数形结合,引领数学思维发展的应然追寻

教育界/ EDUCATION CIRCLE
2018年第38期（总第314期）课程教学
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【摘要】数与形是数学的两个基本属性，数学是研究“数”与“形”的科学。

通过数形结合，可以把抽象的数学语言、数量关系，与直观的几何图形、位置关系结合，有助于促使学生对数学知识的理解，更好地建构知识。

在数学课堂教学中，教师应从学生的已有知识经验水平出发，直面学生的学习现实，基于数形结合，引导学生参与认知的全过程，在自主建构中不断发展学生的数学思维，提升学生的数学学科素养。

【关键词】数形结合；数学思维；数学思考；数学素养
数形结合，引领数学思维发展的应然追寻
江苏省镇江市八叉巷小学　张莉
《义务教育数学课程标准（2011年修订版）》指出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

”数学教学，不仅仅是知识与技能的教学，更重要的是让学生在数学学习活动的过程中，积累数学活动经验，感悟数学思想和方法，引领数学思维的发展，形成数学学习能力，培养学生的数学学科素养。

数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

”数与形是数学的两个基本属性。

通过数形结合，可以把抽象的数学语言、数量关系，与直观的几何图形、位置关系结合，有助于促使学生对数学知识的理解，更好地建构知识。

一、从数到形，以数激趣
数与形，一直是数学学习中重要关注的对象，数学是研究“数”与“形”的学科。

数与形的结合，一方面激发了学生学习的兴趣，另一方面利于学生理解数学，引导学生从数学的认知上来展开探索的欲望，为后续知识的学习做好铺垫。

如苏教版数学三年级下册“识识一个整体的几分之一”的教学，是从数的认识开始引入，以数激趣，与图形结合，不断引导学生的认知走向深处。

课的开始，师引导学生回忆：大家对分数的认识不陌生，你能说出一个几分之一的分数吗？
生：二分之一，三分之一，五分之一……师：能说一说这些分数的意思吗？
结合学生说出的分数，引导学生说出这几个分数的意思。

教师出示一个长方形，引导学生思考：如何表示出这个长方形的四分之一？
学生交流：把这个长方形平均分成4份，表示其中的一份是长方形的四分之一。

教师出示一根线段，引导学生思考：如何表示出这根线段的四分之一？
学生交流：把这根线段平均分成4段，表示其中的一段是全长的四分之一。

教师指出：把一个物体平均分成几份，其中的一份就是它的几分之一。

在教学中，教师先引导学生回忆分数几分之一，在唤醒学生的认知基础上，结合图形表示分数的几分之一，进一步让学生体会分数与现实生活的联系，增强学生学习数学的兴趣，提高学生学好数学的信心。

二、由动到静，借图用数
数学学习，对于学生来说，重在理解知识的过程。

一些抽象的数学知识，可以通过简单的图形进行转化，便于学生更好地理解。

把数学知识由数到形进行变化，由复杂的数的知识转化成简单的形，让学生更好地把握问题的本质特征，充分地利用图形来解决数的问题，让学生以图来建构数学知识。

如苏教版数学五年级下册“解决问题的策略——转化”的教学，教师就是结合图形，把复杂的数学变得简单化，让学生在解决问题的过程中，体验转化的数学方法，在应用转化中感受转化的思想方法，积累数学活动的基本经验，发展学生数学
思维的灵活性和敏捷性。

教师先引导学生观察算式中分数的特点，结合特点，思考：如何求出这4个分数的和？
学生交流：可以把4个异分母分数运用通分的方法转化成同分母的分数计算出得数。

在此基础上，教师引导学生结合分数的意义，用图来表示
4个加数。

师：把正方形看作单位“1”，怎样涂色表示二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一这4个加数？
引导学生思考：要求这4个分数相加的和，是求正方形中什么部分的面积？
学生交流1：要求这4个分数相加的和，就是求正方形中涂色面积的大小是多少。

学生交流2：涂色面积的大小，也可以用整个正方形的面积减掉空白部分的面积。

在这里，教师依据加数的特点和规律，引导学生通过画图表示，发现算式的结果。

除了通过求和表示，也可以通过用单位1来减去空白部分的面积。

利用图形与数的结合，把动态的求和过程转化为简单地以图求解的过程，把枯燥的数学知识的理解，通过具体的几何图形，变成易于学生学习的生长点与延伸点，注重了知识的结构与体系，使学生感受了知识之间的联系，由抽象到直观，让学生感受了转化的策略，积累了数学活动的基本经验，使学生依据问题的特点，及时把数转化成图形来解决问题。

数学学习变得生动的同时，又不失数学的内涵，让学生触摸到了数学学科的本质。

三、以图推数，依图明理
史宁中教授曾说过：“数学的核心素养不能是终极目标，数学教育的终极目标是会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。

”
数学抽象是数学的本质特征之一，是数学学习中基本的数学思想方法。

它是对客观世界中的空间形式和感性表象进行加工、提炼，找出知识的本质属性，形成易于学生理解的数学结论的过程。

在这个过程中，学生能够体会知识的形成过程，抽象思维的能力得以进一步发展。

因此，在数学学习活动中，教师要引领学生参与知识学习的全过程，让学生经历数学抽象的过程，通过数学化的方式，及时培养学生的数学抽象概括能力。

如苏教版数学六年级下册“圆锥的体积计算”的教学，教师结合图形，在圆柱和等底等高的圆锥体积关系的基础上，引导学生进行推理，进一步探究数学的规律，提升学生的数学
认知。

出示：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

思考： 一个圆柱和一个圆锥底面积相等体积也相等，圆锥的高与圆柱高的关系？
通过引导学生进行数学推理，变封闭、被动的学习为开放、主动、动态的探究，不断引领学生进行自觉的数学思维，使学生掌握数学学习的方法，提升学生的数学素养。

四、从思及用，用图解题
学生学习数学的过程，是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

在数学活动中，教师应从学生已有的认知基础和经验出发，不断地引导学生从抽象的数学语言开始，结合具体的数学图形，培养学生不断分析问题的能力，巧妙地催化解决问题的能力，启发学生的数学思维，推动学生的数学核心素养的发展。

如苏教版数学四年级下册“解决问题的策略”的教学，教师就是充分利用线段图，数形结合，从不同角度展开问题思考
的。

教师出示：“小宁和小春一共有72枚邮票，小春比小宁多12枚，两人各有多少枚？”引导学生画出线段图，思考并求出两人各有多少枚？结合原有的解决问题的经验，把条件中两个不相等的数量转化成相等的数量即可。

学生自己解答，集体交
流。

生1：把总数看成两个小宁的邮票数，总数就需要去掉12枚是60枚，小宁是60除以2等于30枚，小春就是30枚加12枚等于42枚。

生2：把总数看成两个小春的邮票数，总数就需要加上12枚是84枚，小春是84除以2等于42枚，小宁就是42枚减12枚等于30枚。

生3：把72枚总数平均分成两份，小宁和小春各取一份是36枚，再把小春比小宁多的12枚平均分成两份，每份是6枚，小宁的36枚去掉6枚等于30枚，小春的36枚加6枚等于42枚。

这个教学环节中，教师引导学生从不同的角度独立思考，
确定解题思路，数形结合，不断生成不同的解决问题的策略，
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新情境，然后从这些情境中获取有效的信息进行答题。

这些情境对学生来说是陌生的、复杂的，但是真实的。

这就要求学生在答题时根据所给出的情境迅速确定其主旨（题），进而找准出题者意图，进而准确答题。

这种能力如何培养呢？这就需要老师在实际课堂教学中，适当补充有效的材料，如一些原始史料、历史学科发展的前沿成果等，使学生在掌握必备历史知识的同时，也懂得知识的迁移以及了解到更加广阔的历史，而不仅仅限于教材。

举个例子，在讲述《历史》必修I第二单元，第7课“古罗马的政制与法律”时，其中有一个重要内容就是罗马法的原则。

我们做题时，题目不会直接问你罗马法有哪些原则，而是通过材料让你判断该材料体现了什么原则。

而在高考中往往又会是一些新情境，所以老师在讲课时要多方搜集资料，让学生见多识广。

我们可以举这样一个例子，乌尔比安的
《论告示》中记载：“如果洗衣人收到了一件交付清洗的衣服，而老鼠将衣服咬坏了。

那么，洗衣人要对此依照承揽之诉承担责任。

”这一案例体现了罗马法契约至上的原则，通过补充这一段材料就对契约至上这一主题进行了一个课外的拓展，让主题得到了升华。

因此，在进行二轮复习时，老师不能也不可能面面俱到，应该依据历史课程标准及高考考纲对教学内容分析，适当补充有效材料，大胆舍弃无关细节，使所有的教学步骤都围绕教学主题来安排，每一项教学内容都明确而集中地体现和服务于教学的主题，做到形散而神不散。

三、进行主题立意时需要注意的问题
1.要符合学科特点
历史是客观的，它不同于文学作品，可以来源于生活而高于生活，所以历史课堂教学的主题绝不是教师想当然的看法或对史实随意性判断，而是在马克思唯物史观的指导下，根据相关的史料整理分析而来。

因此，课堂教学主题的提炼与确立是经过我们老师对教材资源的整合以及对史料进行论证的基础上
得出来的，这一过程需要遵循严密的逻辑性，充分体现“史由证来，论从史出”的治史原则。

2.要符合学生的需求
学生是接受知识的对象，更是课堂的主体，因此老师在研究教学教材的同时，也要深入了解学生，设计出符合学生需求的教学主题。

学生的需求，是形成教学主题的主导因素。

教学主题要符合学生的需求，主要包括三个要求。

其一，教学主题的要求适合学生的认知能力，能够实现学生在教学主题引导下积极参与课堂教学，实现教学内容向学生认知的转化。

其二，教学主题能激活学生兴趣，教师一个合适、恰当的主题设计往往能激起全班中大部分同学的热情，引发学生兴趣，调动学生的思维，让学生主动参与，起到事半功倍的效果。

其三，教学主题必须具有内涵，必须要经过一定的探究和思考的过程，而不是教材有现成的答案或者一看便知的，具有一定的课堂探讨价值，包含着一定的深度，给人思考的空间。

总之，在二轮复习中，教师应通过整合教材资源，主题立意复习，与学生一起整合零散的教学内容，构建完整的网络体系，而网络体系的构建又升华了鲜明的教学主题。

从而使学生学习的连接不再是个问题，并能整合成长。

在整合教材资源、主题立意复习下，高三的二轮复习也不再是“再炒的冷饭”，而是又一轮新的探索，老师抛砖引玉，是引路人；学生主动探索、积极思考，是主体，解题能力得到提高的同时，也提升了
学习历史的兴趣，个性得到了全面和可持续发展。

 【参考文献】
［1］ 黄牧航.高中历史科学业评价体系研究［M］.吉林：长春出版社，2010.
［2］ 现代汉语词典［M］.商务印书局，1994.
形成灵活而灵动的思维品质。

总之，在数学课堂教学中，教师应从学生的已有知识经验水平出发，直面学生的学习现实，基于数形结合，引导学生参与认知的全过程，在自主建构中不断发展学生的数学思考，提
升学生的学习品质。

 
【参考文献】
［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.
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