人教A版必修2 最新高中数学教材3.31两条直线的交点坐标教案

3.3.1两条直线的交点坐标
一．教学目标。

知识与技能目标：通过了解直线的方程与位置关系之间的联系，熟练
掌握联立一元二次方程组求两直线的交点坐标。

过程与方法目标：通过经历方程组的解的情况与相应两条直线的交点
的个数位置关系）的探索活动，提高了数形结合思
想，培养了发现、研究、解决问题的能力和合作交
流能力。

情感态度与价值观目标：通过这节课学习，激发学生在解决问题过程
中的兴趣，体验到成功的快乐，养成勤于动
脑的好习惯，增强学好数学的自信心。

二．教学重难点。

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线位置关系与二元一次方程组解的关系。

三．教学方法：直观演示法，情景教学法，集体讨论法，启发引导式。

四．教学用具：多媒体、直尺。

五．教学过程设计。

教学环节教学内容师生互动设计意图
复习导入引出新课（1）完成下列二元一次方程组:
2
2
:
2
4
3
:
2
1
=
+
+
=
-
+
y
x
l
y
x
l
1
2
6
:
4
3
:
2
1
=
-
-
=
+
-
y
x
l
y
x
l
1
2
6
:
4
3
:
2
1
=
-
-
=
+
-
y
x
l
y
x
l
（2）在直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况？
教师提出问
题（1）、（2）
学生独立后
回答
通过复习
导入，激发
学生学习
兴趣，引出
课题，为后
面学习新
课做知识
准备。

讲授新课
提出3个探究问题．
探究问题一：已知两直线
1111
:0
l A x B y C
++=，
2222
:0
l A x B y C
++=，相交，如何求
这两条直线的交点？
思考并完成下表：
几何元素及关系代数表示
点A A（a，b）
直线L L：A x+B y+C=0
点A在直线上
直线L1与 L2的交
点A
师：提出问题
一
生：教师组织
学生同桌之
间对探究一
和表格进行
交流。

教师进
行巡视指导，
交流完教师
提问，教师针
对学生的回①
一组解（-2,2）
①
无数组
①
无解
结论：如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一
定是它们的方程组成的方程组的解；反之，如果
方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就
是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。

探究问题二：如果两条直线相交，交点坐标与二元一次方程组有什么关系？求下列两条直线的交点坐标，并在坐标轴画出直线.
()⎩⎨
⎧=--=++0
1011y x y x
()⎩⎨
⎧=-+-=+-0
1012y x y x
()⎩⎨
⎧=--=+-0
1013y x y x
答结果作出相应评价。

师：提出问题二
探究思考2交流讨论。

教师进行巡视指导，交流完教师提问，每个小组派一位学生代表回答讨论结果，教师随机抽学生评价学生代表汇报的结果，最后教师针对学生的回答结果作出相应评价。

交点坐标为（0,-1）21l l 与 相交
两方程可化为同一方程 2
1
l l 与重合
无交 点21l l 与 平行
结论：
两直线平行 两直线重合
两直线相交
无解
无穷多解
唯一解
⎩⎨
⎧=++=++0
C y B x A 0C y B x A 222111
思考：先自行观察探究思考2的1到3组方程对应系数比的特点，然后 同桌之间交流，它与方程组的解和两条直线位置有何联系？
1-111≠
1
1
00222111=++=++C y B x A C y B x A
212121,A A l l B B
⇔≠⇔
212
12121,C
A A l l C
B B ⇔==⇔
2
12
12121,C
A A l l C
B B ⇔≠=⇔
师：提出思考。

生：同桌之间交流。

师：提出例一。

生：独立完成，完成后教
师随机提问，教师针对结
果给予评价。

发现： ① ① ①
若两直线都存在斜率，
唯一解 相交
无解 平行
无数解 重合 注：此环节不要求学生作详细推重在运用
例一：
求直线3x+2y －1=0和2x －3y －5=0的交点M 的坐标。

o
x
y
(1, - 1)
M
探究问题三：解：
师：提出探究
问题三。

生：教师组织
学生同桌之
间对探究三
进行交流。

教
师进行巡视
指导，交流完
教师提问，教
师针对学生
的回答结果
作出相应评
价。

加深学生
用代数方
法求两条
直线的交
点坐标的
解题思路
设计意图：
三个探究
过程，通过
设置问题，
层层提问，
利用提问
法和引导
法引导学
生进行问
题的思考3x+2y－1=0
2x－3y－5=0
解：解方程组：
x=1
y= - 1
得：
所以两直线交点是M（1，-1）。

在例一中我们已经求得直线3x+2y－1=0和2x－3y －5=0的交点M（1，-1），方程3x+2y－1+λ（2x －3y－5）=0（λ为任意常数）表示什么图形？图形有什么特点？
将M（1，-1）代入方程
3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0
得 0+λ×0=0
∴M点在直线3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0上
λ变化，斜率随之变化，但始终经过M（1，-1）由图形观察：
λ=0时，方程为3x+2y－1=0
λ=1时，方程为5x-y-6=0
λ=-1时，方程为x-5y+4=0
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线
2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）
结论: A
1x+B
1
y+C
1
+λ（ A
2
x+B
2
y+C
2
）=0是过直线
A 1x+B
1
y+C
1
=0和A
2
x+B
2
y+C
2
=0的交点的直线系方
程。

例二
生的结果作出相应评价。

师：提出问题。

生:学生轮流自由发言。

上演示，也充分体现了学生的主体性地位，最后针对练习结果进行统一订正，并及时对学生的表现作出评价，体现了课程评价在课堂中的合理应用。

学生自我总结概括，锻炼学生总结能力。

提高学生解题能力。

判断下面各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1:3x+4y－2=0，l2:2x+y+2=0；
(2)l1:3x+5y-2=0, l2:6x+10y+7=0;
(3)l:x-2y+3=0, l:3x-6y+9=0;
例三
求下列直线的交点坐标：
3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）解：联立方程
3x+2y－1=0
2x－3y－5=0
解得：
x=1
y= - 1即交点坐标M(1,-1)o
x y
(1, - 1) M
结论：
1.两条直线交点与它们方程组的解之间的关系.
2.求两条相交直线的交点及利用方程组判断两直
线的位置关系.。