2023-2024学年上海市杨浦区部分学校七年级(下)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年上海市杨浦区部分学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列计算正确的是()
A.
B.
C.
D.
2.圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形.如图，铁丝AB 的长度为1m ，圆圆从M ，N 两处弯曲，其中，她不能
成功的是()A. B.
C.
D.
3.如图所示，在下列四组条件中，不能判定
的是()
A. B.
C.
D.
4.如图，下列说法错误的是()
A.与
是同旁内角
B.与是同位角
C.与
是内错角
D.
与是同位角
二、填空题：本题共14小题，每小题2分，共28分。

5.下列各数：，0，，
，
，
中，无理数的个数为______个.
6.
的算术平方根是______.
7.比较大小：______
填“>”，“=”或“<”
8.把化为幂的形式：______.
9.计算：
______.
10.地球上的海洋面积约为
，则科学记数法可表示为______
11.如图，面积为3的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，且表示的数为
，若
，则数轴上点E所表示的数为______.
12.两条相交直线所形成的一个角为，则它们的夹角是______.
13.如图，，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分
，交CD于点G，，则等于_________.
14.如图，，已知直角三角形ABC中，B，C在直线a上，A在直线b上，，
，，则点A到直线a的距离为______.
15.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则______度.
16.若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是______.
17.如图，直线，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在
两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，
则的度数为______.
18.消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂在C的左侧、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行.为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，这时
展角______
.
三、解答题：本题共12小题，共76分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.本小题6分
计算：
20.本小题6分
计算：
21.本小题6分
计算：
22.本小题6分
利用幂的运算性质计算：结果用幂的形式来表示
23.本小题6分
作图并写出结论：如图，直线AB与直线CD相交于C，根据下列语句画图．
过点P作，交AB于点
过点
P作，垂足为
若，则是多少度？请说明理由．
解：因为已作
所以
______
因为
所以______.
24.本小题6分
已知，，，，猜想与的关系如何？并说明理由．
解：因为，已知
所以______；
所以____________；
同理，______；
所以____________
25.本小题6分
阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，AD与BC交于点与的面积相等吗？为什么？
解：作，垂足为，作，垂足为
又因为已知，
所以______平行线间距离的意义
完成以下说理过程
26.本小题6分
如图，AB、CD是两条直线，，请说明的理由．
27.本小题6分
观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
，，，
…
观察上面的规律，计算下列式子的值：
…
利用上面的规律，试比较与的大小．
28.本小题6分
【问题情境】如图1，已知三角形ABC，试说明的理由.
解：过A点作过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
请按照上述思路继续完成说理过程
【尝试运用】如图2，若，且经过A点，，，
求的度数用含n的代数式表示
【拓展探索】如图3，在三角形ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作，DG平分，BG平分，DG与BG交于点若，求的度数.
29.本小题8分
如图，直线，一副三角尺
按如图①放置，其中点E在
直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分
求的度数.
如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转的对应点分别为F，，设
旋转时间为
①在旋转过程中，若边，求t的值.
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转的对应点为H，请求出当边时t的值.
30.本小题8分
对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的
k系补周
角．如若，，则为的6系补周角．
若，则的4系补周角的度数为______
在平面内，点
E是平面内一点，连接BE，
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，
其中n为常数且，点P是角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值用含n的式子表示
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意，
故选：
运用二次根式和立方根知识进行逐一辨别、求解．
此题考查了运用平方根和立方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】D
【解析】解：由三角形三边关系定理得：，
，
，
，
故选：
由三角形三边关系定理得到，因此，于是得到，即可得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】D
【解析】解：
A、当时，，本选项不符合题意；
B、当时，，本选项不符合题意；
C、当时，，本选项不符合题意；
D、当时，，本选项符合题意．
故选：
根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D中的说法都正确，故A、C、D不符合题意；
B、与不是同位角，故B符合题意．
故选：
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫
做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断．
本题考查同位角，同旁内角，内错角，关键是掌握同位角，同旁内角，内错角的定义．
5.【答案】2
【解析】解：，
无理数有，，共2个．
故答案为：
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根，无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像…两个1之间依次多一个，等有这样规律的数．
6.【答案】
【解析】解：，因为的平方等于，
所以的算术平方根是
故答案为
先把带分数化为假分数，然后再求它的算术平方根．
本题主要考查了算术平方根的求法，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
7.【答案】>
【解析】解：，，
，，
又，
，
故答案为：
根据实数大小的比较方法比较大小即可．
本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故答案为：
根据分数指数幂的定义求解可得．
本题考查了分数指数幂的定义，注意，正确掌握分数指数幂的定义是解题的关键．
9.【答案】7
【解析】解：
，
故答案为：
根据平方差公式进行因式分解，即可解答．
本题考查了因式分解-运用公式法，分数指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法有关知识，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值时，n是正数.
【解答】
解：将361000000用科学记数法表示为
故答案为
11.【答案】
【解析】解：正方形ABCD的面积为3，
的坐标为，E在点A的右侧，
的坐标为
故答案为：
先求出AB的长，再求E的坐标．
本题考查实数与数轴．解题关键是求出AB的长为
12.【答案】
【解析】解：两条相交直线所形成的一个角为，
它们的夹角是角的邻补角即，
故答案为：
根据已知两条相交直线所形成的一个角为，那么它们的夹角是就是角的邻补角，从而求出它们的夹角．
此题考查的知识点是对顶角、邻补角，解答此题的关键是要明确要求的角是角的邻补角．
13.【答案】解：，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：
【解析】由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由EG平分，根据角平分线的定义，即可求得的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理以及数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：设点A到直线a的距离为h，
直角三角形
ABC中，，，，
，
即，
解得：
故答案为：
设点A到直线a的距离为h，根据，即可求解．
本题主要考查了点到直线的距离，根据题意得到是解题的关键．
15.【答案】76
【解析】解：如图
，
，，
由折叠的性质可得：
，
，
故答案为：
根据平行线的性质可得，，再结合折线的性质可得，即可得到的度数．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．
16.【答案】4
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
则这个正数为，
则这个正数的立方根是
故答案为：
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出正数的立方根．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点P作，过点H作
，
，，
，，
，
，
，
平分，HF平分，
故答案为：
过点P作，过点H作根据平行线的性质得到，结合
角平分线的定义得到，同理可得
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
18.【答案】
【解析】解：延长BC、FE交于P，过P作，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
延长BC、FE交于P，过P作，则，根据平行线的性质得到，
，据此求解即可．
本题考查平行线的性质与判定、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键．
19.【答案】解：
【解析】先算开方、0次幂、负整数指数幂，再算乘法、绝对值，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对开方、0次幂、负整数指数幂、乘法、绝对值、加减等进行准确运算．
20.【答案】解：原式
【解析】利用二次根式的乘除法从左到右依次计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
21.【答案】解：原式
【解析】先算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：原式
【解析】将根式转化成幂的形式后，利用幂的乘方和同底数幂的乘除法法则运算即可．
本题主要考查了分数指数幂的性质，根式转化为幂的形式，幂的乘方和同底数幂的乘除法法则，将根式转化为分数指数幂的形式是解题的关键．
23.【答案】两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：如图，PQ为所画；
如图，PR为所画；
因为已作，
所以，两直线平行，同旁内角互补，
因为，
所以
故答案为两直线平行，同旁内角互补，
平移DR使它过点P，此时交AB于Q，则；
过点P作CD的垂线，垂足为R；
根据平行线的性质得，然后利用互补计算的度数．
本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
24.【答案】在同一平面内内，平行于同一直线的两直线平行B 两直线平行，同旁内角互补同
角的补角相等
【解析】解：因为，
已知
所以在同一平面内内，平行于同一直线的两直线平行；
所以两直线平行，同旁内角互补；
同理，；
所以
同角的补角相等；
故答案为：在同一平面内内，平行于同一直线的两直线平行；B ；两直线平行，同旁内角互补；B ；；
同角的补角相等．
根据平行线的判定与性质、平行公理、补角的性质填空即可．
此题考查了平行线的判定与性质，用到的知识点是平行线的判定与性质、平行公理、补角的性质，关键是综合运用有关性质进行证明．25.【答案】
【解析】解：相等．作
，垂足为
，作
，垂足为
已知，
平行线间距离的意义
，
，
，
与
的面积相等．
故答案为：
由平行线距离的意义可知，从而可证明和的面积相等，两个三角形减去公共部
分剩余面积也相等，从而可证明
与
的面积相等．
本题考查了三角形面积、平行线的性质．本题的关键是先证明两个大三角形面积的关系．
26.【答案】解：
已知，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等式性质，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等
【解析】根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
27.【答案】解：由题意可得，
原式…
；
，，
，
，
【解析】根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论；
把题中的式子取倒数，再比较大小即可．
本题考查的是分母有理数，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键．
28.【答案】解：过A点作，如图1所示：
，，
点A在直线DE上，
，
；
过点F作，如图2所示：
，
，
，，，
，
即，
，，
，
即，
又，，
，
，
，
；
设，，
平分，BG平分，
，，，
，
，，
，，，
，
，
【解析】过
A点作，则，，再根据
即可得出结论；
过点F作，证得，，，
由此得，根据已知条件得，而
，据此可得的度数；
设，，根据角平分线定义得，，
，再根据得，，然后根据三角形的外角定理得，，即，，据此可得的度数．
此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
29.【答案】解：如图①中，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
①如图②中，
，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边，t的值为；
②如图③中，当时，延长KH交MN于R，
，
，
，，
，
，
；
如图③中，当时，延长HK交MN于R，
，
，
，，
，
，
综上所述，满足条件的t的值为或
【解析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
①首先证明，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当时，延长KH交MN于根据构建方程即可解决问题．如图③中，当时，延长HK交MN于根据构建方程即可解决问题．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
30.【答案】
【解析】解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得，，
解得，，
的
4系补周角的度数为，
故答案为60；
①过E作，如图1，
，
，
，，
，
，
即，
是的
3系补周角，
，
，
；
②当BG上的动点P 为的角平分线与BG的交点时，满足是的k系补周角，
此时设的4
系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可；
①过E
作，得，再由已知，是的3系补周角，
列出
的方程，求得便可；
②
本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键．
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