可分离变量的微分方程1

2y2 x2 xy
xy y2

2 1
y 2
x


y x
y y 2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u

xu

2u2 1 u

u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
X 2(u2 2u 1) C, 即Y 2 2XY X 2 C, 将 X x 1,Y y 2 代回， 得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C, 或 x2 2xy y2 2x 6 y C1.
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5

y
4
5dy

2
x
2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函

(
Ce
y)
x,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 6 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
五、小结
分离变量法步骤:
1、分离变量;
2、两端积分-------隐式通解. 齐次方程 dy f ( y).
dx x
齐次方程的解法 令 u y . x
可化为齐次方程的方程
令

x y

X Y
h .
k
y
y |x0 1 的特解.
解
分离变量
ydy 1 y2 xdx,
两端积分 1 ln(1 y2 ) 1 x2 1 ln C,
2
。2 2
即
ln(1 y2 ) x2 ln C
所以原方程的通解为 1 y2 Cex2
将 y |x0 1代入上式，得 C 2 所以原方程的特解为 1 y2 2ex2
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分

dy y


2 xdx,
ln y x2 C1
y Ce x2为所求通解.
例2 求微分方程 y x(1 y2 ) 满足初始条件
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法 令x X h,（其中h和k是待定的常数）
y Y k， dx dX , dy dY
dY f ( aX bY ah bk c )
dX
a1 X b1Y a1h b1k c1
利用变量代换求微分方程的解
例12 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C, dx 代回 u x y,得 arctan( x y) x C, 原方程的通解为 y tan( x C) x.
dx
dx
代入原式
u x du f (u), dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
当
f
(u) u
0时,
得

f
du (u) u

ln C1 x ,
即 x Ce(u) ,
（ (u) du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成
正比,已知 M t0 M0,求衰变过程中铀含量M (t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
dt
dM M ( 0衰变系数) dt
dM
dt ,
ln M t lnC,
例9 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
方程组hh

k k

1 3

0 0,

h

1, k

2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
dY X Y , dX X Y
令u Y ， X
方程变为 u X du 1 u , 分离变量法得 dX 1 u
即M Ce t ,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du ,
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 ln u ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
四、可化为齐次的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例7
求解微分方程
x2

dx xy

y2

dy 2y2
. xy
解
dy dx