有限元

3. 有限元理论基础
微分方程等效积分形式和加权余量法
－ （在数学上）建立有限元方程的基础；
( 求解工程微分方程问题的有效方法)
弹性力学问题变分原理 －（在力学上）建立有限元方程的基础
3. 有限元理论基础 弹性力学问题变分原理
1、弹性力学方程张量形式 2、应变能、应变余能 3、虚功（虚位移、虚应力）原理
– 用于静力载荷条件 – 可以模拟诸如大变形、大应变、接触、塑性、超弹、蠕变等非 线性行为
超弹密封
6.有限元法与有限元分析
• 动力学分析
– – – – 包括质量和阻尼效应 模态分析 计算固有频率及振型 谐响应分析 确定结构对已知幅值和频率的正弦载荷的响应 瞬态动力学分析 确定结构对随时间变化载荷的响应，可以 包括非线性行为 谱分析 随机振动 特征值屈曲 子结构, 子模型 疲劳、断裂力学、复合材料
限元分析的理论基础。 2. 有限元分析提供了大量的有限元法离散所需要的有限单元， 同时充分利用计算机资源解脱了人在运用有限元法时计算 耗费大量的精力，使得有限元法广泛的应用。
6.有限元法与有限元分析
有限元与ANSYS
• ANSYS 是被世界各地各领域的工程师所广泛使用的完 整的有限元软件包:
– – – – – – – – –
u (u i
u j ui l
a1
xi )
u j ui l
a2
x
（5-2）
5. 平面力学有限元求解
② 形函数 将式（5-2）改写为下列形式
u [ N ]{ }e
式中形函数[N]为
[ N ] [ Ni 1 N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
{Fpx }
e
xj
xi
p x l 1 1 ( x j x) p x dx （5-11） l ( xi x ) 2 1
1 [ N ] [ N i N j ] [( x j x ) ( xi x )] l
５. 平面力学有限元求解
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y 轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
y i·
j
·
x
z
5. 平面力学有限元求解
2. 什么是有限元
自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
学科领域
自由度
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
结构 热 电 流体 磁
位移 温度 电位 压力 磁位
2. 什么是有限元
节点和单元
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度并 存在相互物理作用。
第一章 有限元基础
1. 有限元的起源 2. 什么是有限元法
3. 有限元法的理论基础
4. 有限元法的基本思路及计算步骤
5. 平面力学问题有限元法
6. 有限元法与有限元分析
1. 有限元法的起源
★距今几世纪前，我国古代数学家用多边形的周长近似代替 圆周长堪称是有限元法的雏形。 ★20世纪40年代，Courant第一次应用定义在三角区域上的分 片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。 ★1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位 移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求 得平面应力问题的正确答案 ★ 1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提 出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。
2lA 2
1 1
[F ]
( 3)
lA 2
1 1
[ K ]{ } {F }
对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:
设结点1的约束反力为F1，则有:
5.平面力学有限元求解
整体结构平衡方程
3 F1 2 lA 3 0 0 u1 3 3 2 3 3 2 2 u ( )lA 0 2 2 2 EA 2 1 2 2 1 1 u3 ( )lA l 0 0 0 1 1 u4 2 2 1 lA 2
一维杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长 度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2 个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。
i px j x
·
ui
·u
l
j
LINK
5. 平面力学有限元求解
单元结点位移向量
ui uj
e
单元结点力向量：
（1）位移模式和形函数 ① 位移模式
结构 热 流体,包括CFD (计算流体动力学) 电场 / 静电 电磁
航空航天 汽车 生物医学 桥梁和建筑 – – – – 电子及器具 重型设备及机械 MEMS – 微机电系统 运动产品
• ANSYS应用的部分工业领域列表:
6.有限元法与有限元分析
结构分析
• 结构分析用于确定结构的变形、应变、应力及反力。 • 静力分析
划去节点1所对应的第1行、行1列 。
5.平面力学有限元求解
5 2 0 u 2 5 2 2 3 1 u 3 l 3 2E 0 1 1 u 4 1
解得结点位移
单元应变： 单元应力
Fi {F} Fj
e
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
5. 平面力学有限元求解
u a1 a 2 x
（5-1）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj 确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-1），得
单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体或者二维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之
间通过节点连接，并承受一定载荷。
2. 什么是有限元
每个单元的特性是通过几个线性方程式来描述的。
作为一个整体，有限个单元形成了整体结构的数学模型 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即自由度）， 然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知 量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。

4. 有限元基本思路与步骤
★有限元基本思路
结构离散 单元特性分析 单元矩阵 矩阵集成 未知量求解
5. 平面力学有限元法求解
杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离 散成杆元和梁元。
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
梁
拱
框架 桁架
○ ○ ○
○ ○
5. 平面力学有限元求解
结构离散
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承 的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
（5-3）
（5-4）
（2）应变矩阵
一维铰接杆单元仅有轴向应变 du dx 将式（5-3）、（5-4）代入上式，得
5. 平面力学有限元求解
Hale Waihona Puke 上式也可写为1 [ 1 1]{ }e l
[ B]{ }e
式中[B]为应变矩阵
1 [ B ] [ Bi B j ] [1 1] l
5. 平面力学有限元求解
坐标系 有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。 对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部 坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并 且拒不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样， 同类型单元刚度矩阵相同。 y
Y X
○ ○ ○
x
x y
○ ○
P
5. 平面力学有限元求解
4、最小位能原理、最小余能原理
3. 有限元理论基础
弹性力学基本方程（矩阵形式）


平衡方程： A f 0 （在V内）
几何方程： Lu 物理方程： D 边界条件：T T 0
uu 0
（在V内） （在V内）
（在 S 上）
（在 Su 上）
3. 有限元理论基础
3 4
1
(1)
2
3 AE 1 1 1 [k ] 1 1 2 l
[k ]
( 3)
AE 1 1 3 1 1 4 l
5.平面力学有限元求解
等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[ F ](1)
3lA 2
1 1
[F ]
( 2)
Lu
3. 有限元理论基础
3、物理方程
D
1 1 1 E (1 ) D * (1 )(1 2 )
0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 2(1 ) 1 2 0 2(1 ) 1 2 2(1 ) 0 0
T v
（1-33）
对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx， 故有：
[k ] A B D B dx
e T v
(5-9)
５. 平面力学有限元求解
将式（5-6）代入上式，得
EA 1 1 [k ] l 1 1
e
（5-10）
(5) 等效节点力 单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍 为以下形式 T e {F } [ N ] p x dx 当分布力集度px为常数时，有
例 一维拉杆
图示阶梯形直杆，各段长度 均为，横截面积分别为3A，
2A，A，材料重度为γ，弹性
模量E。求结点位移和各段杆 中内力。
5. 平面力学有限元求解
离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。 单元刚度矩阵：
EA 1 1 [k ] 1 1 l
e
2
3
[k ]
( 2)
2 AE 1 1 2 1 1 3 l
（5-5）
（5-6）
（3）应力矩阵 由应力应变关系
E
将式（5-5）代入上式，得
5. 平面力学有限元求解
E[ B]{ }e [S ]{ }e
式中[S]为应力矩阵
[S ] E [ 1 1] l
（5-7）
（5-8）
(4) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵仍式（1-33）推出
[k ]e B D B dv
2. 什么是有限元法
在工程应用问题中，经典的数学工具常无法求出它们的 精确解，甚至是近似解，在这种情况下常借助数值方法。
有限元法将被求解对象 看成由许多小的、彼此相连 的杆和梁、一定形状的板和 壳等有限单元组成，这些单 元通过节点相互相连；通过 对有限单元进行数学、物理 以及电磁等联系建立单元矩 阵；通过坐标转换以及单元 矩阵集成形成总体矩阵，对 总体矩阵求解获得未知量的 解的方法。 有限元模型
真实系统
有限元模型
2. 什么是有限元法
★ 三个重要概念
1.有限单元 有限元法处理问题时，将对象虚拟离散出来的、 最简单的处理单元。如，杆、梁、三角形等单元。
2.节点 有限单元之间虚拟的连接点，有限元法处理载 荷时的重要依据。
3.单元矩阵 某有限单元各个物理量之间关系表达式，这种 关系可以是数学的，也可以物理等等。
1、平衡方程
x yx zx fx 0 x y z xy y zy fy 0 x y z xz yx z fz 0 x y z
A f 0
3. 有限元理论基础
2、几何方程
u v w x y z x y z u v xy yx y x v w yz zy z y u w zx xz z x
u j ui l
E
单元应变 N A
u 2 u1 7 l 2 (1) l 8 E u 3 u 2 l 2 ( 2) l E u 4 u 3 1 l 2 ( 3) l 2 E
6. 有限元法与有限元分析
1. 有限元分析是建立在有限元法的基础之上，有限元法是有