2021-2022学年北京人大附中九年级(上)开学调研数学试卷及答案解析

2021-2022学年北京人大附中九年级（上）开学调研数学试卷一、选择题（3×10＝30分）
1．（3分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，有着悠久的历史，已经在某种意义上成为了中国文化的一种象征．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（）
A．B．
C．D．
2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 3．（3分）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2 4．（3分）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x＞﹣2D．﹣2＜x＜4 5．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）
A．70°B．65°C．55°D．35°
6．（3分）若二次函数y＝kx2﹣4x﹣2与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣2B．k＞﹣2且k≠0C．k＜2D．k≥﹣2且k≠0
7．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A'B'C'，则点P的坐标为（）
A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）
8．（3分）将抛物线y＝2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣2x2B．y＝﹣2x2+1C．y＝2x2﹣1D．y＝﹣2x2﹣1 9．（3分）如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD ⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（）
A．S＞2B．S＞1C．S＜1D．S＝2
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a ＞；④b＜1．其中正确的结论是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
二、填空题（2×8＝16分）
11．（2分）反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则k的值为．
12．（2分）若点A（2m﹣1，2n+5）与点B（4﹣m，1+m）关于原点O对称，则m＝，
n＝．
13．（2分）如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，那么k的取值范围为．14．（2分）如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB＝135°，BP＝1，AP＝，则PC的长是．
15．（2分）若+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是．16．（2分）把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为．
17．（2分）若x＝b是方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则8b﹣2b2+6的值为．18．（2分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”
译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设长方形门的宽x尺，可列方程为．
三、解答题
19．（6分）解方程：
（1）x（x﹣4）＝2x﹣8；（2）2x2+x﹣15＝0．
20．（4分）某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2019年投入5000万元，预计2021年投入7200万元，求教育经费的年平均增长率为多少．
21．（5分）如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
22．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两根互为相反数，求m的值．
23．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x
轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值；
（2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．
25．（6分）某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书．（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），写出销售利润y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？
（3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A、B
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）AB＝2
①求抛物线的解析式；
②已知C点的坐标为（﹣2，﹣1），D点在抛物线的对称轴上，将抛物线在0＜x＜3的
部分记为图象G，若直线CD与图象G只有1个公共点，结合函数图象，求D点的纵坐标t的取值范围．
27．（7分）在正方形ABCD中，E是CD边上一点．
（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1所示，观察可知，与DE相等的线段是，∠AFB＝．
（2）如图2，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，猜想线段DQ、BP、PQ的数量关系，并证明；
（3）在图2中，连接BD分别交AP、AQ于点M，N，直接写出BM、DN、MN的数量关系．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN＞2，则称P为直线的平安点．已知点A（﹣，0），B（0，1），C（﹣1，1）．
（1）当直线l的表达式为y＝x时，
①在点A，B，C中，直线的平安点是；
②若以OB为边的矩形OBEF上存在直线l的平安点，求点E的横坐标n的取值范围；
（2）当直线的表达式为y＝kx时，若点C是直线l的平安点，求k的取值范围．
2021-2022学年北京人大附中九年级（上）开学调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3×10＝30分）
1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．【解答】解：移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+22＝5+22，
（x﹣2）2＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．
3．【分析】利用反比例函数解析式分别计算出y1，y2，y3的值即可得出结论．
【解答】解：∵当x＝﹣1时，，
当x＝2时，y2＝＝3，
当x＝3时，＝2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征．利用代入法求出对应的函数值是解题的关键．
4．【分析】函数，由于a＝＞0，开口向上，则先求出其对称轴，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：函数y＝x2﹣x﹣4，对称轴x＝1，又其开口向上，
则当x＞1时，函数y＝x2﹣x﹣4随x的增大而增大，
当x＜1时，函数y＝x2﹣x﹣4随x的增大而减小．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是对称轴两侧函数的单调增减问题．5．【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，
∴∠B1＝∠ABC＝55°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB1＝∠B1＝55°，
∴∠α＝70°，
故选：A．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
6．【分析】二次函数y＝kx2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个交点，可知方程0＝kx2﹣4x﹣2有两个不等的实数根，可知k≠0且Δ＞0，从而可以得到k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个交点，
∴当y＝0时，0＝kx2﹣4x﹣2有两个不等的实数根，
∴，
解得，k＞﹣2且k≠0，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．【分析】对应点连接段的垂直平分线的交点即为旋转中心P．
【解答】解：作线段AA′，CC′的垂直平分线交于点P，点P即为旋转中心，P（1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连接段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
8．【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求解则可．
【解答】解：根据题意，可得﹣y＝2（﹣x）2+1，得到y＝﹣2x2﹣1．
故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣2x2﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．
9．【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义．据此可知S△AOC＝S△ODB＝，又三
＝S△角形任意一条边上的中线都将这个三角形的面积二等分，由OD＝OC得出S
△AOC ODA，S△ODB＝S△OBC，进而求出四边形ACBD的面积．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB＝OA，OD＝OC，
+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝1×2＝2．
∴四边形ABCD的面积为S
△AOC
故选：D．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线段所围成的直角三角形面积S的关系即为S＝|k|．10．【分析】由图象可知a＞0，b＞0，c＜0；再由特殊点可以判定对错．【解答】解：由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0；故①错误；
由（1，2）代入抛物线方程可得a+b+c＝2；故②正确；
当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0（1），
由②a+b+c＝2可得：c＝2﹣a﹣b（2），
把（2）式代入（1）式中得：b＞1；故④错误；
∵对称轴公式﹣＞﹣1，
∴2a＞b，
∵b＞1，
∴2a＞1，即a＞；故③正确．
故选：B．
【点评】此题要会利用图象找到所需信息，也要会用不等式和等式结合来解题．
二、填空题（2×8＝16分）
11．【分析】将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：将点（2，﹣1）代入解析式，
可得k＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
12．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于m，n的方程组，进而得出答案．【解答】解：∵点A（2m﹣1，2n+5）与点B（4﹣m，1+m）关于原点O对称，
∴，
解得：．
故答案为：﹣3，﹣．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
13．【分析】由反比例函数的系数k＜0，图象经过二、四象限求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，
∴k﹣5＜0，
∴k＜5．
故答案为：k＜5．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握k＞0时，反比例函数图象经过一、三象限，k＜0时，图象经过二、四象限．
14．【分析】把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转的性质可得AP′＝PC，BP′＝BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′，然后求出∠APP′＝90°，再利用勾股定理列式计算求出P′A，从而得解．
【解答】解：如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合），
∴AP′＝PC，BP′＝BP＝1，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠P′PB＝45°，PP′＝＝＝，
∵∠APB＝135°，
∴∠APP′＝∠APB﹣∠P′PB＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△APP′中，AP′＝＝＝3，
∴PC＝AP′＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及正方形的性质的综合运用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
15．【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．【解答】解：∵+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）．
16．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把二次函数y＝x2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣5．
故答案为y＝（x+3）2﹣5．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17．【分析】把x＝b代人原方程得到b2﹣4b＝﹣1，进一步得到4b﹣b2＝1，然后整体代人即可．
【解答】解：∵若x＝b是方程x2﹣4x+1＝0的一个根，
∴b2﹣4b＝﹣1，
∴4b﹣b2＝1，
∴原式＝2（4b﹣b2）+6＝2×1+6＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，然后适当分解因式，从而求得代数式的解．
18．【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．【解答】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
三、解答题
19．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x（x﹣4）＝2x﹣8，
∴x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（x﹣2）＝0，
∴x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝2；
（2）∵2x2+x﹣15＝0，
∴（x+3）（2x﹣5）＝0，
则x+3＝0或2x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．【分析】设教育经费的年平均增长率为x，利用预计2021年投入金额＝2019年投入金额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出教育经费的年平均增长率为20%．
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：教育经费的年平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．【分析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解集，可得答案．【解答】解：（1）A（﹣5，n）B（3，﹣5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣5n＝3×（﹣5），
∴m＝﹣15，n＝3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，点A的坐标是（﹣5，3），
将A、B两点坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C点坐标（﹣2，0），
＝S△AOC+S△BOC＝+＝8；
∴S
△AOB
（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣5＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
22．【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）根据题意，利用根与系数的关系得到﹣＝0，即可求得m＝2．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）
＝m2﹣4m+4+8m
＝m2+4m+4
＝（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0，
∴方程两根的和为﹣，
∵方程两根互为相反数，
∴﹣＝0，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
23．【分析】（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c求解．（2）将二次函数解析式化为顶点式，根据函数增减性求解．
【解答】解：（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4．
（2）∵y＝﹣（x+）2+，
∴x＞﹣时，y随x增大而减小，
x＝﹣时y取最大值，
x＝4时y取最小值，
把x＝4代入y＝﹣x2﹣x+4得y＝﹣×42﹣×4+4＝﹣6．
∴﹣6＜y≤．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数最值的方法．
24．【分析】（1）设A点坐标是（x，x+），由于点A是第一象限内的点，且AB＝AC，可得出x＝x+，解出x的值，代入反比例函数解析式求k值．
（2）由于A点可能在一二三象限，所以要分类讨论，再每个象限建立|AB|＞|AC|不等式，即|x+|＞|x|，计算求k值取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
设A点坐标是（x，x+），
∵点A是第一象限内的点，且AB＝AC，
∴x＝x+解得x＝3
即A（3，3）
∵点A在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝9
（2）因为A（x，x+）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，所以k＝．
①当点A在第一象限时，AB＞AC，即x+＞x（x＞0），解得0＜x＜3；
代入k＝得0＜k＜9．
②当点A在第二象限时，AB＞AC，即x+＞﹣x（x＜0），解得﹣1＜x＜0；代入k＝
得﹣1＜k＜0．
③当点A在第三象限时，AB＞AC，即﹣x﹣＞﹣x（x＜0），无解；
综上所述，k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．
答：k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧妙地解设交点坐标是解题的第一步，也是关键的一步．另外，本题涉及到了分类讨论这一重要数学思想，考生一定要根据实际情况展开必要的分类讨论，这在初中数学阶段是非常重要的．
25．【分析】（1）直接利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式；
（2）利用一元二次方程的解法进而得出x的值；
（3）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．
【解答】解：（1）设辅导书的销售单价为x元（x＞40），
销售利润y表示成销售单价x的函数为：
y＝（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]
＝﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）依题意﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解之得：x1＝50，x2＝80
答：辅导书的销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
（3）∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∴当x＝65，y取得最大值，
∴销售价格定为65元时，可获得利润12250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
26．【分析】（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1，故顶点坐标为：（1，﹣1）；
（2）①令y＝0，解得：x＝1±，即可求解；
②分过点C的直线与x轴平行、过点C的直线过点O、直线CD过点F（3，3）三种情
况，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1，
故顶点坐标为：（1，﹣1）；
（2）①令y＝0，解得：x＝1±，
则2＝2，解得：m＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x；
②图象G对应的部分抛物线如下图所示，
（Ⅰ）当过点C的直线与x轴平行时，直线CD与图象G只有1个公共点，
t＝﹣1；
（Ⅱ）当过点C的直线过点O时，直线CD与图象G只有1个公共点，
直线CD的表达式为：y＝x，当x＝1时，t＝；
（Ⅲ）当直线CD过点F（3，3）时，直线CD与图象G只有1个公共点，
直线CF的表达式为：y＝x+，
当x＝1时，t＝；
综上，t＝﹣1或＜t≤．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
27．【分析】（1）如图1，直接根据旋转的性质得到DE＝BF，∠AFB＝∠AED；
（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ，而∠PAQ＝45°，则∠PAE＝45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE＝PQ，于是PE＝PB+BE＝PB+DQ，即可得到DQ+BP＝PQ；
（3）根据正方形的性质有∠ABD＝∠ADB＝45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK＝∠ADN＝45°，BK ＝DN，AK＝AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN＝MK，由于∠MBA+∠KBA＝45°+45°＝90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2＝MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2＝MN2．
【解答】解：（1）如图1，∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE＝BF，∠AFB＝∠AED．
故答案为：BF，∠AED；
（2）结论：DQ+BP＝PQ，
理由：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D＝∠ABE＝90°，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABE+∠ABP＝180°
∴点E、B、P共线，
由旋转知，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAE＝45°，
∴∠PAQ＝∠PAE，
在△APE和△APQ中
，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴PE＝PQ，
而PE＝PB+BE＝PB+DQ，
∴DQ+BP＝PQ．
（3）结论：BM2+DN2＝MN2
理由：如图3，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
如图3，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，连接KM，
则∠ABK＝∠ADN＝45°，BK＝DN，AK＝AN，
同（2）的方法得，△AMN≌△AMK，得到MN＝MK，
∵∠MBA+∠KBA＝45°+45°＝90°，
∴△BMK为直角三角形，
∴BK2+BM2＝MK2，
∴BM2+DN2＝MN2．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．
28．【分析】（1）①根据P为直线l的平安点的定义即可判断；
②当PM+PN＝2时，根据平安点的定义可知点E的横坐标n的取值范围；
（2）分三种情况：当k＞0时；当﹣1＜k＜0时；当k＜﹣1时；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）①如图，
∵B（0，1），
则有BN＝1，BO＝1
∴BN+BO＝2，
故点B不是直线l的平安点，
∵C（﹣1，1），
则有CN＝2，CM＝2，
∴CN+CM＝4＞2，
故点C是直线l的平安点，
∵，
则有AM＝，
∴，
故点A是直线的平安点；
∴在点A，B，C中，直线l的平安点是A，C，
故答案为：A、C；
②若以OB为边的矩形OBEF上存在直线l的平安点，
则点E的横坐标n的取值范围n＜0或n＞2；
（2）由题意知C（﹣1，1），M（﹣1，﹣k），N（，1），k≠0，
当k＞0时，CM+CN＝（1+k）+（+1）＞2，
则C定为直线l的平安点；
当﹣1＜k＜0时，CM+CN＝（1+k）+（﹣﹣1）＞2，
解得1﹣＜k＜1+，
则当1﹣＜k＜0时，C为直线l的平安点；
当k＜﹣1时，CM+CN＝（﹣1﹣k）+（+1）＞2，
解得k＞﹣1﹣或k＜﹣1﹣，
则当k＜﹣1﹣时，C为直线l的平安点．
综上所述，若点C是直线l的平安点，k的取值范围为k＞0或1﹣＜k＜0或k＜﹣1﹣．
【点评】本题考查一次函数的综合题，关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。