中考热点专题讲练方程与不等式

中考热点专题讲练方程
与不等式
Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考热点专题讲练--------方程与不等式（二）
山东 李其明
专讲一：一元二次方程
1．整体动向：
主要考查二元一次方程的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列二元一次方程解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大
2．重点、难点、疑点 （1）一元二次方程的概念
只含有一个未知数x 并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（a ,b ,c 为常数，a ≠0）其中2ax ，bx ,c 分别称为二次项，一次项和常数项，a ,b 分别称为二次项系数、一次项系数，它的特征有二：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0，
（2）一元二次方程的四种解法
直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 （3）一元二次方程根与系数的关系 3．思想方法
主要思想方法有：整体思想、转化思想、方程根的估算思想等 4．典例剖析
例1．（2006年武汉市）解方程：012=-+x x
析解：本题重点考查一元二次方程的公式解，由求根公式易得
112x -=
，212
x --= 例2．（2006年威海市）已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ）
（A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）11
析解：本题综合考查一元二次方程根的定义与根与系数之间的关系，由于a 、b 为一元二次方程
0922=-+x x 的两个根，所以，将a 代入方程得：2290a a +-=，所以
292a a =-，由根与系数之间的关系得a +b =-2，所以原式=9-2a +a -b =9-(a +b )=9-(-2)=11，
故应选D
例3．（2006年海淀区）已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：
()x x x x x x n x n n 222210120
2230310
-=<>+-=<>+-=<>+--=<>
……
（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；
（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。

解：（1）<1>()()x x +-=110，所以x x 1211=-=， <2>()()x x +-=210，所以x x 1221=-=， <3>()()x x +-=310，所以x x 1231=-=，
……
<n>()()x n x +-=10，所以x n x 121=-=，
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。

评析：本题是一元二次方程的阅读理解型的考题，它通过阅读（解方程的过程）来归纳、提炼
出一般规律，是一开放型试题
专练一：
1．（2006年台州市）方程x 2－4x +3=0的两根之积为（ ） （A ）4 （B ）－4 （C ）3 （D ）－3 2．（2006年温州市）方程，x 2-9=0的解是( ) A ．x l =x 2=3 B. x l =x 2=9 C ．x l =3,x 2=-3 D. x l =9,x 2=-9
3．（2006年常德市）已知一元二次方程有一个根是2，
那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．
4．（2006年荆洲市）已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 。

5．（20006年荆洲市）已知y 关于x 的函数：1)1(2)2(2++---=k x k x k y 中满足k ≤3。

（1）求
证：此函数图象与x 轴总有交点；（2）当关于x 的方程23
32+-=--z k
z z 有增根时，求上述函数图象与x 轴的交点坐标。

6．（2006年维坊市）（已知01a a b x ≠≠=，，是方程2
100ax bx +-=的一个解，则22
22a b a b
--的值
是 ．
7．（2006年福州市）关x 的一元二次方程(x -2)(x -3)=m 有两个不相等的实数根x 1、x 2，则
m 的取值范围是 ；若x 1、x 2满足等式x 1x 2-x 1-x 2+1=0，求m 的值. 8．（2006年南昌市）已知关于x 的一元二次方程210x kx +-= (I)求证方程有两个不相等的实数根：
(2)设的方程有两根分别为12,x x 日满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值
专讲二：方程根的估算
1．整体动向：
我们在解一元二次方程时，有时去求它的精确，但有时也没有必要求它的精确解，只需要近似地估算就可以了
2．重点、难点、疑点
关于一元二次方程的近似解，应先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解，“夹逼”思想是近似近似的重要思想，“新课标”要求发展学生的估算意识和能力，应引起我们的重视
3．思想方法：估算思想、转化思想
4．典例剖析
例1．有一张长方形的桌子，它的长为6尺，宽为3尺，有一台布的面积是桌面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求垂下的长度（精确到尺） 如图1，长方形ABCD 表示桌面，长方形EFGH 表示台布
解：设台布下垂x 尺，则台布的长为（6+2x ）尺，宽为 （3+2x ）尺，依题意，得（6+2x ）（3+2x ）=36①， 整理得22990x x +-=②，从方程②可以看出所列 方程是一个一元二次方程，我们运用估算的方法进行： （1）从方程①估算x 的取值范围
若x ≥1，则（6+2x ）（3+2x ）≥8×5=40＞36，不符合方程①，所以x ＜1，但x 不可是负数，故x 的取值范围：0＜x ＜1， （2）进一步逼近x 的值
因为至有几个值，近似比较麻烦，我们先取三个值，列表近似如下：
从上表可以看出x 的取值范围：＜x ＜
（3）由题中的精确度确定x 的值，把x 从取到，故精确到时，x ≈， 即台布下垂尺
例2．（2006年常德市）根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ）
Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<
Ｄ．6.19 6.20x <<
解：由例1的估算方法可以知道：2ax bx c ++的值接近0时，x 的值，应选C
F
图1
例3．“一块矩形铁片，面积为1平方米，长比宽多3米，求铁片的长”，小明在做这道题时，是这样思考的：设铁片的长为x 米，列出方程为x （x -3）=1，整理得2310x x --=，小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程， 第一步：
所以： ＜x ＜ 第二步：
所以： ＜x ＜
（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上探索，你能估计出矩形铁片的整数部分为 ，十分位为
解：（1）由问题的背景可知：x ≥1，所以x 的值应从1开始估算，通过计算当x =1，2时，
231x x --的值为-3，当x =3，4时，231x x --的值分别为3，4；所以x 的范围应3＜x ＜4，然后在3
和4之间再取值估算，231x x --的值分别为，，，，所以x 的范围应 ＜x ＜，
（2）由上可以估计出矩形铁片的整数部分为3，十分位为3
专练二：
1．（2006年武汉市）估算方程：012=-+x x 的近似解是
2．（2006年广东省）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 3.(2006年浙江省)根据下列表格的对应值：
判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是( ) A 、3＜x ＜ B 、＜x ＜ C 、＜x ＜ D 、 ＜x ＜
4．自编一个一元二次方程，使二次项系数为-2，常数项为2，并用估算的方法求其解
专讲三：方程（组）与不等式（组）的综合应用
1．整体动向：
根据新课标的要求，这部分内容考试所占的比重较大，不但有填空、选择、解答题，近年来考查这类应用的题目越来越多，而且一大批具有较强的时代气息，设计自然，紧密联系日常生活实际问题的应用题不断涌现，对于情境设计、设问方式等方面有新突破
2．重点、难点、疑点
（1）列方程解决实际问题的关键是找“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助于图表等 （2）应用方程组解决实际问题的关键再于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性
（3）列不等式（组）解应用题的特征：一般所求问题中含有“至少”、“最多”、“不高于”、“不低于”等词语，要正确理解这些词语的含义，它解题的一般步骤与列方程（组）类似
3．思想方法
主要思想方法有：转化、类比、方程、函数、整体、数形结合等思想方法 4．典例剖析
例1．（2006年济南市）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐请说明理由．
解：（1）设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，根据题意，得
2168022280.x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得960360.
x y =⎧⎨
=⎩，
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐． （2）因为9605360255205300⨯+⨯=>，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．
例2．（2006年黑龙江省鸡西市）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14．5万元；每件乙种商品进价8万元，售价lO 万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元． (1)该公司有哪几种进货方案
(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润最大利润是多少
(3)若用(2)中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
解：(1)设购进甲种商品茗件，乙种商品(20-x )件．
190≤12x +8(20-x )≤200 ， 解得≤x ≤10． ∵ x 为非负整数，∴ x 取8，9，lO
有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件，购甲种商品9件，乙种商品ll 件，购甲种商品lO 件，乙种商品10件
(2)购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元 (3)购甲种商品l 件，乙种商品4件时，可获得最大利
例3．（2006年广东省实验区）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩
12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
解：设有x 人, 则苹果有(512x +)个 ，由题意, 得5128(1)8
5128(1)0x x x x +--<⎧⎨+-->⎩
解得:20
43
x <<
，∵ X 为正整数，∴X =5或6 ，当X =5时，51237x +=人 当X =6时，51242x +=人
专练二：
1．（2006年烟台市）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为()
A．35 B．43 C．89 D．97
2．（2006年年山东省青岛市）“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．
（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．
3．（湖北省十堰市2006年课改实验区）市“康智”牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110120
<<．已知有关数据如下表所示，那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量
p
产品每件产品的产值
甲 4.5万元
乙7.5万元
4．（江苏省淮安市2006年中考题）小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下．究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分
5．（2006年益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗
参考答案：
专练一：1．C ；2．C ；3．240x -=； 4．k≤1；5．略；6．5；7．m ＞14
-；2；
8．(1)证明 △=2241(1)40k k -⨯⨯-=+>， 原方程有两个不相等的实数根 (2)解：由根与系数的关系，得 1212,1,x x k x x +=-⋅=-1212x x x x +=⋅ 1k -=- 解得k=1
专练二：1．；2．（1）4，16；（2）不能剪成两段使得面积和为12cm 2；3．C ；
4．答案不唯一（略）
专练三：
1．C ；2．解：（1）385÷42≈∴单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200元． 385÷60≈，∴单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220元．
（2）设租用42座客车 x 辆，则60座客车（8－x ）辆，由题意得：
⎩
⎨
⎧≤-+≥-+．）（，）（32008460320385860
42x x x x 解之得：733≤x ≤185
5．∵x 取整数， ∴x ＝4，5．
当x ＝4时，租金为320×4＋460×（8－4）＝3120元； 当x ＝5时，租金为320×5＋460×（8－5）＝2980元． 答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少． 说明：若学生列第二个不等式时将“≤”号写成“＜”号，也对．
3．解：设该公司安排生产新增甲产品x 件，那么生产新增乙产品()20x -件，由题意， 得()110 4.57.520120x x <+-<， 解这个不等式组，得40
103
x <<
，
依题意，得111213x =，，．
当11x =时，20119-=；当12x =时，20128-=；当13x =时，20137-=． 所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件， 乙产品8件；或生产新增甲产品13件，乙产品7件．
4．设本场比赛特里得了x 分，则纳什得分为x +12
由题意,得⎩⎨⎧>+>+-x
x x x 3)12(2,10)12(2 解得22<x <24. 因为x 是整数，所以x =23 答：小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分.
5.解：设钢笔每支为x 元，笔记本每本y 元，据题意得⎩⎨
⎧-=++=510015102y x y x 解方程组得，⎩
⎨⎧==35y x ，答：钢笔每支5元，笔记本每本3元.。