四年级计算规律性问题教师版

知识要点
规律性问题
无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认识问题。

特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等等都有一定的规律。

规律的得出常常要经过观察与归纳这样的思维活动。

观察是寻找规律不可少的手段，是发现本质、归纳规律的先导，有些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说是“看不出”。

在寻找规律的过程中，必须要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的本质特征进行归纳，从而得出规律。

只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案。

同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。

个数
面积周长
数与数字
奇偶性数字图形
数阵的排列
数列规律性问题 （本讲）
周期问题
【例 1】（2005年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第1题）下表中每一列为同一年在不
公元历2005
1985
1910
希伯莱历
5746
伊斯兰历
1332
印度历1927
【分析】第一列与第二列差20年，第一列与第三列差95年，第二列与第三列差75年；
答案如下。

公元历2005
1985
1910
希伯莱历
576657465671
伊斯兰历14271407
1332
印度历19271907
1832
【说明】各种历法的简介
公元历
公元纪年法和耶稣的诞辰有关。

在公元325年，欧洲各国基督教开会决定使用统一的历法，即儒略历。

但各国仍使用原有的纪年方法。

罗马帝国以始建罗马城为纪元；希腊以召开第一次奥林匹克运动会的那一年（公元前776年）为纪元。

为了扩大基督教的影响，教士们一直谋求使用统一的纪年方法。

公元532年，著名教士狄奥尼西经过一番联想和推算，判定耶稣诞生于狄奥克列颠纪元前的284年，并建议以后基督的纪年不再用别的方法，而统一以耶稣降生之年为纪元。

这个建议得到绝大多数基督教会的支持，经过推算，确定当年是耶稣诞生的第532年，也就是公元532年，公元纪年法由此诞生。

玛雅历
号称5000年历史的玛雅文化在秘鲁等中南美国家至今仍有遗存。

危地马拉有一个一直使用太阳历的部落，他们就是玛雅人的后代，关于玛雅人这种太阳历的来龙去脉至少有10种不同的说法，比较可信的是公元前3114年8月开始启用的太阳历，不过它又分为民间历和宗教历两种，民间历把一年分为365天，也叫哈布，宗教历则只有260天，通称左尔吉。

玛雅人出生时都从左尔吉那里受赐一种命运，与每人的生日对应的神就是他在天上的教父，出生当天就已决定了今生的命运，生日这一天往往就是自己的名字。

玛雅人的太阳历有18个月，每月20天，到年底多余出来的5天作为幽灵日，因带有背运成分，深为人所避忌。

另外，这5天又是进入新一年的过渡期，对于其中某一天的祸患程度，玛雅人通常按左尔吉与哈布两种日期的位置关系来推算。

埃塞俄比亚历
埃塞俄比亚人信奉基督教，但是，既不用格里高里历，也不用东正教用过的儒略历，而是采用从先祖亚历山大手里继承过来的另一种太阴太阳历。

这种历法如同它的名字一样，月的划分按阴历进行，为了补
偿与阳历的偏差，每年的9月末要相应地增加几天，此时适逢雨季行将结束的时候。

希伯莱历
希伯莱历是以色列人采用的，它依据的是太阳和月亮在既定的时间相遇的过程。

按律法的定则耶稣复活日的祭月活动必须在春天进行，而且要与阳历调整好。

可是，另有一种定则又要求希伯莱历的每个月必须在新月初现的时候开始，强调其新与净。

这样希伯莱历就成了两种原则下的太阳历、太阴历，计算方法以地球的运动和耶路撒冷观测到的月亮的盈亏为基准。

但是太阳和月亮如何关联，一年365天的阳历与每月29.5天的阴历之间又是怎样调整的呢？为此，希伯莱历交替设置了353天和355天的平年以及383天和385天的闰年，在犹太人看来，历法于“开天辟地”那一刻就已经开始了，按这一历法，公历的2001年10月1日是希伯莱历5762年的元旦。

伊斯兰历
伊斯兰教徒为了斋月期间白天的禁食和每天的祭祀活动，使用以月亮运行为基准的太阴历，这种宗教历法以一轮新月的出现作为一个月的开始，信徒只要注意天上的月亮就可以确认时间。

但也有明显的不足，地球上观察新月并非每个地方都处于同样时间，而且遇上阴天就无法判断了。

为此，在宗教历之外，常用的还有一种事先印制好的太阴历，每个月交替以29日和30日为月底，实际上不能完全符合29.5天，必须以30年为一个周期设置11个闰年。

354天的太阴历与365天的太阳历不完全相符，所以，季节的轮回也出现了偏差，很可能造成隆冬赶在3月份或盛夏出现在3月份的怪现象。

为了与太阳历的季节一致，此后不久，新的伊斯兰历应运而生。

伊斯兰历的纪元以公元622年为起点，即以穆罕默德从麦加向麦地那逃亡的史称圣迁的那一年为元年，而公元2001年就成了伊斯兰历的1423年，伊斯兰教徒的新世纪早在我们之前已经度过了。

印度历
印度如今使用着多种历书，1957年历法改革时决定全国统一使用太阳历。

以当时公元79年的春分为起点。

到公元2001年12月，按他们的太阳历计算是1923年的刚刚开始。

【例 2】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白、……，如此继续涂下去，到第2010个小球该涂什么颜色？在前2010个小球中，涂黑色的小球有多少个？
【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，
也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次。

这里，给小木球涂色的周期是：54321=15
÷=，
++++，201015134
第2010个小球出现在上面所列一个周期中第15个，所以第2010个小球是涂白色。

每个周期黑球共有2个，则在前2010个小球中，涂黑色的小球有2134268
⨯=个。

【例 3】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白、……，如此继续涂下去，涂到第2010个黑球时，涂色的小球一共有多少个？
【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，
也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次。

这里，给小木球涂色的周期是：54321=15
++++，每个周期里有2个黑球，
所以经过了201021005
⨯-=个小球。

÷=个周期，涂了1510041415074
⨯+=或151005115074
【例 4】 小明在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的2个球之间放2个黄球，最后在每相邻的2个
球之间再放2个蓝球，这时桌上共有2008个球，那么其中黄球有_______个。

【分析】如图所示，每2个红球之间有2个黄球和6个蓝球；
可以把1个红球、2个黄球、6个蓝球视为一个循环。

黄球有()()200811262446-÷++⨯=⎡⎤⎣⎦个。

【例 5】 如图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第7行第5盆花的颜色？第
20行第5盆花的颜色？（从左往右计数）
红蓝白黄黄红蓝白
红蓝
【分析】通过观察可以发现，从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄 ；
因为第7行第5盆花是第123456526++++++=盆，26462÷=L L ，所以是蓝色； 因为第20行第5盆花是第12195195++++=L L 盆，1954483÷=L L ，所以是白色的。

【例 6】 （1989年第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第13题）四个小动物换座位。

一开
始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。

以后它们不停地交换位子。

第一次上下两排交换。

第二次是在第一次交换后再左右两排交换。

第三次再上下两排交换。

第四次再左右两排交换……这样一直换下去。

问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）
第十次
第二次
第一次……431243122134猫猴
鼠
猴兔
猫
鼠
兔猫兔
猴
鼠4321
【分析】因为经过10次交换，小兔分别有5次上下交换和5次左右交换；
5221÷=L L ，相当于小兔分别有1次上下交换和1次左右交换； 第十次交换位子后，小兔坐在第2号位子上。

【例 7】（2005年3月13日第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第8题）如图，以A，B，C，D，E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，若从大拇指开始数数，按
ABCDEDCBABCDEDCBA…的顺序数，数到“113”时，是_______。

【分析】以ABCDEDCB循环，周期为8；
113814 (1)
÷=，数到“113”时，是A，即大拇指。

【例 8】(2011年2月20日小机灵杯四年级决赛)某年一月份，共有5个星期五，4个星期六，则该月的1月20日是星期几？
【分析】五个星期五，四个星期六说明一月的31日是周五，20日到31日有31-20+1=12天。

（12-1）÷7=1……4，5-4=1，故1月20日是周一。

【例 9】有11位小朋友分别标号为1~11，按如图所示围成一圈，从1号开始发书，每次发一本书，按顺时针方向，依次隔2人、再隔3人；再隔2人、再隔3人……这样的顺序发下去，共有2004本书，问最后一本书发给几号小朋友？
【分析】列表分析：
小朋友123456
7
89
10
11
书
1234
5
6
7
8
910
111213
141516
17
18
19
202122
23242526
每22200422912
÷=L L4
找规律
【例 10】 为迎接世博会，学而思学校买来2010盆花摆成如图所示的花圃，汉字表示每盆花的颜色，
则为使花圃完整，学而思至少还要买多少盆花？花圃摆好后，其中一共有多少盆红花？
红蓝白黄黄红蓝白
红蓝
【分析】12345632016++++++=L L ，所以至少还要买201620106-=盆花。

其中有20164504÷=盆红花。

【例 11】 按规律排列的一串数：2、5、9、14、20、27、……，这串数的第2010个数是多少？ 【分析】第n 个数为()()
32312
n n n n ++++++=
L L ；
这串数的第2010个数是
()
20102010320230652
⨯+=
【例 12】 按规律排列的一串数：1、4、11、30、85、248、735……，这串数的第N 个数是多少？ 【分析】把每项乘以3与后项做差，容易得到一个等差数列。

这是一个等差与等比的综合数列。

第n 个数为(1)3(1)n n -+-
【例 13】 （小学数学奥林匹克初赛民族卷）有一列数：2、3、6、8、8、……，从第三个数起，每
个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数的第80个数应是 。

【分析】这串数为：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、……
除去前两个数外，其余各数每六个一组，以“6、8、8、4、2、8”为循环； 因为(802)613-÷=，所以这一数列的第80个数是8。

【例 14】 有一串数：5，8，13，21，34，55，89，……，其中第一个数是5，第二个数是8，从
第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。

那么在这串数中，第2010个数被3除后所得余数是几？
【分析】把前两个数被3除后所得的余数相加，然后再除以3，所得的余数就是后一个数被3除的余数。

数 5
8
13 21 34 55 89 144 233 377
被3除的余
数
2 2
1 0 1 1
2 0 2
2
被3除的余数以“2，2，1，0，1，1，2，0”为循环；
因为201082512÷=L L ，所以第2010个数除以3所得的余数是2。

【说明】如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a 除的余数，
等于各个加数被a 除的余数的和再被a 除的余数。

【例 15】
观察下表：
113587911271315171964
=+=++=+++=L L
请写出此数表的第10行。

【分析】观察规律：第n 行等号左边有n 个数、等号右边为3n （n +∈Z ）
第123456789146+++++++++=个正奇数462191⨯-=排在第10行最左边； 此数表的第10行为91939597991011031051071091000+++++++++=。

【例 16】 （2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛队际赛第7题）将连续正整数依下列方式分组：
（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），……，其中第一组有1个数，第二组有2个数，第三组有3个数……依此类推。

请问在第2007组内所有的数之总和是多少？ 【分析】第2007组的第一个数是()120062006
1220061120130222
+⨯++++=
+=L L 第2007组的最后一个数是()120072007
1220072015020282
+⨯+++==L L
第2007组内所有的数之和是
()20130222015020282007
40421481752
+⨯=
【例 17】
观察以下各数分组规律：11⎛⎫ ⎪⎝⎭；1
2
⎛ ⎝，22，12⎫⎪⎭；13⎛ ⎝，23，33，23，13⎫⎪⎭；14⎛ ⎝，24，34，44，
34，24，14⎫
⎪⎭
；……求：①第15组第3个数是哪个数？第20个数是哪个数？②第15组各数之和是多少？③前15组各数之和是多少？
【分析】①组序号与该组数的分母相同，第15组数的分母都是15；
第15组数有152129⨯-=个数；
第15组第3个数是
315
， 第15组第20个数即为倒数第10个数，是
1015。

②第n 组数之和是2
12211221n n n n n n n n n n n
+++++++++++===L L L L L L L L （n +∈Z ）
； 所以第15组各数之和是15。

③前15组各数之和是()11515
12151202
+⨯+++=
=L L 。

【例 18】
（2004年第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题）在一列数：13，35，5
7
，
79，911，1113，……中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于11000
？
【分析】第n 个数为
2121n n -+（n +∈Z ），1与21
21
n n -+的差21211121212
n n n n --==+++； 所以当n ≥1000时，1与
2121n n -+的差小于1
1000
； 【例 19】 （1995年第四届日本小学数学奥林匹克大赛高小组预赛第4题）下列⑴~⒇的二十个加法算
式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。

()
()
()
()()
1231920454647
423424525
625
725
23252425
+++++L
L 【分析】⑴~⒇的算式中，“+”右边的分数逐渐增大，差均为1
25
；
⑴~⒇的算式中，“+”左边边的分数逐渐增大，
差依次为4445656-=⨯，4446767-=⨯，……，444
23242324-=
⨯； 因为
14
251010
=
⨯；所以4444445667910101010112324>>>>>>>⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L L L ； 在
41010⨯的左侧，减少的数比增加的数4
1010⨯大，总的来说是减小的，即从⑴~⑹依次减小；
在
41010⨯的右侧，减少的数比增加的数4
1010
⨯小，总的来说是增大的，即从⑹~⒇依次增大；
所以最小的数是⑹，即
4104
10255
+=。

【例 20】 （2005年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试题第12题）下图是中
国古代的“杨辉三角形”，问：写在图中“网点”处所有数的和是多少？
1510
30515666
43341011
25111
11111111
【分析】第n 行所有的数的和为12n -；前n 行所有的数的和为112221n n -+++=-L L ； 写在图中“网点”处所有数的和是72163-=。

【例 21】世界上著名的莱布尼兹三角形如图所示：
1
1
11
22
111
363
1111
412124
11111
52030205
111111
6306060306
1111111
742105140105427
L L L L L L L L 则排在第2010行从左边数第3个位置上的数是_______。

【分析】规律：①第n行有n个数，②第n行最左边和最右边的数均为1
n
，
③下面两个数的和等于上面一个数；
第8行最左边的数是1
8
，第9行最左边的数是
1
9
，第10行最左边的数是
1
10
，
第9行从左边数第二个位置上的数是11
89
-，第10行从左边数第二个位置上的数是
11
910
-，
第2010行从左边数第三个位置上的数是
11111 89910360
⎛⎫⎛⎫
---=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

【例 22】（1991年第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛一试第3题）观察下面数表（横排为行）：
1
;
1
21
,;
12
321
,,;
123
4321
,,,;
1234
54321
,,,,;
12345
L L
根据前5行数所表达的规律，说明1991
1949
这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，它位于由左
向右的第几个？
【分析】观察可知，每行各数的分子、分母之和不变，分子+分母=行数1
+；
所以
1991
1949
这个数位于由上而下的第1991194913939+-=行； 一个数在某一行中由左向右位置号码与这个数的分母相同； 1991
1949
位于由左向右的第1949个。

【例 23】 平面上画（ ）个圆，再画一条直线，最多可以把平面分成44部分。

【分析】要使平面上的圆和直线把平面分得最多，新加入的圆或直线与原来的图形那么必须有最多的交点。

譬如两个圆把一个平面分成四部分，新加入一个圆，要使分的平面数最多，一定要与原来的每个 圆相交2次。

这时新加入的图形被分成四段弧，每段弧把原来的平面分成两个部分。

就新增加了 四个平面得到8个平面。

我们可以先画一条直线，这时有两个平面，新加入一个圆，多两个交点，多两段弧，就多两个平 面，再多一个圆，就再多4个交点多4段弧4个平面，再多一个圆与原来两个圆一条直线都相交 多6个交点6段弧6个平面，再多一个圆与原来三个圆一条直线都相交多8个交点8段弧8个平 面……我们容易发现平面的个数的增加量有如下规律 2,2,4,6,8,10,12,14 除去一开始的2，剩下增加的个数是等差数列的关系，不难得到最后得结论44个平面需要 2+2+4+6+8+10+12，6个圆
这种题目可以先从找规律做起慢慢得到答案。

【例 24】 （1989年第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试第6题）将非零自然数
按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯，……，问：拐第二十个弯的地方是哪一个数？
2122232425262078910
271961
21128
18543121716151413
→→→→→↑↓→
→→↑↑↓
↓→
↑
↑
↓
↓
←←↑↓←←←← 【分析】设第n 个拐弯处的数为n a ；
当2n k =时（k +∈Z ），()2211221n k a a k k k ==++++⨯=++L L ； 当21n k =-时（k +∈Z ），()22111221n k a a k k k -==++++⨯-=+L L ； 拐第二十个弯的地方是210101111++=。

【例 25】（1993年第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第8题）将自然数按如下顺次排列：
1,2,6,7,15, 3,5,8,14, 4,9,13,
10,12,
11,L
L
L
L
L
在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列？【分析】设m为行数、n为列数，斜行（从右上向左下方向上）1
a m n
=+-，
令
(1)
1231993
2
a a
a
+
++++=>
L L，(1)3986
a a+>，
因为626339063986
⨯=<、636440323986
⨯=>，所以
min 63
a=。

3906211954
÷+=位于第63行、第1列；
1993195439
-=，2010位于633924
-=行、第13940
+=列。

【例 26】（2007年第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第9题）如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉由三边中点连线所围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线所围成的三角形……做到第四次后，一共去掉了_______个三角形，去掉的所有三角形的周长之和是________。

【分析】如图，一共去掉了23
133340
+++=个三角形；
去掉所有三角形的周长之和是
234
23
1111195 3133333312.1875 222216
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

【说明】波兰数学家瓦茨瓦夫·弗朗西斯克·谢尔宾斯基（ł
Wac aw Franciszekń
Sierpi ski，1882~1962）在1915年提出谢尔宾斯基三角（参见例题）；在1916年提出谢尔宾斯基地毯（如下）。

谢尔宾斯基地毯的构造方式为：把一个正方形分成9个小正方形，取走中间小正方形，
对其余的小正方形重复这一过程，直至无穷。

谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯会出现一个有悖于直觉的结论：
得到的图形具有无穷的周长和零面积。

将谢尔宾斯基地毯推广至三维，可以得到门格海绵。

门格海绵由奥地利数学家卡尔·门格Carl Menger在1926年提出。

门格海绵的构造方式为：把正方体的每一个面分成9个正方形，这将把正方体分成27个小正方体，把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体，
把每一个留下的小正方体都重复这一过程，直至无穷。

门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯。

【例 27】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。

现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图⑴所示的正方形。

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正
序号①②③④
周长6
101626。

（2）
（1）
④
③
②
①
2
1
1
1
1
11
1
11
2
3
5
2
3
5
3
2
1
【分析】记Fibonacci数列第i个数为
i
F（i+
∈Z）；
第i个矩形的宽（较短的边）为
1
i
F
+
，长（较长的边）为
2
i
F
+
、周长为()
123
22
i i i
F F F
+++
+=；
因为Fibonacci数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……中
13
233
F=；
所以序号为⑩的矩形的周长是2233466
⨯=。

【说明】如图所示为以Fibonacci数列为边长的正方形组成的螺旋。

2
21
13
8
5
3
1
1
【例 28】 （第七届“华杯赛”）一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称
为帕多瓦数列，请陈述这个数列的一个规律，并且写出其中的第14个数和第18个数。

【分析】记Padovan 数列的第n 项为n P ；
Padovan 数列的规律：①23n n n P P P --=+（n ≥4，n +∈Z ）
，②15n n n P P P --=+（n ≥6，n +∈Z ）， ③345n n n n P P P P ---=++（n ≥6，n +∈Z ），④248n n n n P P P P ---=++（n ≥9，n +∈Z ）， ⑤45678n n n n n n P P P P P P -----=++++（n ≥9，n +∈Z ）；
Padovan 数列：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28,37,49,65,86,……
Padovan 数列第14个数是28，第18个数是86。

【说明】Padovan 数列是以建筑师Richard Padovan 命名。

如图所示为以Padovan 数列为边长的等边三角形组成的螺旋。

1297
5
4
3
22
1
1
116
【例 29】 （1997年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第11题）
①下面这样的四个图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）我们都称作平面图。

数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填入下表：（按填好的样子做）
③现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据②中推断出的关系，确定这个图有多少条边？
【分析】①填表。

顶点数 边数 区域数
（a ） 4
6 3 （b ） 8 12 5 （c ）
6 9 4
（d ）
10 15
6 4361+-=，85121+-=，6491+-=，106151+-=；
可以推断任何平面图的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数+区域数-边数1=。

③某一平面图有999个顶点和999个区域，这个图有99999911997+-=条边。

【例 30】 （2003年小学生数学报数学邀请赛）
⑴数一数图1～图4的每一种立体图中各有多少个顶点，多少条棱，多少个面，并将结果填入下表：
图4
图3图2图1
顶点数V
面数F
棱数E
V F E +-
图1正四面体 图2正方体 图3八面体 图4六棱锥
5点数_______V =，面数_______F =，棱数_______E =；
图2
图5 图6
⑶如果把一只传统的足球（如图6）看作一个多面体，其中黑色的面（正五边形）共有12块，那么白色的面（正六边形）共有_______块，这个多面体（足球）的棱共有_______条。

【分析】⑴填法如下表所示：
顶点数V
面数F
棱数E
V F E +-
图1正四面体 4 4 6
2 图2正方体 8 6 12 2 图3八面体 6 8 12 2 图4六棱锥
7
7
12
2
⑵从一个正方体的每个角上切掉一个小三棱锥，每一个顶点变成了三个顶点， 面比原来的正方体多了八个，棱数多了3824⨯=条， 即8324V =⨯=，6814F =+=，123836E =+⨯=。

⑶每个黑色的面与5个白色的面相邻，而每个白色的面与3个黑色的面相邻，
所以白色的面共有125320
⨯÷=块。

每个白色的面有6条边，3条与黑色的面相邻（每条边算是一条棱），
3条与白色的面相邻（两条算一条棱），所以多面体的棱共有20(332)90
⨯+÷=条。

【说明】在多面体里，顶点数V、面数F及棱数E间的关系为2
+-=，
V F E
这个公式称为欧拉（Euler）公式。

以四面体ABCD为例来说明：
将它的一个面BCD去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数1
F-变形后都没有变.因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可.
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面.例如去掉BC，就减少一个面ABC．
同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD．
所以(1)
+--的值也不变.
F E
V F E
--、V的值都不变，因此(1)
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点.例如去掉AC，就减少一个顶点C．同理，去掉DA就减少一个顶点D，最后剩下AB（如图）．
在此过程中V E
-的值不变，但这时面数F是0，
所以(1)
+--的值也不变.
V F E
由于最后只剩下AB，所以(1)
+--=2+0-1=1，
V F E
最后加上去掉的一个面，就得到2
+-=．
V F E
那么进一步问，有没有正五面体？
世界上有没有正五面体？
平面图形里有正三角形，三维空间里有正四面体（四个顶点，四个面，六条棱），
那么进一步问，有没有正五面体？
实际上，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

可以通过欧拉定理得出该结论。

欧拉定理如下：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关
系：
v - e + f = 2①
正多面体的每个面都是正多边形，不妨把边数记为n，而且
n ≥ 3②
同时，由于每条棱都属于两个面，故多面体的面数和棱数有以下关系：
nf = 2e③
每个顶点都是由多条棱相交而成，不妨把与每个顶点相接的棱数记为r。

由于顶点是多面体中的顶点，故
r ≥ 3④
否则由两条棱相交的顶点只能是平面图形中的顶点。

同时，由于每条棱都连接两个顶点，故多面体的顶点数和棱数有以下关系：
rv = 2e⑤
把③式和⑤式代入①式，可以得到消掉变量f和v的等式：
2e/r - e + 2e/n = 2，
等式两边同时除以2e可以得到：
1/r - 1/2 + 1/n = 1/e，
即
1/r + 1/n = 1/e + 1/2⑥
由于一个正多面体的棱数e至少是6（想想这是为什么），所以⑥式右边最大值为
1/6 + 1/2 = 2/3，
同时，由于棱数e为正数，不论e取何值，⑥式右边一定大于1/2，即
1/2 ＜⑥式右边≤ 2/3⑦
再由②式和④式可知，r ≥ 3，n ≥ 3。

但当r ≥ 4，n ≥ 4时，⑥式左边≤1/4 + 1/4，即⑥式左边≤1/2，与⑦矛盾。

故r和n的取值可分为以下几种情况讨论：
⑴ r ≥ 4时，由于不能同时满足n ≥ 4，而n ≥ 3又必须满足，故此时n = 3。

代入⑥式，得1/r = 1/e + 1/6。

由于1/r = 1/e + 1/6 ＞1/6，故r ＜6，故r只能取3、4、5。

r = 3，n = 3时代入⑥式和③式得f = 4，此时是一个正四面体；r = 4，n = 3时有f = 8，此时是一个正八面体；r = 5，n = 3时有f = 20，此时是一个正二十面体。

⑵与⑴类似，n ≥ 4时，由于不能同时满足r ≥ 4，而r ≥ 3又必须满足，故此时r = 3。

同理可得n只能取3、4、5。

r = 3，n = 3时代入⑥式和③式得f = 4，此时是一个正四面体；r = 3，n = 4时有f = 6，此时是一个正六面体（即立方体）；r = 3，n = 5时有f = 20，此时是一个正十二面体。

⑶ r ≥ 4，n ≥ 4都不满足的时候，又由于r ≥ 3，n ≥ 3，故只能有r = 3，n = 3，此时 f = 4，是一个正四面体。

由以上证明可知，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，当然也就不存在正五面体。

一课一练
【练习1】（2001年“数学大王”小学趣味数学邀请赛试题B组（4~6年级）第1题）按规律填出横线上的数：198，297，396，495，_______，_______。

【分析】因为29719899
-=、39629799
-=、49539699
-=；
所以这是一个公差为99的等差数列；
后面两个空依次为49599594
+=，59499693
+=。

【练习2】下图所示，一列火车的车厢按一定规律编号，请写出被树挡住的那节车厢的号码。

20
16
24
20
2226
28
24
【分析】分别观察第1、3、5、9节车厢及第2、4、6、10节车厢上的数，
可以发现这些数分别构成了等差数列，且每一项比前一项少2。

因此第7节车厢上的数是20218
-=或16218
+=，第8节车厢上的数是24222
-=或20222
+=。

【练习3】（2003年“数学大王”小学趣味数学测试题中年级组（3、4年级）第17题）图中的这串珠子是由白珠和黑珠组成的，其中有一部分在盒子里，它的排列有一定规律，白珠共有_______个。

【分析】从右到左依次是1个白珠、2个黑珠、1个白珠、3个黑珠、1个白珠、4个黑珠、……、1个白珠、8个黑珠。

所以白珠共有8个。

【练习4】（1999年“数学大王”小学趣味数学测试题中年级组（3、4年级）第1题）找规律，填数字。

?
4
6
3
2
4
28
7
15
5
3
2
【分析】因为235215
⨯⨯÷=、742228
⨯⨯÷=，
所以规律为外周三个圆内的数的乘积的一半等于中心圆内的数；所以?364236
=⨯⨯÷=。