2020-2021学年湖南省三湘名校教育联盟高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖南省三湘名校教育联盟高一（下）期中
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合A={0,1，2，3}，B={x|x(x−4)<0}，则A∪B=()
A. {1,2，3}
B. {x|x<4}
C. {x|0<x<4}
D. {x|0≤x<4}
2.已知直线m、n和平面α、β，下列命题正确的是()
A. 若m//n，n//α，则m//α
B. 若m//α，n⊂α，则m//n
C. 若α//β，m⊂β，则m//α
D. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
3.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在观察站C的北
偏东70°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50°方向上，则灯塔A与B的距离为()
A. 6km
B. 7km
C. 6√3km
D. 7√3km
4.函数y=sinx+√3cosx的图像可由函数y=sinx−√3cosx的图像至少向左平移
()个单位长度得到．
A. 5π
6B. 2π
3
C. π
3
D. π
6
5.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若bsin2A+√2asinB=0，b=√2c，
则sinA
sinC
的值为()
A. 1
B. √3
C. √5
D. √7
6.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为
黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星
由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄
金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，
在黄金三角形ABC中，BC
AC =√5−1
2
.根据这些信息，
可求得cos324°的值为() A. √5+1
4
B. −√5+1
4
C. √5−14
D. 1−√54
7. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(x +2)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=
2x −1，则函数y =f(x)−|log 4|x||的零点个数为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinBcosC +csinBcosA =√3
2
b ，
b =√3，a >b ，则2a +
c 的最大值为( )
A. 2√7
B. 3√3
C. 2√6
D. 3√2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知复数z =3−i
2+i ，则下列结论中错误的是( )
A. |z|=2
B. z 的虚部为−i
C. z 的共轭复数为1−i
D. z 在复平面内的对应点位于第四象限
10. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ +b ⃗ |=2，则下列结论中正确的是( )
A. a ⃗ ⋅b ⃗ =−2
B. a ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )
C. |a ⃗ −b ⃗ |=√6
D. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π
3
11. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列结论中正确的是( )
A. sinA =2√55
B. tanB =1
C. cosC =−√1010
D. c =3√5
5
b 12. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是AB 的中点，
F 是BC 1的中点，AB =√3AA 1=2√3，则下列结论中正确的是( )
A. EF//平面ACC 1A 1
B. 该三棱柱有内切球(球与棱柱的每个面都相切)
C. 该三棱柱外接球的体积为8√2π3
D. 平面CEF 截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11：1
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a =3，b =72，sinA =3
7，则B =______． 14. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．
15. 已知正三棱锥A −BCD 中，BC =√2AB ，E 是CD 的中点，则异面直线BE 与AD 所
成角的余弦值为______．
16. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，其面积S =1
12abc(a,b ，c 为△ABC 的三边长)，2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +
3AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△ABC 外接圆的半径为______ ；cos A 在值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设平面内三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)．
(1)求|2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，求cosθ．
18. 已知函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x −1
2．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知f(A)=1
2，2a =b +c ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，求a 的值．
19. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N ，Q 分别为
BC ，PA ，PB 的中点，
(1)求证：平面MNQ//平面PCD ；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN//平面ACE？若存在，求出PE
的值；若
PD 不存在，请说明理由．
20.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinB+2sinCcosA=0．
(1)证明：a2−c2=2b2；
(2)请问角B是否存在最大值？若存在，求出角B的最大值；若不存在，说明理由．
21.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、CC1、AD的中点．
(1)求异面直线B1E与BG所成角的余弦值；
(2)棱CD上是否存在点T，使得AT//平面B1EF？若存在，求出DT
的值；若不存在，
DC
请说明理由．
22. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，AB =2，AC =3，AD =2．
(1)求△ABC 的面积；
(2)若E 为BC 上一点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+
AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |)，求λ的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={0,1，2，3}，
B={x|x(x−4)<0}={x|0<x<4}，
∴A∪B={x|0≤x<4}．
故选：D．
求出集合B，利用并集的定义直接求出A∪B．
本题考查了并集及其运算、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：若m//n，n//α，则m//α或m⊂α，故A错误；
若m//α，n⊂α，则m//n或m与n异面，故B错误；
若α//β，则α与β无公共点，又m⊂β，则m与α无公共点，即m//α，故C正确；
若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m与n异面，故D错误．
故选：C．
由查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定AB；由面面平行的定义及线面平行的定义判断C；由两平行平面内两直线的位置关系判断D．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意作出示意图如下：
由题意可得∠ACB=180°−20°−40°=120°，
由余弦定理可知：AB2=9+25+15=49，所以AB=7．
故选：B．
根据题意作出示意图，然后利用余弦定理可求解AB的长度即为灯塔A与B的距离本题主要考查余弦定理的实际应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数y=sinx+√3cosx=2sin(x+π
3)，y=sinx−√3cosx=2sin(x−π
3
)，
故函数y=sinx+√3cosx的图像可由函数y=sinx−√3cosx的图像至少向左平移2π
3
个单位即可；
故选：B．
直接利用三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由bsin2A+√2asinB=0，
可得2bsinAcosA+√2asinB=0，
即有2sinBsinAcosA+√2sinAsinB=0，
因为sinBsinA≠0，所以cosA=−√2
2
，
则a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2+√2bc，由b=√2c，可得a2=2c2+c2+2c2，
化为a2=5c2，
则sinA
sinC =a
c
=√5，
故选：C．
由二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，化简整理可得所求值．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．6.【答案】A
【解析】解：在等腰△ABC中，cos72°=1
2
BC
AC
=√5−1
4
，
∴cos324°=cos36°=√1+cos72°
2=√6+2√5
16
=√5+1
4
．
故选：A．
先利用等腰三角形求出cos72°，再根据诱导公式和降幂公式可求cos324°的值．
本题主要考查三角函数的应用，同角三角函数基本关系和二倍角公式的应用等知识，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：函数y=f(x)−
|log4|x||的零点个数，即函数
y=f(x)与y=|log4|x||的图
象交点的个数，
因为f(x)是定义在R上的偶
函数，且满足f(x+2)=f(x)，
所以函数的周期为2，
又当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，
故作出函数y=f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数y=f(x)与y=|log4|x||的图象交点的个数为8个．
所以函数y=f(x)−|log4|x||的零点个数为8个．
故选：D．
利用函数的性质以及已知的解析式，作出函数f(x)的图象，将问题转化为求解函数y= f(x)与y=|log4|x||的图象交点的个数，由图象即可得到答案．
本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为asinBcosC+csinBcosA=√3
2
b，即sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=
√3
2
sinB，
所以sinAcosC+sinCcosA=√3
2，即sin(A+C)=sinB=√3
2
，
所以B=π
3或2π
3
，
因为a>b，所以B=π
3
，
由正弦定理
a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=√3
√3
2
=2，可得：a=2sinA，c=2sinC=2sin(2π
3
−A)，
则2a+c=4sinA+2sin(2π
3
−A)=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+φ)≤2√7，其中
tanφ=√3
5
，
则2a+c的最大值为2√7．
故选：A．
由正弦定理整理条件可求得B=π
3
，再由正弦定理可将2a+c转化为2√7sin(A+φ)，其
中tanφ=√3
5
，由正弦函数的性质即可求得2a+c的取值范围．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，正弦定理应用，熟
练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．9.【答案】ABC
【解析】解：复数z=3−i
2+i =(3−i)(2−i)
(2+i)(2−i)
=5−5i
4+1
=1−i，
则|z|=√2，z的虚部为−1，z的共轭复数为1+i，
z在复平面内的对应点(1,−1)位于第四象限，
故ABC均错，D正确．
故选：ABC．
由复数的除法运算性质可得z，再由复数模的计算公式、虚部定义和共轭复数的定义、复数的几何意义可得结论．
本题考查复数的运算和概念，考查转化思想和运算能力，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|a⃗+b⃗ |=2，
所以|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+2a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=4，
所以a⃗⋅b⃗ =−1
2
，故A错误，
a⃗与b⃗ 的夹角的余弦值为a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ ||b⃗|=−
1
2
1×2
=−1
4
≠−1
2
，故D错误，
a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=|a⃗|2+2a⃗⋅b⃗ =1+2×(−1
2
)=1−1=0，故a⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，所以B正确，
|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√|a⃗|2−2a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=√1−2×(−1
2
)+4=√6，故C正确，故选：BC．
根据已知先求出a⃗⋅b⃗ =−1
2
，然后对应各个选项根据向量的数量积运算性质以及向量夹角公式分别求解即可判断．
本题考查了向量的数量积的运算性质，涉及到向量垂直以及向量夹角的概念，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由已知S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：AB ⋅ACcosA =1
2
BA ⋅BCcosB ， 又三角形ABC 的面积S =12AB ⋅ACsinA =1
2BA ⋅BCsinB ，
所以tanA =2，tanB =1，则cosA =√55
，sinA =2√5
5
，sinB =cosB =√2
2
，故AB 正确，
cosC =−cos(A +B)=sinAsinB −cosAcosB =2√55
×√22−√5
5
×√2
2
=
√10
10，故C 错误，
sinC =√1−cos 2C =3√10
10
，所以c b =
sinC sinB
=
3√1010√22
=
3√5
5
，即c =
3√5
5
b ，故D 正确，
故选：ABD ．
由已知S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：AB ⋅ACcosA =12BA ⋅BCcosB ，然后再由S =1
2
AB ⋅ACsinA =1
2
BA ⋅BCsinB ，化简求出tan A ，tan B ，sin A ，sin B ，cos A ，cos B 的值，再对应
各个选项逐个求解即可．
本题考查了向量的数量积的运算性质，涉及到正弦定理以及三角形的面积公式的应用问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：因为E 为AB 的中点，F 是BC 1的中点， 则EF//AC 1，
又EF ⊄平面ACC 1A 1，AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以EF//平面ACC 1A 1， 故选项A 正确；
球在底面上的投影为△ABC 的内切圆，其半径为△ABC 的高的1
3， 因为AB =2√3， 则高为√3
2AB =3，
所以△ABC 的内切圆的半径R =2， 若存在内切球，则AA 1=2R =2， 故选项B 正确；
△ABC 外接圆的半径为1
2×2√3
sin60°
=2，三棱柱的高为2，
所以正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的半径为r =√22+12=√5， 则外接球的体积V =
4πR 33=
20√5π
3
，
故选项C 错误；
平面CEF 即为平面B 1CE ，将三棱柱截下一个三棱锥B 1−CBE ， 设△ABC 的面积为S ，棱柱的高为h ， V 三棱柱=Sℎ，V B 1−CBE =13
×12
Sℎ=16
Sℎ，
所以大小两部分的体积比为5：1， 故选项D 错误． 故选：AB ．
根据线面平行的判定定理即可判断选项A ，求出底面三角形内切圆的半径即可判断选项B ，求出底面三角形外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积，从而可判断选项C ，平面CEF 即为平面B 1CE ，将三棱柱截下一个三棱锥B 1−CBE ，根据体积公式计算，即可判断选项D ．
本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，球的体积公式的应用，棱柱与棱锥几何性质的应用，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】π6或5π
6
【解析】 【分析】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 由已知利用正弦定理可得sin B 的值，结合三角形中角的限制即可求B 的值． 【解答】 解：在△ABC 中，
∵a =3，b =72，sinA =3
7，a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边． 由正弦定理a sinA =b
sinB 得3
37
=
7
2
sinB
，
解得sinB =1
2． ∵sinB =1
2>3
7，
∴B =π6或5π
6．
故答案为：π
6或5π
6．
14.【答案】−2
【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，已知AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t)， BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,t −3)，因为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，所以t =3， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3)⋅(−1,0)=−2． 故答案为：−2．
利用向量的坐标运算，结合向量的模求解t ，然后求解向量的数量积即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
15.【答案】√6
6
【解析】解：取AC 的中点F ，连接EF ，
则EF//AD ，
则∠FEB(或其补角)为异面直线BE 与AD 所成角， 不妨设AB =1，则BC =√2，AC =1， 所以AB 2+AC 2=BC 2，即∠BAC =90°， 则BF =√AB 2+AF 2=√5
2，
EF =
AD 2
=1
2，BE =√62
，
在△BEF 中，由余弦定理得： cos∠FEB =
EF 2+BE 2−BF 2
2EF⋅BE =
√6
6
， 故答案为：√6
6
．
先作出异面直线BE 与AD 所成角，再在△BEF 中由余弦定理即可得解．
本题考查了异面直线所成角的作法及求法，属中档题．
16.【答案】3 −2
3
【解析】解：因为S =1
2absinC =1
12abc ， 所以 c
sinC =2R =6，可得R =3， 设BC 的中点为D ，根据题意可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =
−3
2
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以A ，O ，D 三点共线，
所以AB =AC ，且AD =1，DO =2， 根据勾股定理可得BD =√5，AB =√6， 所以BC =2√5，根据余弦定理可得cosA =6+6−202×6
=−2
3．
故答案为：3，−2
3．
由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求R =3，设BC 的中点为D ，根据题意可
得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3
2
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得A ，O ，D 三点共线，可求AB =AC ，且AD =1，DO =2，根据勾股定理可得BD =√5，AB =√6，BC =2√5，根据余弦定理即可求解cos A 的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，勾股定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5)， 则2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,7)，故|2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+49=5√2； (2)根据题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5)， 则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1=√2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√26，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+5=4， 故cosθ=AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13
13
．
【解析】(1)根据题意，求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而可得2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而计算可得答案；
(2)根据题意，求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模以及AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，进而计算可得答案． 本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=√3sinxcosx +cos 2x −1
2
=
√3
2
sin2x +1
2cos2x
=sin(2x +π
6
)，
令2kπ−π
2≤2x +π
6≤2kπ+π
2，k ∈Z ； 解得kπ−π
3≤x ≤kπ+π
6，k ∈Z ；
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π
3,kπ+π
6]，k ∈Z ； (2)△ABC 中，f(A)=1
2，所以sin(2A +π
6)=1
2， 由0<A <π，得π
6<2A +π
6<2π+π
6， 所以2A +π
6=
5π
6
，解得A =π
3； 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，所以cbcosA =cb ⋅cos π
3=9，解得bc =18； 又2a =b +c ，
由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−3bc =4a 2−3×18， 解得a =3√2．
【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出f(x)的单调递增区间；
(2)根据f(A)=1
2求出A 的值，再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9求出bc ，利用余弦定理列出方程求得a 的值．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了平面向量和余弦定理应用问题，是中档题．
19.【答案】证明：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，底
面ABCD 是平行四边形，M ，N ，Q 分别为BC ，PA ，PB 的中点，
∴NQ//CD ，MQ//PC ，
∵NQ∩MQ=Q，CD∩PC=C，且NQ、MQ⊂平面MNQ，CD、PC⊂平面PCD，∴平面MNQ//平面PCD．
解：(2)线段PD上存在一点E，使得MN//平面ACE，且PE
PD =1
2
．
证明如下：
取PD中点E，连结NE、CE，
∵N、E、M分别是AP、PD、BC的中点，BC−//AD，
∴NE−//NE，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN//CE，∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，
∴MN//平面ACE，且PE
PD =1
2
．
【解析】(1)推导出NQ//CD，MQ//PC，由此能证明平面MNQ//平面PCD．
(2)取PD中点E，连结NE、CE，推导出四边形MCEN是平行四边形，从而MN//CE，
由此能求出MN//平面ACE，且PE
PD =1
2
．
本题考查面面平行的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定及求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为sinB+2sinCcosA=0，
所以由正弦定理可得b+2ccosA=0，
利用余弦定理可得b+2c⋅b2+c2−a2
2bc
=0，
化简可得a2−c2=2b2，得证．
(2)由(1)可得cosB=a2+c2−b2
2ac =a2+3c2
4ac
≥2√a2⋅3c2
4ac
=√3
2
，
所以B≤π
6
，当且仅当a2=3c2，即a=√3c时等号成立，
所以角B存在最大值π
6
．
【解析】(1)利用正弦定理、余弦定理化简已知等式即可证明．
(2)由(1)利用余弦定理，基本不等式可求cosB≥√3
2
，利用余弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式以及余弦函数的性质在解三角形中的
应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在A1D1上取中点M，连接MB1，连接ME、GE、MG．
因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，M、G分别为A1D1、AD的中点，所以BG//B1M.
所以B1E与BG所成角即为B1M与BG所成角，所以∠MB1E为异面直线B1E与BG所成角．设正方体边长为2，则MB1=√A1B12+A1M2=√22+12=√5，B1E=√BB12+EB2=√22+12=√5，
ME=√MG2+GE2=√ME2+AG2+AE2=√22+12+12=√6
所以cos∠MB1E=(√5)2+(√5)2−(√6)2
2×√5×√5=2
5
；
(2)在棱CD上取点T，使得DT=1
4
DC，则AT//平面B1EF．证明如下：延长BC，B1F交于H，连EH交DC于K．
因为CC1//BB1，F为CC1中点，所以C为BH中点．
因为CD//AB，所以KC//AB，且KC=1
2EB=1
4
CD．
当DT=1
4
DC，E为AB中点，所以TK//AE，且TK= AE，
即四边形AEKT为平行四边形，
所以AT//EK，即AT//EH．
又EH⊂平面B1EF，AT⊄平面B1EF，
所以AT//平面B1EF.此时得DT
DC =1
4
．
【解析】(1)利用异面直线的定义通过平移放到有公共顶点的三角形中，算出各边的值，再利用余弦定理求出所成角的余弦值
(2)在棱CD上取点T，使得当DT=1
4
DC，延长BC，B1F交于H，连EH交DC于K，
推导出四边形AEKT为平行四边形，由此推导出AT//平面B1EF.此时得DT
DC =1
4
．
本题考查异面直线所成角的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
22.【答案】解：(1)∵D 是BC 中点，且AB =2，AC =3，AD =2，
∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=14
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2， ∴4=1
4
(4+9+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )=14
(4+9+2⋅2⋅3⋅cos∠BAC)， ∴cos∠BAC =14
,sin∠BAC =
√15
4
， ∴S △ABC =12
AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =3√15
4
． (2)∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
+AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=λ
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且B ，E ，C 三点共线， ∴λ
2+λ
3=1，解得λ=6
5．
【解析】(1)由题意结合向量的运算法则求得sin∠BAC 的值，即可确定△ABC 的面积； (2)由题意得到关于λ的方程，解方程即可求得λ的值．
本题考查了平面向量的运算法则，三角形的面积公式，向量中三点共线的充分必要条件等知识，属于中档题．。