【优化探究】(教师用书)高考数学总复习 6-6直接证明与间接证明课件 理 新人教B版

考向三 [例 3]
反证法 (2011年高考安徽卷 )设直线 l1： y ＝k1x＋1， l2 ： y＝ k2x－ 1，
其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0. (1)证明：l1与l2相交； (2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
[证明] (1)反证法．假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，则有 k1＝ k2，代入 k1k2＋2＝0，得 k2 1＋2＝0，这与 k1 为实数的事实相矛盾，从而 k1≠k2，即 l1 与 l2 相交．
a＋mb2 a2＋mb2 ≤ 已知 m＞0，a，b∈R，求证： . 1＋m 1＋m
[证明] ∵m＞0，∴1＋m＞0.
ห้องสมุดไป่ตู้
所以要证原不等式成立，
只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立． 故原不等式得证．
答案： a≤ b
3
3
考向一 综合法 [例 1] (2013 年福州四校联考)已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a，b， bc ac ab c 不全相等，求证： a ＋ b ＋ c ＞a＋b＋c.
[证明] ∵a，b，c∈(0，＋∞)， bc ac ∴ ＋ ≥2 a b bc ac · ＝2c. a b
(2)证法一
y＝k1x＋1， 由方程组 y＝k2x－1
2 k2＋k1 ， ， 解得交点 P 的坐标为 k － k k － k 1 2 1 2 2 2 k2＋k12 而 2x ＋y ＝2k －k ＋ k － k 1 2 1 2
2 2 2 2 2 8＋k2 2＋k1＋2k1k2 k1＋k2＋4 ＝ 2 2 ＝ 2 2 ＝1. k2＋k1－2k1k2 k1＋k2＋4
1 1 2．(2013 年六安月考)设 x、y、z＞0，a＝x＋ ，b＝y＋ ， y z 1 c＝z＋x，则 a、b、c 三数( A．至少有一个不大于 2 C．至少有一个不小于 2
解析：假设 a、b、c 都小于 2， 则 a＋b＋c＜6. 1 1 1 而事实上 a＋b＋c＝x＋ ＋y＋ ＋z＋ ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾， x y z ∴a，b，c 中至少有一个不小于 2.
答案：B
)
B．p≤q D．不确定
mad nbc ab＋ n ＋ m ＋cd≥ ab＋2 abcd＋cd＝ ab＋ cd
4．(2013 年肇庆模拟)已知点 An(n，an)为函数 y＝ x2＋1 图象上的 点，Bn(n，bn)为函数 y＝x 图象上的点，其中 n∈N*，设 cn＝an－bn，则 cn 与 cn＋1 的大小关系为________．
第六节
直接证明与间接证明
[疑难关注]
1．证明方法的合理选择 (1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综
合法；
(2) 当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解 决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表达．
2．使用反证法的注意点
(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确， 否则后面的部分毫无意义；
)
D．有时能正向推理，有时能逆向推理
解析： 分析法证明是执果索因，步步寻求上一步成立的充分条 件．故选B.
答案：B
b d 3．(课本习题改编)p＝ ab＋ cd，q＝ ma＋nc · ＋ (m，n, a， m n b，c，d 均为正数)，则 p、q 的大小为( A．p≥q C．p＞q
解析：q＝ ＝p，故选 B.
(2)反证法的“归谬”要合理．
1．(课本习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一
个不大于60°”时，应假设( A．三个内角都不大于60° )
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 解析：假设为：“三个内角都大于60°”． 答案：B
2．用分析法证明不等式时的推理过程一定是( A．正向、逆向均可进行正确的推理 B．只进行逆向推理 C．只进行正向推理
证明：∵a，b，c＞0，且 a，b，c 不全相等， a2 ∴ ＋b＞2a，① b b2 ＋c＞2b，② c c2 a ＋a＞2c.③ a2 b2 c2 ①＋②＋③： ＋ ＋ ＋a＋b＋c＞2(a＋b＋c)， b c a a2 b2 c2 即 b ＋ c ＋ a ＞a＋b＋c.
考向二 分析法 [例 2]
ac ab ab bc 同理 ＋ ≥2a， ＋ ≥2b. b c c a
∵a，b，c 不全相等， ∴上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得
bc ac ab 2 a ＋ b ＋ c ＞2(a＋b＋c)，
bc ac ab 即 a ＋ b ＋ c ＞a＋b＋c.
a2 b2 c2 本例条件不变，证明： b ＋ c ＋ a ＞a＋b＋c.
解析：由条件得 cn＝an－bn＝ n2＋1－n＝ ∴cn 随 n 的增大而减小．∴cn＋1＜cn.
答案：cn＋1＜ cn
1 ， 2 n ＋1＋n
3 3 5．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么 a＞ b”时，假设的内 容是________．
3 3 3 解析：“如果 a＞b，那么 a＞ b”若用反证法证明，其假设为 a ≤ b. 3
|a|＋|b| 1．已知非零向量 a，b，且 a⊥b，求证： ≤ 2. |a＋b| 证明：a⊥b⇔a· b＝0，
|a|＋|b| 要证 ≤ 2. |a＋b| 即|a|＋|b|≤ 2|a＋b|， 即|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a· b＋b2)， 即|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2)， 即|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0 上式显然成立，故原不等式得证．
此即表明交点 P(x，y)在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
证法二
y－1＝k1x， 交点 P 的坐标(x，y)满足 y＋1＝k2x.
k ＝y－1， 1 x 故知 x≠0.从而 k2＝y＋1. x
y－1 y＋1 代入 k1k2＋2＝0，得 · ＋2＝0. x x 整理后，得 2x2＋y2＝1， 所以交点 P 在椭圆 2x2＋y2＝1 上．