江苏省启东中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项经典习题(答案解析)

一、解答题
1．线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF．
解析：【分析】
根据题意和图形可以求得线段EB、BC、CF的长，从而可以得到线段EF的长．
【详解】
∵E，F分别是线段AB，CD的中点，
∴AB=2EB=2AE，CD=2CF=2FD，
∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4，
∴AC+2CF=6，
解得，CF=1，
同理可得：EB=1，
∴BC=2，
∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．
【点睛】
此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．（1）如图，AC=DB，请你写出图中另外两条相等的线段．
（2）在一直道边植树8棵，若相邻两树之间距离均为1.5m，则首尾两颗大树之间的距离是_____．
解析：(1)AB=CD；(2)10.5m.
【分析】
（1）根据等式的性质即可得出结论；
（2）8棵树之间共有7段距离，从而计算即可．
【详解】
（1）因为AC=BD，∴AC－BC=DB－BC，即AB=CD．
（2）设首尾之间的距离为x，由8棵树之间共有7段间隔，可得x=7×1.5=10.5（m）．
故答案为：10.5m．
【点睛】
本题考查了等式的性质及线段的计算，属于基础题，明白8棵树之间的间隔是关键．3．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？
(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．
(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.解析：如图①，（1）见解析，理由：两点之间线段最短；（2）见解析.
【分析】
（1）先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由A爬到G的最短途径．（2）分情况讨论，作图解答即可.
【详解】
（1）如图①，理由：两点之间线段最短．
（2）如图②，这种最短路线有4条．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图和最短路线问题，把几何体展开为平面图形是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
4．已知A，B，C三点，他们所表示的数分别是5， 3，a.
(1)求线段AB的长度AB；
(2)若AC=6，求a的值；
(3)若d=3a ++5a -，求d 的最小值，并判定d 与AB .
解析：（1）8；（2）a =11或－1；（3）8，d =AB ．
【分析】
（1）线段AB 的长等于A 点表示的数减去B 点表示的数；
（2）AC =|A 点表示的数－C 点表示的数|，然后解方程即可；
（3）要想使d 的最小，点C 一定在A 、B 两点之间，且最小值为8．
【详解】
（1）AB =5－（－3）=8；
（2）AC =5a -=6，解得：a =11或－1；
即在数轴上，若 C 点在A 点左边，则a =－1，若C 点在A 点右边，则a =11；
（3）要想使d 的最小，点C 一定在A 、B 两点之间，且最小值为8，所以d =AB ．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴上求线段长度的方法，找出等量关系，解决问题．
5．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A 处发现一只虫子在D 处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI 方向爬行，蚂蚁预想在点I 处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.
解析：第一问：如图沿线段AD 爬行；第二问取线段E J 的中点M ，连结AM 和MI ，此路线为蚂蚁爬行的路线．
【分析】
根据两点之间线段最短，结合图形得出蚂蚁爬行的路线．
【详解】
解：第一问：如图沿线段AD 爬行；
第二问取线段E J 的中点M ，连结AM 和MI ，此路线为蚂蚁爬行的路线．
理由都是：两点之间线段最短．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图与两点之间线段最短，利用展开图的性质得出答案是解题的关键．
6．如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：
（1）与面B、面C相对的面分别是和；
（2）若A＝a3+1
5
a2b+3，B＝﹣
1
2
a2b+a3，C＝a3﹣1，D＝﹣
1
5
（a2b+15），且相对两个面
所表示的代数式的和都相等，求E、F代表的代数式．
解析：（1）面F，面E；（2）F＝1
2
a2b，E＝1
【分析】
（1）根据“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E，
（2）根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，三组对面为：A与D，B与F，C与E，列式计算即可.
【详解】
（1）由“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E.
故答案为：面F，面E.
（2）由题意得：A与D相对，B与F相对，C与E相对，
A+D=B+F=C+E
将A=a3
1
5
+a2b+3，B1
2
=-a2b+a3，C=a3﹣1，D
1
5
=-(a2b+15)代入得：
a3
1
5
+a2b+3
1
5
-(a2b+15)
1
2
=-a2b+a3+F=a3﹣1+E，
∴F1
2
=a2b，E=1.
【点睛】
本题考查了正方体的展开与折叠，整式的加减，掌握正方体展开图的特点和整式加减的计算方法是正确解答的前提.
7．已知AOB m ∠=，与AOC ∠互为余角，与BOD ∠互为补角，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，
（1）如图，当35m =时，求AOM ∠的度数；
（2）在（1）的条件下，请你补全图形，并求MON ∠的度数；
（3）当AOB ∠为大于30的锐角，且AOC ∠与AOB ∠有重合部分时，请求出MON ∠的度数.（写出说理过程，用含m 的代数式表示）
解析：(1)27.5°；(2) 135°或10°；(3) 2135︒-︒m 或45+︒︒m 或1352︒-︒m .
【分析】
(1)根据题目已知条件OM 平分AOC ∠，得出∠COM=∠MOA ，因35m =即可求出.
(2)∠AOB 和∠BOD 互补，分两种情况讨论，第一种情况是∠AOB 和∠BOD 没有重合部分时，第二种情况是∠AOB 和∠BOD 有重合部分时，再根据题目已知条件求解.
(3)根据题目要求画出符合题目的图，在根据题目给出的已知条件求解.
【详解】
解：(1)∠AOB=35°∵OM 平分AOC ∠
∴∠COM=∠MOA=()9035227.5︒-︒÷=︒
(2)当∠AOB 和∠BOD 没有重合部分时
如图所示∵∠AOB=35°，∠AOB 与∠BOD 互补
∴∠AOB+∠BOD=180°
∵ON 平分BOD ∠
∴∠BON=∠NOD=()18035272.5︒-︒÷=︒
∴∠MON=∠NOB+∠BOA+∠AOM=72.5+35+27.5=135︒︒︒︒
当∠AOB 和∠BOD 有重合部分时
由(1)知∠MOA=27.5°，∠AOB=35°
∠AOB 与∠BOD 互补
∴∠AOB+∠BOD=180°
∠BOD=180°-35°=145°
同理可得：∠NOB=72.5°
∠MON=72.5°-27.5°-35°=10°
∴∠MON=135°或10°
(3)如图所示
因为∠AOB ∠AOC 互余，AOB m ∠=
∴∠AOC=90︒-m
∵OM 平分AOC ∠
∴∠COM=∠MOA=()902=452︒︒-÷︒-
m m ∵∠OB 与∠BOD 互补
∴∠AOB+∠BOD=180°ON 平分BOD ∠
∴∠CON=∠NOD=()1802902︒︒-÷=︒-
m m ∴∠NAO=3909022
︒︒--︒=︒-m m m ∴∠MON=390+45135222
︒-︒-=︒-︒m m m
同理可得∠MON=45+︒︒m
同理可得∠MON=2135︒-︒m
∴∠MON=2135︒-︒m 或45+︒︒m 或1352︒-︒m
【点睛】
本题主要考查的是余角和补角的定义以及角平分线的应用，再做题之前一定要思考清楚需要分几个情况，再根据已知条件解出每种情况.
8．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1,2
COA BOC ∠=∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．
例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则
12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于12
BOD AOD ∠=∠，称射线OD 是射线OB 的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；
②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40︒，16α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【分析】
（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】
（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线， 根据题意，12AOM BOM ∠=∠，则111204033
AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=∠=∠=，1122
BOC AOB α∠=∠=， ∴111236NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=
-=； 故答案为：40︒，1
6
α； （2）射线OD 与OA 重合时，180365
t =
=（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能： 若在相遇之前，则1805320t t --=，
∴20t =；
若在相遇之后，则5318020t t +-=，
∴25t =；
所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°；
②相遇之前：
（i ）如图1，
OC 是OA 的伴随线时，则12AOC COD ∠=∠， 即()13180532t t t =
--， ∴907
t =； （ii ）如图2，
OC 是OD 的伴随线时，
则12
COD AOC ∠=∠， 即11805332t t t --=
⨯， ∴36019
t =
； 相遇之后： （iii ）如图3，
OD 是OC 的伴随线时，
则12
COD AOD ∠=∠， 即()153********t t t +-=
-， ∴1807
t =； （iv ）如图4，
OD 是OA 的伴随线时，则12AOD COD ∠=
∠， 即()118053t 5t 1802t -=
+-， ∴30t =； 所以，综上所述，当907t =，36019，1807
，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
9．（1）已知一个角的补角比它的余角的3倍多10︒，求这个角的度数．
（2）已知α∠的余角是β∠的补角的
13，并且32βα∠=∠，试求a β∠+∠的度数． 解析：（1）50°；（2）150°
【分析】
（1）设这个角为α，则补角为（180°-α），余角为（90°-α），再由补角比它的余角的3倍多10°，可得方程，解出即可；
（2）根据互余和互补的定义，结合已知条件列出方程组，解方程组得到答案．
【详解】
（1）设这个角为α，根据题意，得 18039010()a α︒-=︒-+︒．
解得：50α=︒．
答：这个角的度数为50︒．
（2）根据题意，得190(180)3αβ︒︒-∠=
⨯-∠且32βα∠=∠， ∴60α∠=︒，90β∠=︒．
∴ 150αβ∠+∠≡︒．
【点睛】
本题考查的是余角和补角的概念，掌握若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．
10．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形
不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.
解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．
【分析】
（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；
（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）多余一个正方形，如图所示：
（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，
体积为：23
58200()cm ⨯=
【点睛】
本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
11．如图，A 、B 、C 三点在一条直线上，根据图形填空：
（1）AC ＝ + + ；
（2）AB ＝AC ﹣ ；
（3）DB+BC ＝ ﹣AD
（4）若AC ＝8cm ，D 是线段AC 中点，B 是线段DC 中点，求线段AB 的长．
解析：（1）AD ，DB ，BC ；（2）BC ；（3）AC ；（4）6cm ．
【分析】
（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；
（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；
（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；
（4）AD 和CD 的长度相等并且都等于AC 的一半，DB 的长度为CD 长度的一半即为AC 长度的四分之一．AB 的长度等于AD 加上DB ，从而可求出AB 的长度．
【详解】
（1）AC＝AD+DB+BC
故答案为：AD，DB，BC；
（2）AB＝AC﹣BC；
故答案为：BC；
（3）DB+BC＝DC=AC﹣AD
故答案为：AC；
（4）∵D是AC的中点，AC＝8时，AD＝DC＝4
B是DC的中点，
∴DB＝2
∴AB＝AD+DB
＝4+2，
＝6（cm）．
【点睛】
本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．
12．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图．
（1）画直线AB、CD交于E点；
（2）画线段AC、BD交于点F；
（3）连接E、F交BC于点G；
（4）连接AD，并将其反向延长；
（5）作射线BC．
解析：见解析．
【分析】
（1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD；交点处标点E；
（2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F；
（3）连接AD并从D向A方向延长即可；
（4）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长．
【详解】
解：所求如图所示：
．
【点睛】
本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．
13．如图所示，A，B两条海上巡逻船同时在海面发现一不明物体，A船发现该不明物体在他的东北方向（从靠近A点的船头观测），B船发现该不明物体在它的南偏东60 的方向上（从靠近B点的船头观测），请你试着在图中确定这个不明物体的位置．
解析：见解析
【分析】
根据题意这个不明物体应该在这两个方向的交叉点上，根据图示方向在A点向东北方向作一条线，在B点向南偏东60°方向作一条线，交点即是．
【详解】
根据题意，分别以A和B所在位置作出不明物体所在它们的方向上的射线，
两线的交点D即为不明物体所处的位置．
如图所示，点D即为所求：
．
【点睛】
本题考查了方位角在生活中的应用，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
14．如图是由几个完全相同的小立方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体从正面和左面看到的形状图.
解析：见解析.
【解析】
【分析】
由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为１，４，２；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为３，４，２．据此可画出图形．
【详解】
解：如图所示.
【点睛】
本题考查了作图-三视图， 由三视图判断几何体，能根据俯视图对几何体进行推测分析,有一定的挑战性,关键是从俯视图中得出几何体的排列信息.
15．已知：如图，18cm AB =，点M 是线段AB 的中点，点C 把线段MB 分成:2:1MC CB =的两部分，求线段AC 的长．
请补充下列解答过程：
解：因为M 是线段AB 的中点，且18cm AB =，
所以AM MB ==________AB =________cm ．
因为:2:1MC CB =，
所以MC =________MB =________cm ．
所以AC AM =+________=________+________=________(cm)． 解析：12，9，23
，6，MC ，9，6，15． 【分析】
根据线段中点的性质，可得AM ，根据线段的比，可得MC ，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：∵M 是线段AB 的中点，且18cm AB =， ∴19cm 2
AM MB AB ===．
∵:2:1MC CB =， ∴26cm 3MC MB =
=． ∴9615(cm)AC AM MC =+=+=． 故答案为：
12，9，23
，6，MC ，9，6，15． 【点睛】
本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出AM ，线段的比得出MC 是解题关键．
16．读下列语句，画出图形，并回答问题．
（1）直线l 经过A ，B ，C 三点，且C 点在A ，B 之间，点P 是直线l 外一点，画直线BP ，射线PC ，连接AP ；
（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．
解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC
【分析】
（1）根据直线、射线、线段的定义作图；
（2）根据直线、射线、线段的定义解答．
【详解】
(1)如图所示．
(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；
射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；
线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ．
【点睛】
此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．
17．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.
(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度．
(2)若6AB =,求MN 的长度．
解析：（1）3；（2）3.
【分析】
（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长；
（2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度．
【详解】
解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =，
∴2CN =，1AM CM ==，
∴3MN MC CN =+=.
(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴132NM MC CN AB =+=
=. 【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
18．P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .
（1）若8AP cm =，
①运动1s 后，求CD 的长；
②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =；
（2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.
解析：（1）①3cm ；②见解析；（2）9AP =或11cm.
【分析】
（1）①先求出PB 、CP 与DB 的长度，然后利用CD=CP+PB-DP 即可求出答案；②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC=2CD ；
（2）t=2时，求出CP 、DB 的长度，由于没有说明点D 再C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论.
【详解】
解：（1）①由题意可知：212,313CP cm DB cm =⨯==⨯=，
∵8,12AP cm AB cm ==，∴4PB AB AP cm =-=，
∴2433CD CP PB DB cm =+-=+-=；
②∵8,12AP AB ==，∴4,82BP AC t ==-，
∴43DP t =-，∴2434CD DP CP t t t =+=+-=-，
∴2AC CD =；
（2）当2t =时，
224,326CP cm DB cm =⨯==⨯=，
当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm =，∴7CB CD DB cm =+=，∴5AC AB CB cm =-=，
∴9AP AC CP cm =+=，
当点D 在C 的左边时，如图所示：∴6AD AB DB cm =-=，
∴11AP AD CD CP cm =++=，
综上所述，9AP =或11cm.
【点睛】
本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.
19．线段12cm AB =点C 在线段AB 上，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点． （1）若点C 恰好是AB 中点，求DE 的长；
（2）若4cm AC =，求DE 的长；
（3）若点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A ，B 重合），求DE 的长． 解析：（1）6cm ；（2）6cm ；（3）6cm
【分析】
（1）根据中点的定义，进行计算即可求出答案；
（2）由中点的定义，先求出DC 和CE 的长度，然后求出DE 即可；
（3）利用中点的定义，即可得到结论．
【详解】
解：（1）因为点C 是AB 中点， 所以16cm 2AC BC AB ===． 又因为D ，E 分别是AC 和BC 的中点， 所以1116cm 222DE DC CE AC BC AB =+=
+==， 故DE 的长为6cm ．
（2）因为12cm AB =，4cm AC =，
所以8cm BC =．
因为点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，
所以12cm 2DC AC ==，14cm 2
CE BC ==， 所以6cm DE =． （3）因为111222DE DC CE AC BC AB =+=
+=， 且12cm AB =，
所以6cm DE =．
【点睛】
本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系进行解题． 20．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，点C 将线段MB 分成两部分，且:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为________．
解析：8cm
【分析】
先由中点的定义求出AM ，BM 的长，再根据MC ：CB=1：2的关系，求MC 的长，最后利用AC=AM+MC 得其长度．
【详解】
∵线段AB 的中点为M ，
∴AM=BM=6cm
设MC=x ，则CB=2x ，
∴x+2x=6，解得x=2
即MC=2cm ．
∴AC=AM+MC=6+2=8cm ．
故答案为：8cm ．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
21．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．
解析：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．
【分析】
设这个锐角为x 度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】
设这个锐角为x 度，由题意得：
()18049030x x -=--，
解得50x =．
即这个锐角的度数为50︒．
905040︒︒︒-=，18050130︒︒︒-=．
答：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．
【点睛】
本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 22．如图，点C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且6cm AC =，2cm BD =．
（1）图中共有多少条线段？
（2）求AD 的长．
解析：（1）6条；（2）10cm
【分析】
（1）根据线段的定义，即可得到答案；
（2）由点B 为CD 的中点，即可求出CD 的长度，然后求出AD 的长度．
【详解】
解：（1）根据题意，图中共有6条线段，分别是AC ，AB ，AD ，CB ，CD ，BD ． （2）因为点B 是CD 的中点，2cm BD =，
所以24cm CD BD ==，
所以10cm AD AC CD =+=．
【点睛】
本题考查了线段中点的有关计算，以及线段的定义，解题的关键是熟练掌握线段有关的计算问题．
23．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．
（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．
（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD
平分COE ∠，求BOD ∠的度数．
解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒
【分析】
（1）根据角的定义即可解决；
（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=
12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可． 【详解】
（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．
（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，
(072)COE n n ︒∠=<<， 所以
1111()2222
BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=
∠-∠=∠-∠=∠． 因为108AOC ∠=︒，
所以54BOD ∠=︒
【点睛】 本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，
24．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．
（1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；
（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）； （3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12
DOE a ∠=
；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析.
【分析】 （1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论；
（2）同（1）可得出结论；
（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =
12
∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论．
【详解】
（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒， 180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒，
9060150COB ∴∠=︒+︒=︒，
∵OE 平分BOC ∠，
1752
BOE BOC ∴∠=∠=︒， 756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
（2）COD ∠是直角，AOC a ∠=，
1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-，
9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-，
∵OE 平分BOC ∠，
119022
BOE BOC a ∴∠=∠=︒-， ()11909022
DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=． （3）2AOC DOE ∠=∠，
理由是：
180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠， 119022
BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠， 90COD ∠=︒， ()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，
()11909022
DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭， 即2AOC DOE ∠=∠．
【点睛】
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． 25．作图：如图，平面内有 A ，B ，C ，D 四点 按下列语句画图：
（1）画射线 AB ，直线 BC ，线段 AC
（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.
解析：答案见解析
【分析】
利用作射线，直线和线段的方法作图．
【详解】
如图：
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
26．已知，A 、B 是线段EF 上两点，已知EA ：AB ：BF=1：2：3，M 、N 分别为EA 、BF 的中点， 且MN=8cm ，求EF 的长．
解析：12cm
【解析】
【分析】由已知设设EA=x ，AB=2x ，BF=3x ，根据线段中点性质得
MN=MA+AB+BN=12x+2x+32
x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12. 【详解】解：∵EA ：AB ：BF=1：2：3，
可以设EA=x ，AB=2x ，BF=3x ，
而M 、N 分别为EA 、BF 的中点，
∴MA=12EA ，NB=12
BF ， ∴MN=MA+AB+BN=
12x+2x+32
x=4x ， ∵MN=8cm ，
∴4x=8，
∴x=2， ∴EF=EA+AB+BF=6x=12， ∴EF 的长为12cm ．
【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.
27．已知线段14AB =，在线段AB 上有点C ，D ，M ，N 四个点，且满足AC ：CD ：1DB =：2：4，12AM AC =
，且14
DN BD =，求MN 的长． 解析：7或3
【分析】 求出AC ，CD ，BD ，求出CM ，DN ，根据MN CM CD DN =++或
MN CM CD ND =+-求出即可．
【详解】
如图，
14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4，
2AC ∴=，4CD =，8BD =，
12AM AC =，14
DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，
1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=． 则MN 的长是7或3．
【点睛】
本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.
28．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：
（1）得到什么几何体？
（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π）
解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π
【分析】
(1)矩形旋转一周得到圆柱；
(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积．
【详解】
解：(1)圆柱
(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，
21V r h π=
264π=⨯⨯
144π=
绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，
2246V π=⨯⨯
96π=
∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π
【点睛】
本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．
29．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134
BD AB CD =
=，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间的间距是10cm ，求AB 、CD 的长．
解析：AB=12cm ，CD=16cm
【分析】
先设BD=xcm ，由题意得AB=3xcm ，CD=4xcm ，AC=6xcm ，再根据中点的定义，用含x 的式子表示出AE=1.5xcm 和CF=2xcm ，再根据EF=AC-AE-CF=2.5xcm ，且E 、F 之间距离是EF=10cm ，所以2.5x=10，解方程求得x 的值，即可求AB ，CD 的长．
【详解】
设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，
∴AE=1
2AB=1.5xcm，CF=
1
2
CD=2xcm．
∴EF=AC－AE－CF=2.5xcm．
∵EF=10cm，
∴2.5x=10，解得：x=4．
∴AB=12cm，CD=16cm．
【点睛】
本题考查了线段中点的性质，设好未知数，用含x的式子表示出各线段的长度是解题关键．
30．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点A，B，C，D表示．
（1）连接AB，作射线AD，作直线BC与射线AD交于点E；
（2）若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．
解析：（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所M应建在AC与BD的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【分析】
（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
【详解】
（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
【点睛】
本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．。