幂等矩阵的特征值

幂等矩阵的特征值
0或者1。

幂等矩阵的特征值只可能是0，1。

若A为⽅阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。

例如，某⾏全为1⽽其他⾏全为0的⽅阵是幂等矩阵。

实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对⾓元全为0或1的对⾓阵。

幂等矩阵的主要性质：
幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
幂等矩阵可对⾓化；
幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；
可逆的幂等矩阵为E；
⽅阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
幂等矩阵A满⾜：A(E-A)=(E-A)A=0；
幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；
A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。

考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
设A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁+A₂)为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂)=R(A₁)⊕R(A₂)；
N(A₁+A₂)=N(A₁)∩N(A₂)；
设A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁-A₂)为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂)=R(A₁)∩N(A₂)；N(A₁-A₂)=N(A₁)⊕R(A₂)；
设A₁，A₂都是幂等矩阵，若A₁·A₂=A₂·A₁，则A₁·A₂为幂等矩阵，且有：R(A₁·A₂)=R(A₁)∩R(A₂)；N(A₁·A₂)=N(A₁)+N(A₂)。