（1）通过线面垂线即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．
（2）根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P ABCD -的高，利用体积公式计算即可． 【解答】（1）证明：
PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，
PD AM ∴⊥，
又PB AM ⊥， PD
PB P =，PB ，PD ⊂平面PBD ．
AM ∴⊥平面PBD ． AM ⊂平面PAM ，
∴平面PAM ⊥平面PBD ；
（2）解：由PD ⊥底面ABCD ，
PD ∴即为四棱锥P ABCD -的高，DPB ∆是直角三角形；
ABCD 底面是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．
设2AD BC a ==，取CP 的中点为F ．因为点E 是CD 中点，连接MF ，AF ，EF ，AE ， 可得//MF PB ，//EF DP ， 那么AM M F ⊥．且1
2
EF =
．2144AE a =+21AM a +22AF EF AE =+
那么AMF ∆是直角三角形，
DPB ∆是直角三角形，
∴根据勾股定理：2
24BP a =+，则2
24a MF +=；
由AMF ∆是直角三角形， 可得222AM MF AF +=， 解得2a ． 底面ABCD 的面积2S =
则四棱锥P ABCD -的体积112
12333
V h S =⋅⋅=⨯⨯=．
解法二：（安徽滁州刘家范补解第二小题）：
由（1）知：AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，∴AM ⊥BD 设AM ⋂BD =O,底面ABCD 是矩形，
∴AD //BC,易证：∆OAD ∽∆OMB,又M 为中点， ∴
2
1
===AD MB OA OM OD OB ， 若设BC=x,1DC =由,得BM=
21x, OB=31BD=1x 3
12+， OM=31AM=14
x 312
+，
∴∆OMB 中，2
2
2
OD OB BD =+，即）
（1x 912++）（14x 912+=4
1
x 2， 解得：2底面ABCD 的面积2S =
则四棱锥P ABCD -的体积112
1233V h S =⋅⋅=⨯=
【归纳总结】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3
n
n na b =，已知1a ，23a ，39a 成等差数列．
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2
n
n S T <
． 【思路分析】（1）根据1a ，23a ，39a 成等差数列，{}n a 是首项为1的等比数列，求出公比q ，
进一步求出{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出n S 和n T ，再利用作差法证明
2n n S T <．
【解析】：（1）1a ，23a ，39a 成等差数列，21369a a a ∴=+， {}n a 是首项为1的等比数列，设其公比为q ，
则2619q q =+，1
3
q ∴=，
1111
()3
n n n a a q --∴==，
1
()33
n n n na b n ∴==⋅．
（2）证明：由（1）知11()3n n a -=，1
()3
n n b n =⋅，
∴11
1[1()]
3113()122313n n n S -⨯-=
=-⨯-， 12111
1()2()()333n n T n =⨯+⨯+⋯+⋅，①
∴2311111
1()2()()3333
n n T n +=⨯+⨯+⋯+⋅，② ①-②得，12111
[1()]()3233n n n T n +=--，
∴13111
()()44323n n n n T -=-⨯-，
113111311
()()[()]024*******n n n n n S n T --∴-=-⨯-⋅--⨯<，
2
n n S T ∴<．
【归纳总结】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位
相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题． 20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；
（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值． 【思路分析】（1）根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程， （2）设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．
【解答】（1）解：由题意知，2p =，
24y x ∴=．
（2）解法一：由（1）知，抛物线2:4C y x =，(1,0)F ， 设点Q 的坐标为(,)m n ， 则(1,)QF m n =--， 9(99,9)PQ QF m n ==--
P ∴点坐标为(109,10)m n -，
将点P 代入C 得21004036n m =-，
整理得22100362594010
n n m ++==
， ∴210101
92593
25n n K m n n n
===++，当3n =时取最大值．
故答案为：1
3
．
解法二：（安徽滁州刘家范另解）：
)2
10259
n n K m n ==+，同乘以分母可得：225910n K n +=（）， 整理得2251090Kn n K +=-，当K=0时，n=0;当K ≠0时,n 有根，0≥∆，解得：
0k 3
1k 31≠≤≤-且，综上：31k 3
1≤≤-，所以k 的最大值为13故答案为：13． 【归纳总结】本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题． 21．（12分）已知函数32()1f x x x ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．
【思路分析】（1）对函数()f x 求导，分13a 及1
3
a <讨论导函数与零的关系，进而得出()
f x 的单调性情况；
（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线()y f x =联立，即可求得公共点坐标．
【解析】：（1）2()32f x x x a '=-+，△412a =-，
①当△0，即1
3
a 时，由于()f x '的图象是开口向上的抛物线，故此时()0f x '，则()f x 在
R 上单调递增；
②当△0>，即1
3
a <
时，令()0f x '=，解得12x x =
， 令()0f x '>，解得1x x <或2x x >，令()0f x '<，解得12x x x <<，
()f x ∴在1(,)x -∞，2(x ，)+∞单调递增，在1(x ，2)x 单调递减；
综上，当13a 时，()f x 在R 上单调递增；当1
3
a <时，()f x 在
()-∞+∞单调递增，在单调递减．
（2）设曲线()y f x =过坐标原点的切线为l ，切点为
3220000000(,1),()32x x x ax f x x x a '-++=-+，
则切线方程为322000000(1)(32)()y x x ax x x a x x --++=-+-， 将原点代入切线方程有，3200210x x --=，解得01x =，
∴切线方程为(1)y a x =+，
令321(1)x x ax a x -++=+，即3210x x x --+=，解得1x =或1x =-，
∴曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标为(1,1)a +和
(1,1)a ---．
【归纳总结】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为(2,1)C ，半径为1．
（1）写出C 的一个参数方程；
（2）过点(4,1)F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【思路分析】（1）求出C 的标准方程，即可求得C 的参数方程；
（2）求出直角坐标系中的切线方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解这两条切线的极坐标方程．
【解析】：（1）C 的圆心为(2,1)C ，半径为1， 则C 的标准方程为22(2)(1)1x y -+-=， C 的一个参数方程为2cos (1sin x y θ
θθ=+⎧⎨
=+⎩
为参数）． （2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为1(4)y k x -=-，即410kx y k --+=， 圆心(2,1)C
到切线的距离1d ==
，解得k =，
所以切线方程为4)1y x =-+， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，
所以这两条切线的极坐标方程为sin cos 4)1ρθρθ=-+． 【归纳总结】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能
力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|||3|f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围．
【思路分析】（1）将1a =代入()f x 中，根据()6f x ，利用零点分段法解不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式可得()|3|f x a +，然后根据()f x a >-，得到|3|a a +>-，求出a 的取值范围．
【解析】：（1）当1a =时，22,3
()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x ---⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪+⎩，
()6f x ，∴3
22
6x x -⎧⎨
--⎩或31
46x -<<⎧⎨⎩或1226x x ⎧⎨+⎩
， 4x ∴-或2x ，
∴不等式的解集为(-∞，4]
[2-，)+∞．
（2）()|||3|
|3||3|f x x a x x a x a =-++---=+，若()f x a >-，则|3|a a +>-，
两边平方可得2269a a a ++>，解得3
2
a >-，即a 的取值范围是3(2-，)+∞．
【归纳总结】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。