上海市黄浦区第二学期高三质量测试(理数,四月)

黄浦区2009年高考模拟考
数学试卷(理科)
(2009年4月)
考生注意：
1、每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题纸上填写清楚；
3、本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．只需将结果填写在答题纸上)
1、关于=-=+x i x i x x 的解是虚数单位的方程)(2)2( ．
2、函数)()0(1)()(1x f y x x x f x f y =≥-==-，则函数为存在反函数，且反函数的定义域是 ．
3、若函数21
2)(--+=ax x
x f x
是定义域为R 的偶函数，则实数=a ． 4、计算：n
n
n r n r n r n n n n n C C C C )1(2)1(2222211-++-+++---- )(*N n ∈＝ ． 5、已知全集⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥--==R x x x x A R U ，，021|，{}R x x x B ∈≤-=，1
|1||，则 B A C R ⋂)(= ．
6、把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形，若矩形的一组邻边长分别为
ππ48和，则该圆柱体的体积是 ．
7、已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P )34(m m ，
-(0<m )是角α终边上一点，则2sin cos αα+= ．
8、已知极点、极轴分别与直角坐标系的原点和x 轴正半轴重合，且极坐标系与直角坐标系单位相同，若曲线C 的极坐标方程是)(sin 6cos 8R ∈-=θθθρ，则曲线C 的直角坐标普通方程是 ．
9、已知下列程序框图输出的结果是3=y ，则输入框中x 的所有可能的值是 ．
10、直线l 经过点P 0464)11(22=-+-+y x y x ，且与圆：，相切，则直线l 的方程是 ．
11、已知等比数列{})(3*∈-=N n b S n a n n n 项和的前，则)1
11(l i m
21n
n a a a +++∞
→ ＝ ．
12、当无理数x = 时，代数式3
31
2+-+x x x 的值是整数．
二、选择题(本大题共4小题，共16分．每小题都给出四个选项，其中有且仅有一个结论正确，选对得4分，并将答题纸对应题号上的字母涂黑，否则一律得零分)
13、“直线l l αα上有两点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的 ( ) A 、充要条件． B 、充分非必要条件． C 、必要非充分条件． D 、非充分非必要条件．
14、若线性方程组=⎩⎨⎧=+-=+λλλλ无解，则实数32
y x y x ( )
A 、1 ．
B 、－1 ．
C 、±1 ．
D 、以上都错 ．
15、22
(40)(40)1259
x y ABC A B C C ∆-+=的顶点是，、，、，又是椭圆上异于长轴端点的点，
则
=+C
B
A sin sin sin ( )
A 、2．
B 、
5
4 ． C D 、12 ． 16、设α
α
ααπ
αsin cos cos sin )20(33+∈，则，的最小值是 ( )
A 、6427．
B 、523．
C 、6
35． D 、1．
三、解答题(本大题共5题，满分74分．解答下列各题需要写出必要的步骤，并把解题过程清楚地书写在答题纸上)
17、本大题满分12分(其中(1)6分，(2)6分)
在三棱锥P ABC -中，PA PB PA PC PB PC ⊥⊥⊥，，，点D 、E 分别是棱BC 、AP 的中点。

(1)试用反证法证明直线DE 与直线CP 是异面直线；
(2)若PA=PB=PC=4，F 为棱AB 上的点，且
AB AF 4
1=，求二面角D —EF —B 的大小(结果用反三角函数值表示)．
18、本大题满分12分(其中(1)6分，(2)6分)
某实验室新购进10件精密仪器，因运输途中一次意外紧急刹车，导致其中3件仪器有不同程度的破损(变成废品)，余下7件完好无损。

现从包装箱中一件一件地抽取仪器，假设每件仪器抽到的可能性都相同．
(1)若每次抽出后都不放回，当拿到完好无损仪器时停止抽取，请写出抽取次数
ξ的概率分布律(只列表，不要求计算过程)． (2)求E ξ．
19、本大题满分14分(其中(1)6分，(2)8分)
已知0(sin sin())(13)2
x R u x x v π
ωωω∈>=-=，，
，，，，函数()1f x u v x ω=+⋅⋅sin 的2
π
最小正周期为．
(1)求ω的值．
(2)求函数()[]88
y f x ππ
=-在区间，上的取值范围．
20、本大题满分16分(其中(1)8分，(2)8分)
已知点P (0)0b a ，是y 轴上的动点，点F(1，0)、M(，)满足PM PF ⊥，动点N 满足20PN NM +=．
(1)求动点N 所在曲线C 的方程．
(2)已知点D (12)，在曲线C 上，若曲线C 上两点A 、B(都不同于D 点)满足DA DB ⊥，试证明直线AB 必过定点，并求出这个定点的坐标．
21、本大题满分20分(其中(1)4分，(2)6分，(3)最高10分)
若数列
{}22*
210(0)n n n n a a pa qa p q p q n N ++++=+≠∈满足其中，且、为常数对任意都
成立，则我们把数列{}n a 称为“L 型数列”．
(1)试问等差{}{}n n a b 数列、等比数列(公比为r)是否为L 型数列？若是，写出对应p 、q 的值；若不是，说明理由． (2)已知L 型数列{}n a 满足
)0≠0>4∈2≥(0=++2*11+q q p N n n qa pa a n n n ，－，，－，12x x 、是方程
20x px q ++=的两根，若0(12)i b ax i -≠=，，求证：数列{}*1(12)n i n a x a i n N +-=∈，，是等比数列(只选其中之一加以证明即可)．
(3)请你提出一个关于L 型数列的问题，并加以解决．(本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分)
黄浦区2009年高考模拟考
数学试卷(理科)(2009年4月9日)
参考答案和评分标准
说明：
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

一、填空题：
1、i 2-
7、5
2- 2、)1
[∞+-， 8、06822
=+-+y x y x
3、2
1
9、
18
18或、- 4、 1
10、034=+-y x
5、]21(，
11、
4
3
6、2
2
6432ππ或(只填一个给2分) 12、22±
二、选择题： 13、C 14、A 15、B 16、D
三、解答题
17、本大题满分12分(其中(1)6分，(2)6分)
证明 (1)(反证法)假设DE 与CP 不是异面直线. 2分
设DE 与CP 都在平面α上.αα∈∈E P ， ，
α≠
⊂∴PE .∵PE A ∈，α∈∴A . 又αα∈∈D C ， ，α≠
⊂∴CD .∵CD B ∈，α∈∴B .
∴点A 、B 、C 、P 都在平面α上，这与P 、A 、B 、C 不共面(P-ABC 是三棱锥)矛盾，于是，假设不成立. 5分
所以直线DE 与CP 是异面直线. 6分
解 (2) 按如图所示建立空间直角坐标系． 7分 由题可知，A(4，0，0)、B(0，4，0)、C(0，0，4)，进一步有D(0，2，2)、 E(2，0，0)、F(3，1，0)，且平面EFB 的一个法向量为)400(1，，==n ． 设平面DEF 的一个法向量为)(2z y x n ，，=，则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
022EF n n ，即⎩⎨⎧=+=--00y x z y x ．
取211=-==z y x ，，得．
所以)211(2，，-=n ． 9分 记θ的夹角为与21n n ，于是，
366
48|
|||cos 2121=
=
⋅=
n n θ，3
6
arccos =θ． 10分 结合图形可以判断二面角D —EF —B 是锐角，因此二面角D —EF —B 的大小为
3
6
arccos
． 12分
18、本大题满分12分
解 (1) 由题可知，随机变量ξ的概率分布律为:
分
(2) 由(1)可知，1201
41207330721071⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
＝8
11
． 12分
19、本题满分14分(其中(1)6分，(2)8分) 解 (1)依据题意，有
x x f ωs i n
1)(⋅⋅+= =x x x ωπ
ωωsin )31())2
sin((sin 1⋅⋅-+，，
=x x x ωωωsin cos 3sin 12
⋅-+ 2分
=x x ωω2sin 2
3
22cos 11--+ 3分 =
)6
2sin(23π
ω+-x ． 4分 又20πω=>T ，函数的最小正周期，∴222==
ωπ
ω，T
． 6分
(2) 由(1)可知，)6
4sin(23)(π
+-=x x f ．
当3
264324288π
ππππππ≤+≤-≤≤-≤≤-x x x ，时，可得. 8分
考察正弦函数的图像，进一步有1)6
4sin(23≤+≤-
π
x ，2
3
3)64sin(2321+≤
+-≤πx ． 13分
所以函数]2
3
321[]88[)(+-=，上的取值范围是，在ππx f y ． 14
分
20、本大题满分16分(其中(1)8分，(2)8分)
解 (1)设动点)(y x N ，． 1分
依据题意，有)1()()(b PF b a PM b y x PN -=-=-=，，，，，，)(y x a NM --=，．3分
又02=+⊥NM PN PF PM ，，则
⎪⎩⎪⎨
⎧-==⋅NM
PN 20，进一步有⎪⎩
⎪⎨⎧=-==+b y a x b a 20
2．因此，)0(42
≥=x x y ． 7分 所以曲线C 的方程是)0(42≥=x x y ． 8分 证明 (2) 因A 、B 是曲线C ：)0(42≥=x x y 上不同于D 点的两点，
可设)4
(12
1y y A ，、)2≠)(4(212122
2都不等于与，，y y y y y y B ，则
)214(121--=y y ，、)214
(22
2
--=y y ，，
)4
4(122
122y y y y AB --=，． 10
分
又DB DA ⊥，故0)2)(2()14
)(14(0212
2
21=--+--=⋅y y y y ，即，进一步化
简得20)(22121-+-=y y y y ． 12分
由直线AB 的法向量为)4
4(2
12221y y y y --=，，可得直线AB 的方程：
0))(4
4()4()(12
12
22
121=--+-⋅-y y y y y x y y ，即0442121
=++-y y y y y x ．把20)(22121-+-=y y y y 代入此方程，得054
)
(242121=-+-+-
y y y y y x ． 14分
进一步把直线AB 的方程化为0)2(4
)5(2
1=++-
-y y y x ，知其恒过定点(5，－2) ． 15
分
所以直线AB ：05--4
-2121=++２
y y y y y x 恒过定点，且定点坐标为(5，－2)． 16分
证毕！
21、本题满分 20分(其中(1)4分，(2)6分，(3)最高10分) (1) 答 等差数列{}{})(*∈N n b a n n 、等比数列
都是L 型数列． 理由 当数列{}n n n n n a a a a N n a -=-∈+++*112)(是等差数列时，有， 即0212=+-++n n n a a a ，且相应的12=-=q p ，． 2分 所以等差数列{})(*∈N n a n 是L 型数列．
同样，当数列{})()(12为公比是等比数列时，有r rb b N n b n n n ++*=∈， 即0012=⋅+-++n n n b rb b ，且相应的0=-=q r p ，． 4分 所以等比数列{})(*∈N n b n 是L 型数列． 证
(2)
∵
)
02(011≠∈≥=++*-+q N n n qa pa a n n n ，，，
2120x x x px q ++=、是的两实数根， 240p q ->，
∴121212*********()0n n n x x x x x x p x x q a x x a x x a +-≠≠+=-⋅=-++=，，，，． 6分
112121n n n n a x a x a x x a +-∴-=-
211()n n x a x a -=-． 8
分
120(1,2)i b ax i a a a b -≠===又，，， ∴数列{}111()()n n a x a n N b x a *+-∈-是以为首项，2x 公比为的等比数列． 10分
(同理可证，数列{}12()n n a x a n N *+-∈是等比数列)
(3)下面仅提供本小题提问涉及的可能情况和评分指导意见，若考生提出的问题与下列情况不同，则可根据问题的普适性分别归在下面某个层面加以评分．
第一层面的问题 (给予0分)
(1)提出等差数列、等比数列是L 型数列的问题．(本大题的第一问已经解决)
(2)判断一个数列不是L 型数列的问题．(不符合题意要求)
第二层面的问题 (给予4分，可得提出问题2分，解答问题2分)
(1)提出并解决：已知数列{})(*∈N n a n 是等差数列，则{})2(1*-∈≥±N ，n n a a n n 是L 型数列．
(2)提出并解决：
已知数列{})(*∈N n a n 是等比数列，则数列{})2(11*--∈≥⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⋅N ，n n a a a a n n n n 或是L 型
数列．
第三层面的问题 (给予6分，可得提出问题3分，解答问题3分)
(1)提出并解决：求本大题第二问中数列的通项公式(或前n 项和公式)问题.
(2) 提出并解决：
已知数列{}{})(*∈N n b a n n 、是等差数列，
则{})(2121是常数、，数列k k N n b k a k n n *∈+是L 型数列．
(3)提出并解决：求某个特殊L 型数列的通项公式(或前n 项和公式)问题.
(4)提出并解决：已知数列{})(*∈N n a n 是L 型数列，则{})2(1*-∈≥±N ，n n a a n n 是L 型数列．
第四层面的问题 (给予8分，可得提出问题4分，解答问题4分)
(1) 提出并解决：求某类L 型数列的通项公式(或前n 项和公式)问题(这里主要指按20x px q ++=方程的根的情况分类求解，并解决其中一类问题).
(2) 提出并解决：求Fibonacci 数列的通项公式问题(把该问题列入这一层面，主要是鼓励学生利用及时学习的新知识解决熟悉的著名数列的有关问题)．
第五层面的问题 (给予10分，可得提出问题2分，解答问题8分)
(1)提出并解决：求一般L 型数列的通项公式的问题.
(2)提出并解决：求一般L 型数列的前n 项和公式的问题．
【第五层面问题中的(1)的样例】
问题 已知L 型数列
{})0(0221121≠+=++==-+q p q p qa pa a b a a a a n n n n 是常数，且、，，满足，求通项公式n a .
解 设0221=++q px x x x 是方程、的两根.
①若可知，
时，则由)2()04(221≠-≠q p x x ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-----21
21222111)()(n n n n n n x ax b a x a x ax b a x a ，于是，1112212121-------=n n n x x x ax b x x x ax b a (*N n ∈). ②若有时，则由)2()04(221=-=q p x x
21111)(---=-n n n x ax b a x a ，又)0(221≠+q p x 必不为零， 所以2111112111111x ax b x a x a x ax b x a x a n n n n n n -⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=---为首项，公差为是以，即的等差数列． 因此，
)()1)(()1(*21111211111N n x n ax b ax a x ax b n x a x a n n n n n ∈--+=--+=--，即． 综上所述，若0221=++q px x x x 是方程、的两个不等根时，L 型数列的通项公式为111
2212121-------=n n n x x x ax b x x x ax b a (*N n ∈)；若0221=++q px x x x 是方程、的两个等根时，数列的通项公式为)()1)((*21111N n x n ax b ax a n n n ∈--+=--．。