(易错题精选)初中数学向量的线性运算知识点总复习有答案解析(1)

（易错题精选）初中数学向量的线性运算知识点总复习有答案解析(1)
一、选择题
1．下列说法正确的是（）．
A．一个向量与零相乘，乘积为零
B．向量不能与无理数相乘
C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的定义和性质进行判断．
【详解】
解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；
B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.
故答案是：D.
【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
2．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF 过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案．
【详解】
根据相等向量的定义，分析可得，
A. 方向不同，错误，
B. 方向不同，错误，
C. 方向相反，错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，正确；
故选D.
【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
3．已知向量，且则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B． A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【解析】
【分析】
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点
【详解】
解：由向量的加法原理知
所以A、B、D三点共线.
【点睛】
本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.
4．下列命题中，真命题的个数为( )
①方向相同②方向相反
③有相等的模④方向相同
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.
【详解】
解：对于①，若，则方向相同，①正确；
对于②，若，则方向相反，②正确；
对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.
所以正确命题的个数是2个，故选:C.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
5．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.
【详解】 ∵ ∴ ∵
∴
故本题答案选B. 【点睛】
本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
6．下列等式正确的是（ ）
A ．A
B u u u r +B
C uuu
r ＝CB u u u r +BA u u u r
B ．AB u u u r
﹣BC uuu r ＝AC u u u r
C ．AB u u u r +BC uuu
r +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuu
r ﹣AC u u u r ＝0r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形法则即可判断. 【详解】
∵AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
，
∴0AB BC AC AC AC +-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.
7．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a r r
+-=
B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r
C ．()
-=+-r r r r
a b a b
D ．()()++=++r r r r r r
a b c a b c
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】
解：A. ()0a a v
v v
+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
8．若AB u u u r
是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A ．A
B BA =u u u r u u u r ；
B ．AB BA u u u v u u u v =；
C ．0AB BA +=u u u r u u u r
；
D ．0AB BA +=u u u r u u u r
.
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r
是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】
此题考查平面向量，难度不大
9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝
B ．++＝0
C ．
+
＝
D ．
+
＝
【答案】C 【解析】 【分析】
由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】
由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,
+
＝
故选：B. 【点睛】
此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.
10．下列判断不正确的是（ ）
A ．如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u r u u u r
B ．+＝+
C ．如果非零向量a b(0)k k
=坠r r
，那么a r 与b r
平行或共线
D ．AB BA 0+=u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的
知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r
可判断D 错误
【详解】
A 、如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；
B 、a b b a +=+r r r r
，故本选项正确；
C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r
平行或共线，故此选项正确；
D 、0AB BA +=u u u r u u u r r
，故此选项错误；
故选：D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键
11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r
，那么下列说法中，错误的是
（ ）
A ．//a b r r
B ．a b =r r
C ．72
BD =
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】
解：已知2a c v v ＝，2b c -v v ＝，故a b v v ，是长度相同，方向相反的相反向量，
故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误，
故选C. 【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.
12．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD n ==u u u r u u u r r
，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u
r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r ()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
13．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r
表示向量b r
正确的是（ ）
A ．b r ＝32
a r
B ．b r ＝23a r
C ．b r ＝﹣32a r
D ．b r ＝-23
a r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件得到非零向量a r
、b r
的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题． 【详解】
∵2|a r
|=3|b r |，∴|b r
|23
=
|a r |． 又∵非零向量a r 与b r
的方向相同，∴23
b a =r r ．
故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
14．下列命题正确的是（ ）
A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相
等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r
，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
15．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r
的方向关系是（ ） A ．a r
∥b r
，并且a r 和b r
方向一致 B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r
方向相反 C ．a r 和b r
方向互相垂直 D ．a r 和b r
之间夹角的正切值为5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解】
∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ， ∴a r ∥b r ，a r 与b r
的方向相反，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，下列
式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+u u u r r r
B ．D
C a b =-u u u r r r
； C ．DC a b =-+u u u r r r
D ．DC a b =--u u u r r r
．
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
，代入计算即可得到答案. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r
，
∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，
在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r
u u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r
r r
r
， ∴DC a b =-+u u u r r r
； 故选择：C. 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a r +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可
以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ． m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
19．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
20．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r
，那么向量AE u u u r
用向量a b
r
r
、表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b -r r
C ．12
a b -+r
r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r
即可解决问题. 【详解】
解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2
∴=u u u r r ，
AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，
1AE a b 2
∴=+u u u r r r ， 故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.。