中考数学考点总动员：专题(42)等腰三角形(含答案)

专题42 等腰三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2
b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=
2
180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论： 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二.等边三角形
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三.线段垂直平分线
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等
3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．20°
【答案】B 【解析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.
【详解】解：连接AD ，
∵AB 为O 的直径，
∴90ADB ∠=︒．
∵40BCD ∠=︒，
∴40A BCD ∠=∠=︒，
∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
2．下列叙述，错误的是( )
A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D ．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【解析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答案．
【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
D. 对角线相等的平行四边形是矩形，故D 选项错误，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键．
3．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A ．∠ABD=∠C
B ．∠ADB=∠AB
C C ．AB CB B
D CD = D ．AD AB AB AC
= 【答案】C 【解析】由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求， 故选C ．
4．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A ．5.6×10﹣1
B ．5.6×10﹣2
C ．5.6×10﹣3
D ．0.56×10﹣1
【答案】B
【解析】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610⨯，故选B.
5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )
【解析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案. 【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=1
2
∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+1
2
∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误；
根据对称轴可得：－=－，则b=3a，根据a<0，b<0可得：a>b；则③正确；
根据函数与x轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确.
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a，b，c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a，b，c之间的关系是解题关键.
7．下列交通标志是中心对称图形的为（）
【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
8．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）
A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4
【答案】A
【解析】先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可.
【详解】，
当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得
.
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；
9．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【答案】C
【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，
点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.
10．下列图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A．此图形不是轴对称图形，不合题意；
B．此图形不是轴对称图形，不合题意；
C．此图形是轴对称图形，符合题意；
D．此图形不是轴对称图形，不合题意．
故选C．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．若3，a，4，5的众数是4，则这组数据的平均数是_____．
【答案】4
【解析】试题分析：先根据众数的定义求出a的值，再根据平均数的定义列出算式，再进行计算即可．
试题解析：∵3，a，4，5的众数是4，
∴a=4，
∴这组数据的平均数是（3+4+4+5）÷4=4.
考点：1.算术平均数；2.众数．
12．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF
【答案】①②④
【解析】试题解析：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=
1
2
∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{
A FDM
AF DF
AFE DFM
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线．
13．已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．
【答案】y=﹣1x+1．
【解析】由对称得到P′（1，﹣2），再代入解析式得到k的值，再根据平移得到新解析式.
【详解】∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y=kx+3上，
∴﹣2=k+3，解得：k=﹣1，
则y=﹣1x+3，
∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣1x+1．
故答案为y=﹣1x+1．
考点：一次函数图象与几何变换．
14．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为9m，那么这栋建筑物的高度为_____m．
【答案】1
【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
详解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得，2
=
19
x
，
解得x=1，
即这栋建筑物的高度为1m．
故答案为1．
点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．
15．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．【答案】150
【解析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可
【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm，
6
nπ⨯
解得：150n =
故答案为150．
【点睛】
此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积
16．分解因式：3x 2-6x+3=__．
【答案】3(x-1)2
【解析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】()()2
2236332131x x x x x -+=-+=-. 故答案是：3(x-1)2.
【点睛】
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.
【答案】28
【解析】设这种电子产品的标价为x 元，
由题意得：0.9x −21=21×20%，
解得：x=28，
所以这种电子产品的标价为28元．
故答案为28.
18．月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________．
【答案】1.738×1
【解析】解：将1738000用科学记数法表示为1.738×1．故答案为1.738×1．
【点睛】
本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学计数法的计数形式，难度不大．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30︒，∠CBD=60︒．求AB 的长(精
确到0.1 1.73 1.41≈≈)；已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．
【答案】（1）24.2米(2) 超速，理由见解析
【解析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长．（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
【详解】解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，
CD
AD
tan30︒
=
213?
3
==
，
在Rt△BDC中，
CD
BD73
tan603
===
︒
，
∴AB=AD－BD=213?73=14314 1.73=24.2224.2
-≈⨯≈（米）．
（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．
∵43.56千米/小时大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．
20．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点
O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈24
25
，cos73.7°≈
7
25
，tan73.7°≈
24
7
【答案】点O到BC的距离为480m．
【解析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【详解】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，
在Rt△BOM中，BM==x，
由题意得，840﹣x+x=500，
解得，x=480，
答：点O到BC的距离为480m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
21．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
【答案】（1）W1=﹣x2+32x﹣2；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为18万元．
【解析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.
【详解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+1）﹣80=﹣x2+32x﹣2．
（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣2．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）由题意：7≤x≤16，
W2=（x﹣5）（﹣x+1）﹣20=﹣x2+31x﹣150，
∵7≤x≤16，
∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），
答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.
22．如图，直线y1=﹣x+4，y2=3
4
x+b都与双曲线y=
k
x
交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，
C两点．求y与x之间的函数关系式；直接写出当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集；若点P在x轴上，
连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
【答案】（1）
3
y
x
；（2）x＞1；（3）P（﹣
5
4
，0）或（
9
4
，0）
【解析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=1
4
BC=
7
4
，或BP=
1
4
BC=
7
4
，即可
得到OP=3﹣7
4
=
5
4
，或OP=4﹣
7
4
=
9
4
，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=3
x
；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B 的坐标为（4，0），
把A （1，3）代入y 2=34x+b ，可得3=34+b ， ∴b=94， ∴y 2=34x+94， 令y 2=0，则x=﹣3，即C （﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，
∴CP=
14BC=74，或BP=14BC=74
∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94
， ∴P（﹣54，0）或（94，0）． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
23．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线212
y x bx c =-++经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
()1求此抛物线的解析式．
()2求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
【答案】()1 21242
y x x =-++；()212． 【解析】（1）由正方形的性质可求得B 、C 的坐标，代入抛物线解析式可求得b 、c 的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D 点坐标，再由S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD 可求得四边形ABDC 的面积．
【详解】()1由已知得：()0,4C ，()4,4B ，
把B 与C 坐标代入212
y x bx c =-++得： 4124b c c +=⎧⎨=⎩
， 解得：2b =，4c =，
则解析式为21242y x x =-++； ()2∵221124(2)622
y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为()2,6，
则114442841222
ABC BCD ABDC S S
S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=四边形． 【点睛】
二次函数的综合应用．解题的关键是：在（1）中确定出B 、C 的坐标是解题的关键，在（2）中把四边形转化成两个三角形．
24．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示﹣
，设点B 所表示的数为m ．求m 的值；求|m ﹣1|+（m+6）0的值．
【答案】（1）2-2 ；（2）2
【解析】试题分析：()1 点A 表示2,- 向右直爬2个单位到达点B ，点B 表示的数为22m =-+， ()2把m 的值代入，对式子进行化简即可．
试题解析：()1 由题意A 点和B 点的距离为2，其A 点的坐标为2,- 因此B 点坐标2 2.m =-+
()2把m 的值代入得：()()0016221226m m -++=--+-+，
()0
1282=-+-，
211=-+， 2.=
25．如图，在东西方向的海岸线MN 上有A ，B 两港口，海上有一座小岛P ，渔民每天都乘轮船从A ，B 两港口沿AP ，BP 的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P 在A 港的北偏东60°方向，在B 港的北偏西45°方向，小岛P 距海岸线MN 的距离为30海里．
求AP ，BP 235；甲、乙两船分别从A ，B 两港口同时出发去小岛P 捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？
【答案】（1）AP＝60海里，BP＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时【解析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，则有PE=30海里，由题意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，从而可得 AP＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的长；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程，求解后进行检验即可得.
【详解】(1)如图，过点P作PE⊥MN，垂足为E，
由题意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，
∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，
∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴PE＝EB＝30海里，
在Rt△PEB中，BP＝22
PE EB
+＝302≈42海里，
故AP＝60海里，BP＝42(海里)；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，
根据题意，得
604224 1.260
x x
-=，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24(海里/时).，
答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.
26．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对
称？若是，请在图上画出这条对称轴．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；（1）△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x＝1,见解析.
【解析】（1）根据轴对称图形的性质，找出A、B、C的对称点A1、B1、C1，画出图形即可；
（2）根据平移的性质，△ABC向右平移6个单位，A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变；
（1）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是l：x=1．
【详解】（1）由图知，A（0，4），B（﹣2，2），C（﹣1，1），∴点A、B、C关于y轴对称的对称点为A1（0，4）、B1（2，2）、C1（1，1），连接A1B1，A1C1，B1C1，得△A1B1C1；
（2）∵△ABC向右平移6个单位，∴A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变，作出△A2B2C2，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；
（1）△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x=1．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质和作图﹣平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是（ ）
A ．70°
B ．80°
C ．110°
D ．140°
【答案】C 【解析】分析：作AC 对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC 的度数．
详解：作AC 对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P=12∠AOC=12
×140°=70° ∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C ．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩
的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为( )
A ．34-
B ．34
C ．43
D ．43
- 【答案】B
【解析】将k 看做已知数求出用k 表示的x 与y ，代入2x+3y=6中计算即可得到k 的值．
【详解】解：59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩
①②， ①+②得：214x k =，即7x k =，
将7x k =代入①得：75k y k +=，即2y k =-，
将7x k =，2y k =-代入236x y +=得：1466k k -=， 解得：34
k =． 故选：B ．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．
3．将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A ．y ＝2x 2+3
B ．y ＝2x 2﹣3
C ．y ＝2(x+3)2
D ．y ＝2(x ﹣3)2
【答案】C
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】y ＝2x 2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y ＝2（x ＋3）2，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
4． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
【答案】C 【解析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°−50°=40°.
故选C.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.
5．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
【答案】C
【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选C．
6．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（）
A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm
【答案】C
【解析】∵DG是AB边的垂直平分线，
∴GA=GB，
△AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm，
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm，
故选C.
7．设a，b是常数，不等式
1
x
a b
+>的解集为
1
5
x<，则关于x的不等式0
bx a
->的解集是（）
A．
1
5
x>B．
1
5
x<-C．
1
5
x>-D．
1
5
x<
【答案】C
【解析】根据不等式
1
x
a b
+>的解集为x＜
1
5
即可判断a,b的符号,则根据a,b的符号,即可解不等式
bx-a<0 【详解】解不等式10x a b +>, 移项得:1-x a b ＞ ∵解集为x<15
∴1-5
a b = ，且a<0 ∴b=-5a>0，15 15a b
=- 解不等式0bx a ->,
移项得:bx ＞a
两边同时除以b 得:x ＞
a b , 即x ＞-
15
故选C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键
8．如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(0，33)，∠ABO ＝30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为( )
A ．(3233
B ．(233
C ．3332)
D ．(32，333【答案】A
【解析】解：∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO=10°，点B 的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=333．∵将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，∴∠BAD=10°，AD=33．过点D 作DM⊥x 轴于点M ，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=
12AD=332，∴AM=33×cos10°=92，∴MO=92﹣1=32，∴点D 的坐标为（3233）．故选A ．
9．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）
A．0.7×10﹣8B．7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣10
【答案】C
【解析】本题根据科学记数法进行计算.
【详解】因为科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数10﹣，
法法可表示为7×9
故选C.
【点睛】
本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.
10．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）
A．315°B．270°C．180°D．135°
【答案】B
【解析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
【详解】如图，
∵∠1、∠2是△C DE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°-∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A
逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝k
x
的图象上，则k的值为_____．
【答案】1
【解析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=k
x
中，即可求出k
的值．
【详解】∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4,CD=2,且AD//x轴
∴点C的坐标为（6，2），
∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=k
x
的图象上，
∴k=2612
⨯=，
故答案为1．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，点P（3a，a）是反比例函
k
y
x
=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，
则反比例函数的表达式为______．
【答案】y=12 x
【解析】设圆的半径是r ，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： 14πr 2=10π 解得：r=210.
∵点P(3a ，a)是反比例函y=k x
(k>0)与O 的一个交点， ∴3a 2=k. 22(3)a a r +=
∴a 2=21(210)10
⨯=4. ∴k=3×4=12， 则反比例函数的解析式是：y=
12x . 故答案是：y=12x
. 点睛：本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键.
13．与直线2y x =平行的直线可以是__________（写出一个即可）．
【答案】y=-2x+5（答案不唯一）
【解析】根据两条直线平行的条件：k 相等，b 不相等解答即可．
【详解】解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．
故答案为y=2x+1．（提示：满足y 2x b =+的形式，且b 0≠）
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k ，b 都相同时，两条直线重合．
14．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．
【答案】1．
【解析】试题解析：设俯视图的正方形的边长为a ．
∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为22，
∴(2
2222a a +=，
解得24a =，
∴这个长方体的体积为4×3=1．
15．如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，PM=l ，则l 的最大值是
【答案】4
【解析】当CD∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，得出矩形CPOM ，推出PM=OC ，求出OC 长即可．
【详解】
当CD∥AB 时，PM 长最大，连接OM ，OC ，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB，
∵M 为CD 中点，OM 过O ，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM 是矩形，
∴PM=OC，
∵⊙O 直径AB=8，
∴半径OC=4，
即PM=4.
【点睛】
本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
16．分解因式：4m 2﹣16n 2＝_____．
【答案】4（m+2n ）（m ﹣2n ）．
【解析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=4（224m n - ）()()422m n m n =+-．。