第四层考前演练篇——限时提速练(一) 解析版

“12+4”限时提速练（一）
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{x|x 2<1}，则A ∩(∁R B )＝( )
A ．{x |0<x <1}
B.{x |1≤x <2} C ．{x |1<x <2} D.{x |0<x <2}
解析：选B ∵x 2<1，∴－1<x <1，∴B ＝{x |－1<x <1}．∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，结合A ＝{x |0<x <2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |1≤x <2}．故选B.
2．已知复数z 满足z ＋2i ∈R ，z 的共轭复数为z ，则z －z ＝( )
A ．0
B.4i C ．－4i D.－4
解析：选C 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ∈R ，∴y ＋2＝0，∴y ＝－2，∴z ＝x －2i ，则z ＝x ＋2i ，因此z －z ＝－4i.故选C.
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 9＝9S 3，则a n ＝( )
A ．n
B.2n －1 C ．3n －2 D.2－n
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＝1，S 9＝9S 3，∴9＋9×82d ＝9×⎝
⎛⎭⎫3＋3×22d ，化简得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.故选B.
4.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中
位数相等，则图中x 的值为( )
A ．2
B.3 C ．4 D.6
解析：选C 由图可知，甲组数据依次是2，3，10，14，23，23，
28，34，41，因此甲的众数是23；乙组数据依次是1，13，15，22，20＋x ，31，34，40，
因此乙组数据的中位数是22与20＋x 的平均数，所以23＝22＋（20＋x ）2
，解得x ＝4.故选C.
5．若直线l ：x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A ．4
B.6 C ．7 D.8
解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，
y 2＝4x ，
得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6.又直线l ：x －y －1＝0经过y 2＝4x 的焦点(1，0)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.故选
D.
6．函数f (x )＝sin （πx ）x 2
的图象大致为( )
解析：选A ∵f (x )＝sin （πx ）x 2，∴f (－x )＝sin （－πx ）（－x ）2
＝－sin （πx ）x 2＝－f (x )，又∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴函数f (x )＝sin （πx ）x 2
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝4>0.故选A.
7．已知G 为△ABC 的重心，且AG ―→＝x AB ―→＋y BC ―→，则x ，y 的值分别为( )
A.13，13
B.23，23
C.13，23
D.23，13
解析：选D ∵G 为△ABC 的重心，∴AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→＝13AB ―→＋13(AB ―→＋BC ―→)＝23
AB ―→＋13BC ―→，即x ＝23，y ＝13
.故选D. 8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.π2＋ 3
B.π＋ 3
C.3π2＋ 3
D.3π＋ 3 解析：选C 由三视图知，该几何体为一个底面半径是1，高为3的半
圆锥，其正面为圆锥的轴截面，形状为等边三角形，该截面三角形的面积为
12×2×3＝3；侧面展开图为扇形，该扇形的弧长为12
×2π×1＝π，半径为（3）2＋12＝2，其面积为12×π×2＝π；底面为半圆，其面积为12×π×12＝π2
.则该几何体的表面积为3π2
＋ 3.故选C. 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1，则S 1a 1＋S 2a 2＋S 3a 3＋…＋S 9a 9
＝( ) A ．1 013
B.1 022 C ．2 036 D.2 037
解析：选A 由a n ＋S n ＝1 ①，得a 1＝12
，当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝1 ②，①－②得a n ＝12a n －1，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列．∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，∴S n a n
＝2n －1，则S 1a 1＋S 2a 2＋S 3a 3＋…＋S 9a 9
＝(2＋22＋…＋29)－9＝210－11＝1 013.故选A. 10.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三
个半圆构成的图形，最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，
该点取自阴影部分的概率为49，则阴影部分图形的“周积率”为( ) A ．3 B.4 C ．5 D.6 解析：选A 设里面两个半圆的半径分别为r 1，r 2，则依题意得最大半圆的半径为r 1＋
r 2＝3，∴最大半圆的面积S ＝12π(r 1＋r 2)2，阴影部分图形的面积S ′＝12π(r 1＋r 2)2－12πr 21－12
πr 22＝πr 1r 2.依题意得S ′S ＝49，即πr 1r 212
π（r 1＋r 2）2＝49，化简得2r 21－5r 1r 2＋2r 22＝0，解得r 2＝2r 1或r 1＝2r 2.又r 1＋r 2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝2，r 2＝1，
则阴影部分图形的周长C ′＝π(r 1＋r 2)＋πr 1＋πr 2＝2π(r 1＋r 2)，则阴影部分图形的“周积率”＝2π（r 1＋r 2）πr 1r 2
＝3.故选A. 11．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线右支交于P ，Q 两点，若|PF 1|，|PQ |，|QF 1|成等差数列，且PF 1⊥PF 2，则该双曲线的离心率为( )
A.143
B.92
C.112
D.102
解析：选D 由双曲线的定义知|QF 2|＝|QF 1|－2a ，|PF 2|＝|PF 1|－2a ，
∴|PQ |＝|QF 2|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|PF 1|－4a .又|PF 1|，|PQ |，|QF 1|成等差数列，∴
|PQ |＝12(|PF 1|＋|QF 1|)，∴|QF 1|＋|PF 1|－4a ＝12
(|PF 1|＋|QF 1|)，∴|PF 1|＋|QF 1|＝8a ，|PQ |＝4a .由PF 1⊥PF 2知，|PF 1|2＋|PQ |2＝|QF 1|2，解得|PF 1|＝3a ，|QF 1|＝5a ，∴|PF 2|
＝|PF 1|－2a ＝a .由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得9a 2＋a 2＝4c 2
，∴c 2a 2＝104，即e ＝102.故选D. 12．已知函数f (x )＝x 3－2e x 2，g (x )＝ln x －ax (a ∈R )，若f (x )≥g (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，e]
B ．⎣⎡⎭⎫e 2＋1e ，＋∞
C ．[2e －1，＋∞)
D ．⎣⎡⎭
⎫2－e －1e 2，＋∞
解析：选B f (x )≥g (x )⇔a ≥－x 2＋2e x ＋ln x x ，令h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x ，则h ′(x )＝－2x ＋2e ＋1－ln x x 2
.当0<x <e 时，h ′(x )>0，当x >e 时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．∴h (x )的最大值为h (e)＝e 2＋1e .则a ≥e 2＋1e
.故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋2y －5≤0，x －4y ≤0，
则z ＝x －2y 的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当直
线l 0：x －2y ＝0平移至经过点A ⎝⎛⎭
⎫2，12时，z ＝x －2y 取得最大值1. 答案：1
14．已知sin α＋3cos α＝2，则tan α＝________．
解析：法一：∵sin α＋3cos α＝2，∴(sin α＋3cos α)2＝4.∴sin 2α＋23sin αcos α＋3cos 2α＝4cos 2α＋4sin 2α，∴3sin 2α＋cos 2α－23sin αcos α＝0，
∴3sin 2α＋cos 2α－23sin αcos αsin 2α＋cos 2α
＝0， ∴3tan 2α－23tan α＋1＝(3tan α－1)2＝0，
解得tan α＝33
. 法二：∵sin α＋3cos α＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＝1，∴α＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝π6
＋2k π，k ∈Z ， ∴tan α＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋2k π＝tan π6＝33. 答案：33
15．(x ＋1)6(x ＋y )2的展开式中，x 4y 的系数为________．
解析：(x ＋1)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ，所以x 4y 的系数为2C 36
＝40.
答案：40
16.如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ，其内壁是十分光滑的镜面，一束光线从点A 射出，在正方体内壁经平面BCC 1B 1反射，又经平面ADD 1A 1反射后(反射过程服从镜面反射原理)，到达C 1D 1的中点M ，则该光线所经过的路径长为________ cm.
解析：如图①，光线从点A 射出通过两次镜面反射到达点M ，其路径应该在平面ABC 1D 1内．设光线在平面BCC 1B 1和平面ADD 1A 1内的反射点分别是点P ，Q ，
BC 1＝ 2 cm.如图②，在矩形ABC 1D 1中，过点P 作PE ⊥AD 1于点E ，则D 1M PE ＝D 1Q QE ＝12
，QE ＝AE ，则BP ＝25BC 1＝225
cm ，AP ＝ AB 2＋BP 2＝335 cm ，AP ＝QP ＝2QM ＝335 cm ，所以AP ＋PQ ＋QM ＝335＋335＋3310＝332(cm)，即该光线所经过的路径长为332
cm.
答案：
332。