冲刺2021中考数学《知识点12 一元二次方程》真题分类汇编(含答案)

一、选择题
6．（2020湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．实数根的个数与实数b 的取值有关
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．
9．（2020·铜仁）已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值等于（ ） A ．7
B ．7或6
C ．6或﹣7
D ．6
{答案}B {解析}有两种情况：①m 、n 中有一个的值为4，即4是方程的一个解，所以16－24＋k ＋2=0，解得k=6；②m=n ≠4，即方程有两个相等的实数根，所以36－4（k+2）=0，解得k=7。

因此本题选B ．
8．（2020·黔西南州）已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m ≤2
C ．m ＜2且m ≠1
D ．m ≤2且m ≠1
{答案}D
{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m ≤2．又因为(m －1)x2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综上所述，m 的取值范围是m ≤2且m ≠1，因此本题选D ． 5．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．21
04
x x -+
= B ．2240x x ++= C ．220x x -+= D ．220x x -=
{答案}D{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别式b2－4ac 的值，若b2－4ac ＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根．在方程x2－2x ＝0中，因为a ＝1，b ＝－2，c ＝0，所以b2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，所以有两个不相等的实数根，因此本题选D ．
6．（2020·遵义）已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两根，则x 21＋x 2
2的值为（ ）
A ．5
B ．10
C ．11
D ．13
{答案}D{解析}本题考查一元二次方程根与系数的关系．∵x1，x2是方程x2－3x －2＝0的两根，由一元二次方
程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，∴x 21＋x 2
2＝（x1＋x2）2－2 x1·x2＝9＋4＝13． 故选D.
4．（2020·黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） A ．﹣7
B ．7
C ．3
D ．﹣3
{答案}A{解析}根据一元二次方程根与系数的关系“12b
x x a
+=
”求解．
设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7． 5．（2020·安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2
+1＝2x B ．x 2
+1＝0
C ．x 2
﹣2x ＝3
D ．x 2
﹣2x ＝0
{答案}A
{解析}逐项分析如下：
8．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2－3－1＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －
43)2＝1617 B ．(x －43)2＝21C ．(x －23)2＝413 D ．(x －2
3
)2＝411
{答案}A{解析}由2x2－3x －1＝0，得2x2－3x ＝1，∴x2－23x ＝21，x2－23x ＋(43)2＝21＋(43)2，∴(x －4
3
)2＝
1617．本题中“2
3
x ”即完全平方式“a2－2ab ＋b2”中的“2ab ”，确定b 值是完成配方的关键． 8．（2020·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( ) A. 5000(12)
7500x B. 5 000×2(1+x )=7 500
C. 2
5000(1)
7500x D. 2
50005000(1)5000(1)7500x x
{答案}C{解析}2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则2018年的快递业务收入为5000（1+x ）亿元， 2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年
的快递业务收入为5000(1+x)＝5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，∴可列方程是
2
5000(1)7500x ．
5．（2020·黑龙江龙东）已知2+√3是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0
B ．1
C ．﹣3
D ．﹣1
{答案} B{解析}本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意，得（2+√3）2﹣4×（2+√3）
+m ＝0，解得m ＝1；故选：B ．
4．(2020自贡)关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ）
A ．1
2 B ．−1
2
C ．1
D ．﹣1
{答案} A ．
{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：∵关于x 的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴{a ≠0△=(−2)2−4×a ×2=0，∴a =1
2． 因此本题选A ．
5．（2020·南京）关于x 的方程(x －1)(x ＋2)＝p 2(p 为常数)的根的情况，下列结论正确的是( ) A ．两个正根 B ．两个负根
C ．一个正根，一个负根
D ．无实数根
{答案}C
{解析}【解析】化简方程，得：x 2＋x －2－p 2＝0，根据的判别式△＝12－4×1×(－2－p 2)＝1＋8＋4p 2＝9＋4p 2＞0，故该方程有两个不相等实数根.
7．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．3或4
D ．7 {答案}C
{解析}结合一元二次方程的解及判别式，根据边长3是底边长还是腰长分类讨论求解，注意所得解需符合三角形的三边关系．①当3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程的两相等实根，则△＝(－4)2－4k ＝0，解得k ＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4＞3，满足三角形三边的关系，∴k ＝4；②当3为等腰三角形的腰长时，则x ＝3为一元二次方程的一个解，把x ＝3代入方程，得9－12＋k ＝0，解得k ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x 1=1，x 2=3，因为1+3＞3，符合三角形的三边关系，所以k ＝3．综上可知，k 的值为3或4．
9．（2020·湖北荆州）定义新运算“a b ”：对于任意实数a ，b ，都有1a b a b a b ，其中等式右
边是通常的加法、减法、乘法运算，例4343431716.若x k x （k 为实数）是关于x 的
方程，则它的根的情况为（ ）
A. 有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D.没有实数根 {答案}C
{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得
221
0x x
k ，∴2
22
1
41
1540k k ，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题
选C ．
8．（2020·怀化）已知一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．k ＝4 B ．k ＝﹣4
C ．k ＝±4
D ．k ＝±2
{答案}C
{解析}根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值． 解：∵一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣k ）2﹣4×1×4＝0， 解得：k ＝±4． 故选：C ．
8.(2020·潍坊)关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 无法确定 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式..一元二次方程
20(0)ax bx c a b c a ++=≠、、是常数，中，若240b ac ->，则方程有两个不相等的实数根；若
240b ac -=，则方程有两个相等的实数根；240b ac -<，则方程没有实数根.显然△=2
(3)4(1)k k ---=
2225(1)40k k k -+=-+>.故选A.
6.(2020·潍坊)若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2
D. 1
{答案}D{解析}本题考查了整体数学思想.2483m m +-=24(2)34131m m +-=⨯-=.故选D. 8．（2020·营口）一元二次方程x 2－5x +6＝0的解为（ ）
A ．x 1=2，x 2=－3
B ．x 1=－2，x 2=3
C ．x 1=－2，x 2=－3
D ．x 1=2，x 2=3
{答案}D{解析}对于x2－5x+6＝0，△=（－5）2－4×1×6=1，由求根公式可得x=(5)
21
=
51
2
，∴x1=2，x2=3是原方程的解．
10．（2020·滨州）对于任意实数k ，关于x 的方程
2
21(5)22502
x k x k k -++++=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判定 {答案}B
{解析}本题考查了根的判别式，221(5)2250
2x k x k k -++++=，△=[-（k+5）]2 -4×12×（k2+2k+25）=-k2+6k-25=-（k-3）2-16，不论k 为何值，-（k-3）2≤0，即△=-（k-3）2-16＜0，所以方程没有实数根，因此本题选B ．
8．（2020·临沂）一元二次方程2480x x --=的解是（ ）
A.12x =-+
22x =--
B.12x =+
22x =-
C.12x =+
22x =-
D.1x =
，2x =-{答案}B{解析}考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用公式比较简洁
：
2x ===±
1
2x =+
22x =-B 正确．
9． （2020·广州）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 {答案}D
{解析}本题考查了一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式，由“y x a =+不经过第二象限”可得0a ≤.当
0a =时，原方程即为210x +=，此时实数解只有1个；当0a <时，此一元二次方程的根的判别式24440b ac a ∆=-=->，此时方程有2个不相等的实数根．因此关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数为1
个或2个．因此本题选D ．本题容易漏掉0a =的情况．
5．（2020·通辽）关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜1且k ≠0
B ．k ＜1
C ．k ≤1且k ≠0
D ．k ≤1
{答案}D
{解析}若k =0，则方程为﹣6x +9＝0，得x =3
2
，有解；若k ≠0，则kx 2﹣6x +9＝0是一元二次方程，令△=（－6）
2
－4×9k ≥0，则方程有解，此时可得k ≤1；综上可得k ≤1．
4．（2020·邵阳）设方程x 2－4x －5＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（ ）
A .3 B.-
C. D .-2 {答案}A
{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-，由韦达定理：12x x +(3)
31
b a -=-
=-=，因此本题选A ． 5. （2020·攀枝花） 若关于x 的方程2
0x x m --=没有实数根，则m 的值可以为（ ）
A. 1-
B. 1
4
- C. 0 D. 1 {答案}A
{解析}由方程无实数根可知140m +<，得1
4
m <-
，则A 符合题意. 6．（2020·广西北部湾经济区）一元二次方程x 2﹣2x +1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定
{答案} B
{解析}∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴有两个相等的实数根，因此本题选B ．
9．（2020·天门仙桃潜江）关于x 的方程0)1(22
2
=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，且α 2＋β 2=12，
232
3
那么m 的值为
A ．－1
B ．－4
C ．－4或1
D ．－1或4
{答案}A ，解析：本题考查了根与系数的关系, 根的判别式,x 的方程0)1(22
2
=-+-+m m x m x 有两个实数根
α，β，∴α+β=2(m −1),αβ=2m −m ，∵α 2＋β 2=12， ∴()αββα22
－+ =12，∴4(m −1)2−2(2
m −m)=12，解得：
m=4或m=−1，∵△=4(m −1)2−4(2
m −m)△0，解得：m△1.故m=4舍去，∴m=−1.
7．（2020·武威）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣1或2
B ．﹣1
C ．2
D ．0
【解析】把x ＝1代入（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0得： m ﹣2+4﹣m 2＝0， ﹣m 2+m +2＝0，
解得：m 1＝2，m 2＝﹣1，
∵（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0是一元二次方程， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2， ∴m ＝﹣1， 故选：B ．
二、填空题
18．（2020·黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了
________个人． {答案}10
{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据题意得1＋x ＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，解得x1＝10，x2＝－12（舍去），因此本题答案为10． 10．（2019·上海）如果关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是 ．
{答案}D{解析}△方程x2－x ＋m ＝0没有实数根，△△＝1－4m ＜0，∴m ＞14．
14．（2020·枣庄）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋a 2－1＝0有一个根为x ＝0，则a ＝_______． {答案}－1{解析}利用方程根的定义与一元二次方程的定义解题．把x ＝0代入方程，得a2－1＝0，解得a ＝±1．因为(a －1)x2－2x ＋a2－1＝0是关于x 的一元二次方程，故有a －1≠0，即a≠1，∴a ＝－1． 14．（2020·乐山）已知y ≠0，且x 2－3xy －4y 2＝0，则x
y 的值是________．
{答案}4或－1
{解析}将已知等式两边同除以y 2
进行变形，再利用因式分解法解关于x y 的一元二次方程即可．∵y ≠0，∴两边同除
以y 2
得：(x y )2－3(x y )－4＝0，因式分解得：(x y －4)(x y ＋1)＝0，解得x y ＝4或x y
＝－1．
10．（2020·北京）已知关于x 的方程2
20x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 ． {答案}1
{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有相等实数根的条件是△＝0，即△＝4–4k ＝0，解得k ＝1．
（2020·江西）8.若关于x 的一元二次方程2
20x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据a
c
x x =21，可得212-=⋅x ，∴另外一根为-2，故答案为-2
11．（2020·扬州）方程（x +1）2=9的根是 . {答案} x 1=2，x 2=-4
{解析}本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题直接开方求解即可．（x +1）2
=9，x +1=±3，x 1=2，
x 2=-4．故答案为x 1=2，x 2=-4．
14．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为______． {答案}1
{解析}设原方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝3m 2．依题意，得｜x 1－x 2｜＝2．∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，∴16m 2－12m 2＝4．解得m 1＝－1(不合题意，舍去)，m 2＝1．
17．（2020·南通）x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根，则x 12－2x 1＋2x 2的值为 ▲ ． {答案}2028
{解析}根据方程根的定义和根与系数的关系求解． ∵x 1为方程x 2－4x －2020＝0的根，
∴2
11420200x x --=，∴21142020x x -=，
∵x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝4，
∴x 12－2x 1＋2x 2＝ x 12－4x 1＋2（x 1＋x 2）＝2020＋2×4＝2028．
10．（2020·泰州）方程2
230x x +-=的两根为1x 、2x 则12x x ⋅的值为______． {答案}－3
{解析}本题考查了根与系数关系，根据公式12x x ⋅＝
c
a
，可得本题结果为－3． 5．（2020·镇江）一元二次方程 x 2−2x =0 的两根分别为 ． {答案}x 1＝2，x 2＝0
{解析}本题考查了一元二次方程的解法，本题用因式分解法比较简便，方程可化为x (x －2)＝0，∴x ＝0或x －2＝0．
14．（2020·常州）若关于x 的方程x 2＋ax －2＝0有一个根是1，则a ＝________．
{答案}a ＝2
{解析}本题考查了一元二次方程的根的意义，把x ＝1代入方程得：1＋a －2＝1，∴a ＝2
（2020·本溪）13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 ． {答案} k ＜﹣1
{解析}由“关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根”可知：△＝4+4k ＜0，∴k ＜﹣1
8．(2020·青海)在解一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为x 1＝2，x 2＝3；小刚看错了常数项c ，得到的解为x 1＝1，x 2＝4．请你写出正确的一元二次方程______． {答案}x 2－5x ＋6＝0
{解析}由小明的结果可知c ＝2×3＝6，由小刚的结果可知b ＝－(1＋4)＝－5．所以原一元二次方程是x 2－5x ＋6＝0．
22．(2020·成都)关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −3
2
=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ．
{答案}m ≤72
．{解析}根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
解：△关于x 的一元二次方程2x2﹣4x+m −3
2=0有实数根，
△△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −3
2）＝16﹣8m+12≥0，解得：m ≤7
2，故答案为：m ≤7
2． 10．（2020·黄冈）已知是x 1，x 2一元二次方程x 2－2x －1=0的两根，则
12
1
x x = ． {答案}﹣1{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由题意得121x x =-，所以121
1
x x =-，因此本题答
案为﹣1．
13．（2020·抚顺本溪辽阳）若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0无实根．则k 的取值范围是 ． {答案} k ＜－1{解析}根据一元二次方程根的判别式可知，当△＝b2－4ac ＜0时方程无实根，即可列式求值．∵
关于x 的一元二次方程x2＋2x －k ＝0无实根，∴△＝22－4×1×(－k)＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1．故答案为k ＜－1． 15．（2020·内江）已知关于x 的一元二次方程()2
21330m x mx -++=有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为_____________
{答案}1
3
-{解析}本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m 的一元二次方程，解得m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定m 的值． 把x=-1代入()2
21330m x mx -++=得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4， △(m-1)2≠0，△m ≠1．△m=4.△方程为9x2+12x+3=0.设另一个根为a,则-a=
39
. △a=-
13.因此本题答案为－13
． 15．（2020·宜宾）已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则
21x x +2x 1x 2+12
x
x ＝ ． {答案}－
37
2
{解析}根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将21x x +2x1x2+1
2
x x 用两根之和与两根之积表示，从而得到式子的值．
∵一元二次方程x2+2x ﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，
∴21x x +2x1x2+12x x ＝2x1x2+221212x x x x +＝2×（﹣8）+21212
12
()2x x x x x x +- ＝﹣16+2(2)2(8)8
--⨯--＝－372．
12．（2020·咸宁）若关于x 的一元二次方程2
(2)x n +=有实数根，则n 的取值范围是__________．
{答案} n≥0
{解析}本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，∵关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，而
2(2)0x +≥，∴n≥0，，因此本题填n≥0．
13.（2020·娄底）一元二次方程2
20x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． {答案}1
{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，
方程220x x c -+=有两个相等的实数根，240,b ac ∴=-=
()2
2410,c ∴--⨯•= 44,c ∴= 1c ∴=，因此本题填1．
15．（2020·东营）如果关于x 的一元二次方程260x x m 有实数根，
那么m 的取值范围是 ． {答案}m ≤9
{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b 2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝62－4m ×1≥0，解得m ≤9．
18．（2020·毕节）关于x 的一元二次方程（k ＋2）x 2＋6 x ＋k 2＋k －2＝0有一个根是0，则k 的值是_________． {答案}1，
{解析}本题考查一元二次方程的根．
解： ∵x ＝0，∴关于x 的一元二次方程为k 2＋k －2＝0．∴（k ＋2）（k －1）＝0． ∴k 1＝－2，k 2＝1．∵k ＋2≠0，∴k 1＝－2（舍去）． 故答案为1
10.（2020·郴州）已知关于x 的一元二次方程0522=+-c x x 有两个相等的实数根，则=c ．
{答案}
{解析}根据题意得△＝（－5）2－4×2×c ＝0，解得c ＝
．故答案为：
．
14．（2020·威海）一元二次方程4x （x ﹣2）＝x ﹣2的解为 x 1＝2，x 2=1
4 ． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】：4x （x ﹣2）＝x ﹣2 4x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0 （x ﹣2）（4x ﹣1）＝0 x ﹣2＝0或4x ﹣1＝0
解得x 1＝2，x 2=1
4．
故答案为：x1＝2，x2=1 4．
15．（2020·烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m ＞0且m≠1．
【解析】根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．15．（2020·淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
m＜1
8．
【解析】∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜1
8，故答案为m＜
1
8．
9.（2020·吉林）一元二次方程2310
x x
+-=根的判别式的值为______．
【答案】13
【解析】∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b2-4ac=9+4=13．∴一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
13.（2020·永州）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是．
【答案】m＞﹣4．
【解析】由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．
5．（2020·云南）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为．
{答案}1
{解析}若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的等式，求出c的值即可．
三、解答题
24．（2020·贵阳）（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x ≤15） 时间x （分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数y （人）
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
{答案}解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
△当0≤x≤9时，y 是x 的二次函数，△当x ＝0时，y ＝0，△二次函数的关系式可设为：y ＝ax2+bx ，由题意可得：{170=a +b 450=9a +3b ，解得：{a =−10b =180，
△二次函数关系式为：y ＝﹣10x2+180x ， △当9＜x≤15时，y ＝180， △y 与x 之间的函数关系式为：y ={
−10x
2
+180x(0≤x ≤9)
180(9＜x ≤15)
；
（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，
由题意可得：w ＝y ﹣40x ={−10x 2+140x(0≤x ≤9)
810−40x(9＜x ≤15)
，
△当0≤x≤9时，w ＝﹣10x2+140x ＝﹣10（x ﹣7）2+490，△当x ＝7时，w 的最大值＝490，
△当9＜x≤15时，w ＝810﹣40x ，w 随x 的增大而减小，△210≤w ＜450，△排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x ＝0，解得：x ＝20.25， 答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； （3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，
解得m ≥
11
8
，△m 是整数，△m ≥118
的最小整数是2，△一开始就应该至少增加2个检测点．
20（2020·江苏徐州）（1）解方程：2x 2
-5x +3=0； {解析} （1）利用因式分解法来解这个方程；
{答案}解：（1）∵2x2-5x+3=0，∴（2x-3）（x-1）=0，∴x1=3
2，x2=1.
18．（2020·南京）解方程：x 2－2x －3＝0.
{解析}观察方程的系数特征，适合运用配方法解方程. {答案}解：移项，得：x 2－2x ＝3，
配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即(x －1)2＝4. 两边同时开方，得：x －1＝±2， △x 1＝3，x 2＝－1.
20．（2020·无锡）解方程：
（1）x 2＋x －1＝0 解：（1）x 2＋x －1＝0，△＝5，∴x ＝－1±52
(2020·南充）20.已知1x ，2x 是一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根. （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得等式
2112
1-=+k x x 成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由. {解析}（1）根据一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根得到△=（﹣2）2
﹣4（k+2）≥0，解关于k 的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得出含有k 的式子，将等式变形后代入，解答关于k 的方程，注意舍去不符合题意的值．
{答案}解：（1）∵一元二次方程x 2
﹣2x +k +2＝0有两个实数根， ∴△＝（﹣2）2
﹣4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤﹣1．
（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2
﹣2x +k +2＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝k +2．
∵
11x +2
1
x ＝k ﹣2， ∴
1212x x x x +＝2
2
k +＝k ﹣2， ∴k 2
﹣6＝0，
解得：k 1
，k 2
． 又∵k ≤﹣1， ∴k
．
∴存在这样的k 值，使得等式
11x +2
1
x ＝k ﹣2，成立，k
． 19．（2020·齐齐哈尔）解方程：x 2﹣5x +6＝0 解：∵x 2﹣5x +6＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0， 则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0， 解得x 1＝2，x 2＝3．
21.（2020·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程2
x -(2k+1)x 2
1+
2
k -2=0.
(1)求证:无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根1x ，2x 满足1x -2x =3，求k 的值. {解析}考查根的判别式和根与系数的关系式定理.
（1）直接将方程中的各项系数代入根的判别式2
=4b ac ∆-得到一个大于0的式子即可证明.
（2）利用根与系数的关式得到：1221x x k +=+，2
12122
x x k =
-，然后再代入到由已知转化得来的式子21212)49x x x x +-=（，代入可求k 的值.
{答案}解：（1）∵∆=2
2
1
(21)4(2)2
k k +--
＝22
44128k k k ++-+
＝2
249k k ++
＝2
2
1)7k ++（ ∵无论k 取任何实数，22
1)0k +≥（，∴221)7k ++（>0. ∴无论k 取任何实数,方程总有两个不相等的实数根. （2）由一元二次方程的根与系数的关系定理，得：
1221x x k +=+，2
12122
x x k =
-. ∵123x x -=，∴
212)9x x -=（，即21212)49x x x x +-=（ ∴
2
2121)4(2)92
k k +-⨯-=（，化简得：2
20k k +=. ∴解得k 的值是0，－2.
18．（2020·随州）已知关于x 的一元二次方程2
x +(2m+1)x+m-2-0. (1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根1x ，2x ，且1x +2x +31x 2x =1，求m 的值.
(1)证明：依题意可得△=2)-4(m -1)+(2m 2
…………1分
=9+4m 2
＞0，
故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.………3分 (2)解：由根与系数的关系可得：
⎩⎨
⎧-=+-=+2)
12(2
121m x x m x x ，………………5分 由1x +2x +31x 2x =1，得-(2m+1)+3(m-2)=1，解得m=8.……7分
20．（2020·鄂州）已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且
1212
33
4x x x x +=-，求实数k 的值． {解析}本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()2
4411k --⨯⨯+≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．
{答案}解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()2
4411k --⨯⨯+≥0， 解得：k ≤3，
故k 的取值范围为：k ≤3．
（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+
由
1212334x x x x +=-可得()121212
34x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：
12
141
k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去）， 经检验，3k =-是原方程的根， 故3k =-．
18．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2
224250x
x x
x
【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0）
，则有222x x t ， 原方程可化为：2
450t t
【续解】2
29
t
{
解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．
本题用来换元的式子
t ，其两边分别平方后有222x x t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方
程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】2
2
9t ∴2
3t ，即11t ，2
5t
∵220t
x x
，
∴221t
x x ，
则有2
21x x ，配方，得：2
1
2x
解得：112x ，212x
经检验：1
1
2x ，2
1
2x 是原方程的根.
22．（2020·宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及
以上公司营销活动重叠范围内地方面积. 材料：某地有A ，B 两家商贸公司（以下简称A ，B 公司）.去年下半年A ，B 公司营销区域面积分别为m 平方千
米，n 平方千米，其中m =3n ，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为
2
9
；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面积比去年下半年增长了x %，B 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A 公司的4倍，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为3
7
，同时公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积．．．．．．．
的比比去年下半年增加了x 个百分点. 问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与
B 公司营销区域面积的比），并解答； （2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A 公司每半年每平方千米产生
的经济收益均为B 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比. {解析}（1）通过设未知数找等量关系：公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为2
9
等列出方程，最后求解即可．（答案不唯一）
（2）设B 公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A 公司为1.5a ．去年下半年A ，B 公司产生的总经济收益为1.5a ×3n +a ×n =5.5na
今年上半年A ，B 公司产生的总经济收益比去年下半年增加了x 个百分点为1.5a ×3n ×(1 +x%)+ an × (1 +4×x% )．设增加的百分点为x%，找等量关系：公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x 个百分点，列出方程求解即可．
{答案}解：（1）问题1:求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比 解答：3n ×2
9=2
3n 2
3n ：n =2
3 问题2:A 公司营销区城面积比B 公司营销区域的面积多多少? 解答: 3n −n =2n 问题3:求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的 解答：3n ×2
9=2
3n 2
3n ÷(3n +n −2
3n)=1
5
（2）[3
7×3n(1+x%)]÷[3n(1+x%)+n(1+4x%)−3
7
×3n(1+x%)]=3n×2
9
÷(3n+n−2
3
n)+x%
100(x%)2+45x%−13=0解得x%=20%，x%= 65%(舍去)
设B公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a
今年上半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n×(1 + 20%)+ an×(1 +4×20% )=7.2na
去年下半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n+a×n=5.5na
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na):(7.2na)=55:72
24．（2020·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每下克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
{解析}本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，（1）根据月销售量=500-（销售单价-50）×10来求解，（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量得方程再求解，（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质求解．
{答案}解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，
解得：x1=65，x2=75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，
∴当m=70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
21．（2020·玉林）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求
1
11
a
a b
-
++
的值.
{解析}（1）直接根据一元二次方程根的判别式求出k的范围；
（2）首先把代数式化简转化为两根积和两根的和的形式，然后再根据根与系数的关系求出代数式的值．{答案}解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4×1×（－k）＞0，∴k＞－1；
（2）
1
11
a
a b
-
++＝
()()()()
(1)1(1)
1111
a b a
a b a b
+⨯+
-
++++
＝
11
11
ab a a ab
ab a b ab a b
+---
=
++++++
，
∵a＋b＝－2，ab＝k，∴原式＝
1
1
ab
ab a b
-
+++
＝
1
1
21
k
k
-
=
-++
.
21．（2020·黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根，
∴△＝[m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，
解得：m≥0．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝﹣2，
∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，。