2020年高中数学人教A版选修优化练习导数的几何意义Word版含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．下列说法正确的是( )
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线
B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 解析：k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.
答案：C
2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．3
D ．1
解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y ′|x ＝2，又切线与3x －y －2＝0平行，∴y ′|x ＝2＝3.
答案：C
3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－3
2)，则过点P 的切线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．165°
解析：∵y ＝1
2
x 2－2，
∴y ′＝li m Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－(1
2
x 2－2)Δx
＝li m Δx →0 1
2
(Δx )2＋x ·Δx Δx
＝li m Δx →0
(x ＋1
2Δx )＝x .
∴y ′|x ＝1＝1.∴点P (1，－3
2)处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.
答案：B
4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1
B.12
C ．－12
D ．－1
解析：令y ＝f (x )，由导数的几何意义知，曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线的斜率为f ′(1)，因为切线与直线2x －y －6＝0平行，所以f ′(1)＝2.
因为函数f (x )＝ax 2， 所以f ′(1)＝li m Δx →
Δy
Δx ＝li m Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a
Δx ＝li m Δx →0 (2a ＋a ·Δx )＝2a .
又f ′(1)＝2，所以a ＝1. 答案：A
5．曲线y ＝1
2x
在点⎝⎛⎭⎫12，1处的切线方程为________． 解析：k ＝y ′|x ＝1
2＝li m Δx →0 1
2⎝⎛⎭⎫12＋Δx －
1
2×1
2Δx
＝li m Δx →0 1
1＋2Δx －1
Δx ＝li m Δx →0 －2
1＋2Δx ＝－2，
∴切线方程为y －1＝－2⎝⎛⎭⎫x －1
2， 即2x ＋y －2＝0. 答案：2x ＋y －2＝0
6．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.
解析：2＝li m Δx →0
(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－x 2
0－4x 0
Δx ＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.
答案：－1
7．曲线y ＝x
x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析：f ′(－1)＝li m Δx →0 Δx －1
Δx －1＋2－(－1)
Δx ＝li m Δx →0 2
Δx ＋1＝2，
故切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，
即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0
8．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝li m Δx →
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝li m Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx
Δx ＝4x 0＋4.
又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16. ∴x 0＝3.∴点P 的坐标为(3,30)． 答案：(3,30) 9．已知曲线y ＝1
x
.
(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－1
3
的曲线的切线方程．
解析：(1)设过点A (1,0)的切线的切点坐标为(a ，1
a )，
因为li m Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝－1
a 2，
所以该切线的斜率为－1
a 2，
切线方程为y －1a ＝－1
a 2(x －a )，①
将A (1,0)代入①式，得a ＝1
2.
所以所求的切线方程为y ＝－4x ＋4. (2)设切点坐标为P (x 0，1
x 0)，
由(1)知，切线的斜率为k ＝－1
x 20，
则－1x 20＝－1
3，x 0＝±3.
那么切点为P (3，
33)或P ′(－3，－3
3
)． 所以所求的切线方程为
y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233.
10．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x .
(1)求两条曲线的交点坐标；
(2)过两曲线交点作两条曲线的切线，求出切线方程； (3)求过交点的f (x )的切线与坐标轴围成的三角形面积．
解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，y ＝1x ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
∴两曲线的交点坐标为(1,1)． (2)对曲线f (x )＝x ，
f ′(1)＝li m Δx →
1＋Δx －1
Δx ＝li m Δx →0
1
1＋Δx ＋1＝1
2
， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝1
2(x －1)，
即x －2y ＋1＝0. 对g (x )＝1
x
，有
g ′(1)＝li m Δx →0 1
1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →0 －1
1＋Δx ＝－1，
∴g (x )在(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.
(3)由(2)知y ＝f (x )在(1,1)处的切线方程为x －2y ＋1＝0， 令x ＝0，得y ＝1
2；令y ＝0，得x ＝－1，
∴切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12×12×1＝14
.
[B 组 能力提升]
1．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A ．f ′(x A )＞f ′(x
B )
B ．f ′(x A )＜f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
解析：f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )＜f ′(x B )． 答案：B
2．设a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦
⎤0，π
4，则点P 到曲线y ＝f (x )的对称轴的距离的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，1a B.⎣⎡⎦⎤0，1
2a C.⎣⎡⎦⎤0，|b 2a | D.⎣
⎡⎦⎤0，|b －12a |
解析：f ′(x )＝li m Δx →
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
＝li m Δx →0 [a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )
Δx
＝li m Δx →0 2ax ·Δx ＋b Δx ＋a (Δx )2
Δx
＝2ax ＋b .
∵曲线在点P (x 0， f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π
4，∴0≤2ax 0＋b ≤1， 又点P 到曲线y ＝f (x )的对称轴的距离为
⎪⎪⎪⎪x 0＋b 2a ＝|2ax 0＋b |2a
.
∴⎪⎪⎪⎪x 0＋b 2a ∈⎣⎡⎦⎤0，12a . 答案：B
3．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b
a ＝________.
解析：li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a
Δx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，
∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b
a ＝2.
答案：2
4．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________.
解析：由题意，可得切线的方程为x 4＋y 4.5＝1，其斜率为k ＝－4.54＝－9
8.又点P (2，f (2))
为切点，
∴f ′(2)＝－98，且由24＋f (2)4.5＝1，解得f (2)＝9
4.
∴f (2)＋f ′(2)＝9
8.
答案：98
5．若曲线y ＝16
x 上的点P 到直线 4x ＋y ＋9＝0的距离最短，求点P 的坐标．
解析：由点P 到直线4x ＋y ＋9＝0的距离最短知，过点P 的切线与直线4x ＋y ＋9＝0平行．设P (x 0，y 0)，
则f ′(x 0)＝li m Δx →0 16x 0＋Δx －16
x 0Δx ＝li m Δx →0 －16
(x 0＋Δx )·x 0
＝－16
x 20
.
由⎩⎨⎧
－16
x 2
0＝－4y 0
＝16
x
，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2y 0＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－2y 0＝－8
.
当P 为(2,8)时，P 到直线4x ＋y ＋9＝0的距离 d 1＝|4×2＋8＋9|42＋1
2
＝2517
17.
当P 为(－2，－8)时，P 到直线4x ＋y ＋9＝0的距离 d 2＝|4×(－2)＋(－8)＋9|42＋12
＝71717.
因此点P 的坐标为 (－2，－8)．
6．已知函数y ＝f (x )＝x 2
a
－1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的
三角形面积的最小值．
解析：∵Δy ＝(x ＋Δx )2a －1－x 2
a ＋1
＝2x ·Δx ＋(Δx )2a ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx
a
.
当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 趋近于2x a ，即f ′(x )＝2x
a .
∴f ′(1)＝2a .又f (1)＝1
a －1，
∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是： y －1a ＋1＝2
a
(x －1)． ∴l 与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝12|－1
a －1|·|a ＋12
|
＝14(a ＋1a ＋2)≥1
4
×(2＋2)＝1. 当且仅当a ＝1
a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.。