初始基可行解的求法
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人 工 变 量
第一阶段
min Z xn1 xn 2 xn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
第二阶段
min Z c1 x1 c2 x2 cn xn
以第一阶段最优基作为初始基本可行解, 继续迭代.
两阶段法举例1:
min Z x1 2 x2
x1 2 x 2 2 x1 3 x 0, x 0 2 1
min Z x5
x5 2 x1 2 x 2 x 3 x4 3 x1 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
2 x2
1 0 0
0 x3
-1/2 0 1
0 x4
0 1 0
删去人工变量x5, 配合原问题的目标函数,继续迭代. 由于检验数全部非正,所以已经最优. 如果不是最优, 则进一步迭代.
两阶段 法举例2: min Z x1 2 x2
x1 2 x 2 4 s .t . x1 x 2 1 x 0, x 0 2 1
cj CB 0 M XB x4 x5 b 3 2 2M xj
1 x1 1 -1 M
2 x2
0 x3
0 x4 1 0 0
M x5 0 1 0
∞ 2/2
Ｚ
0 0 2 -1 2-2M M
cj
CB 0 M Ｚ XB x4 x5 b 3 2 2M 1 3 2 xj
1 x1
2 x2
0 x3
0 x4
1 0 0 0 1 0
Hale Waihona Puke 1/1 4/20 1
Ｚ
x2 x5
第一阶段结束,最优值Z= 2, 因此原问题没有可行解
min Z x5
x5 4 x1 2 x 2 x 3 x4 1 x1 x 2 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
cj CB 0 1 XB x4 x5 b 1 4 4 xj
0 x1 1 -1 1
0 x2 1 2 -2
0 x3 0 -1 1
M x5
0 1 0 1/2 0 M-1
∞ 2/2
2 0
Ｚ
x2 x4
1 0 0 -1 2 -1 M 2-2M M -1/2 1 -1/2 1 0 0 2 0 1
最优解： x1=0 x2=1
最优值： Z= -2
大M法举例2： max Z x1 2 x2
x1 2 x 2 4 s .t . x1 x 2 1 x 0, x 0 2 1
大M法举例1：
min Z x1 2 x2
x1 2 x 2 2 x1 3 x 0, x 0 2 1
min Z x1 2 x2 0 x3 0 x4 Mx5
x4 3 x1 x5 2 x1 2 x 2 x 3 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
第五节 初始基可行解的求法
是否存在？ 求一个初始基本可行解 如何判断？ 是 如何得到？
判断基本可行解是否最优
不是
结 束
是否唯一？
求使目标得到改善的基本可行解
如何改善？
如何判断没有有限最优解？
人造基 min Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 添加人工变量 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 造成基 s .t . 去掉人工变量 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 , , x n 0 处理方法一 大Ｍ法
0 x4 1 0 0
1 x5 0 1 0
1/1 4/2
Ｚ
一般问题的处理
cj
CB 0 1 Ｚ XB x4 x5 b 1 4 4 1 2 2 xj
0 x1
1 -1 1 1 -3 3
0 x2
1 2 -2 1 0 0
0 x3
0 -1 1 0 -1 1
0 x4
1 0 0 1 -2 2
1 x5
0 1 0 0 1 0
第一阶段最优解中:
如果Z>0, 则原问题没有基本可行解;
如果Z=0, 则若人工变量全为非基变量,则得 到原问题的基本可行解. 否则基本可行解退化, 继续迭代就可以得到基本可行解.
第一阶段
min Z xn1 xn 2 xn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
0 1 0
1/1 4/2
-2 M
Ｚ/
x2 x5
1 1 2 -3 -2+ 2 M 1+3 M
1 0 0
0 -1 M
1 -2 2M
0 1 0
所有检验数>0 已经是最优解 x5=2 人工变量不为零, 表示原问题无可行解
处理方法二
两阶段法
min Z xn1 xn 2 xn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
0 x2
0 2 -2 1 0 0
0 x3
0 -1 1 -1/2 0 0
0 x4
1 0 0 0 1 0
1 x5
0 1 0 1/2 0 1
∞ 2/2
0 0
Ｚ
x2 x4
请注意: 第一阶段的最优解不是唯一的
一般问题的处理
cj
CB 2 0 Ｚ XB x2 x4 b 1 3 2 xj
1 x1
-1/2 1 2
人 工 变 量
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
( 0) ( 0) 原问题的可行解 X (0) ( x1(0) , x2 ,, xn )
( 0) ( 0) ( 0) 新问题的可行解 X (1) ( x1 , x2 ,, xn ,0,,0)
目标值
( 0) ( 0) Z 0 c1 x1 , cn xn
结论：新问题的最优解中，如果人工变量均为零，则 得到的解也是原问题的最优解，否则原问题无可行解
min Z c1 x1 c2 x2 cn xn Mxn1 Mxn 2 Mxn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
-1 x1 1 -1
M -1
-2 x2 1 2
-2 -2M
0 x3 0 -1
M
0 x4 1 0 0
M x5 0 1 0
1/1 4/2
Ｚ/
cj
CB 0 M Ｚ/ XB x4 x5 b 1 4 4 M xj
-1 x1
1 -1
M -1
-2 x2
1 2
-2 2M
0 x3
0 -1
M
0 x4
1 0 0
M x5
cj CB 0 1 XB x4 x5 b 3 2 2 xj
0 x1 1 -1 1
0 x2 0 2 -2
0 x3 0 -1 1
0 x4 1 0 0
1 x5 0 1 0
∞ 2/2
Ｚ
一般问题的处理
cj
CB 0 1 Ｚ XB x4 x5 b 3 2 2 1 3 0 xj
0 x1
1 -1 1 -1/2 1 0
min Z x1 2 x2 0 x3 0 x4 Mx5
x5 4 x1 2 x 2 x 3 x4 1 x1 x 2 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
cj CB 0 M XB x4 x5 b 1 4 4 M xj
第一阶段
min Z xn1 xn 2 xn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
第二阶段
min Z c1 x1 c2 x2 cn xn
以第一阶段最优基作为初始基本可行解, 继续迭代.
两阶段法举例1:
min Z x1 2 x2
x1 2 x 2 2 x1 3 x 0, x 0 2 1
min Z x5
x5 2 x1 2 x 2 x 3 x4 3 x1 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
2 x2
1 0 0
0 x3
-1/2 0 1
0 x4
0 1 0
删去人工变量x5, 配合原问题的目标函数,继续迭代. 由于检验数全部非正,所以已经最优. 如果不是最优, 则进一步迭代.
两阶段 法举例2: min Z x1 2 x2
x1 2 x 2 4 s .t . x1 x 2 1 x 0, x 0 2 1
cj CB 0 M XB x4 x5 b 3 2 2M xj
1 x1 1 -1 M
2 x2
0 x3
0 x4 1 0 0
M x5 0 1 0
∞ 2/2
Ｚ
0 0 2 -1 2-2M M
cj
CB 0 M Ｚ XB x4 x5 b 3 2 2M 1 3 2 xj
1 x1
2 x2
0 x3
0 x4
1 0 0 0 1 0
Hale Waihona Puke 1/1 4/20 1
Ｚ
x2 x5
第一阶段结束,最优值Z= 2, 因此原问题没有可行解
min Z x5
x5 4 x1 2 x 2 x 3 x4 1 x1 x 2 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
cj CB 0 1 XB x4 x5 b 1 4 4 xj
0 x1 1 -1 1
0 x2 1 2 -2
0 x3 0 -1 1
M x5
0 1 0 1/2 0 M-1
∞ 2/2
2 0
Ｚ
x2 x4
1 0 0 -1 2 -1 M 2-2M M -1/2 1 -1/2 1 0 0 2 0 1
最优解： x1=0 x2=1
最优值： Z= -2
大M法举例2： max Z x1 2 x2
x1 2 x 2 4 s .t . x1 x 2 1 x 0, x 0 2 1
大M法举例1：
min Z x1 2 x2
x1 2 x 2 2 x1 3 x 0, x 0 2 1
min Z x1 2 x2 0 x3 0 x4 Mx5
x4 3 x1 x5 2 x1 2 x 2 x 3 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
第五节 初始基可行解的求法
是否存在？ 求一个初始基本可行解 如何判断？ 是 如何得到？
判断基本可行解是否最优
不是
结 束
是否唯一？
求使目标得到改善的基本可行解
如何改善？
如何判断没有有限最优解？
人造基 min Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 添加人工变量 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 造成基 s .t . 去掉人工变量 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 , , x n 0 处理方法一 大Ｍ法
0 x4 1 0 0
1 x5 0 1 0
1/1 4/2
Ｚ
一般问题的处理
cj
CB 0 1 Ｚ XB x4 x5 b 1 4 4 1 2 2 xj
0 x1
1 -1 1 1 -3 3
0 x2
1 2 -2 1 0 0
0 x3
0 -1 1 0 -1 1
0 x4
1 0 0 1 -2 2
1 x5
0 1 0 0 1 0
第一阶段最优解中:
如果Z>0, 则原问题没有基本可行解;
如果Z=0, 则若人工变量全为非基变量,则得 到原问题的基本可行解. 否则基本可行解退化, 继续迭代就可以得到基本可行解.
第一阶段
min Z xn1 xn 2 xn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
0 1 0
1/1 4/2
-2 M
Ｚ/
x2 x5
1 1 2 -3 -2+ 2 M 1+3 M
1 0 0
0 -1 M
1 -2 2M
0 1 0
所有检验数>0 已经是最优解 x5=2 人工变量不为零, 表示原问题无可行解
处理方法二
两阶段法
min Z xn1 xn 2 xn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
0 x2
0 2 -2 1 0 0
0 x3
0 -1 1 -1/2 0 0
0 x4
1 0 0 0 1 0
1 x5
0 1 0 1/2 0 1
∞ 2/2
0 0
Ｚ
x2 x4
请注意: 第一阶段的最优解不是唯一的
一般问题的处理
cj
CB 2 0 Ｚ XB x2 x4 b 1 3 2 xj
1 x1
-1/2 1 2
人 工 变 量
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
( 0) ( 0) 原问题的可行解 X (0) ( x1(0) , x2 ,, xn )
( 0) ( 0) ( 0) 新问题的可行解 X (1) ( x1 , x2 ,, xn ,0,,0)
目标值
( 0) ( 0) Z 0 c1 x1 , cn xn
结论：新问题的最优解中，如果人工变量均为零，则 得到的解也是原问题的最优解，否则原问题无可行解
min Z c1 x1 c2 x2 cn xn Mxn1 Mxn 2 Mxn m
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n1 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n x n 2 b2 s .t . a x a x a x x m1 1 m2 2 mn n n m bm x1 ~ x n 0 , x n1 ~ x n m 0
-1 x1 1 -1
M -1
-2 x2 1 2
-2 -2M
0 x3 0 -1
M
0 x4 1 0 0
M x5 0 1 0
1/1 4/2
Ｚ/
cj
CB 0 M Ｚ/ XB x4 x5 b 1 4 4 M xj
-1 x1
1 -1
M -1
-2 x2
1 2
-2 2M
0 x3
0 -1
M
0 x4
1 0 0
M x5
cj CB 0 1 XB x4 x5 b 3 2 2 xj
0 x1 1 -1 1
0 x2 0 2 -2
0 x3 0 -1 1
0 x4 1 0 0
1 x5 0 1 0
∞ 2/2
Ｚ
一般问题的处理
cj
CB 0 1 Ｚ XB x4 x5 b 3 2 2 1 3 0 xj
0 x1
1 -1 1 -1/2 1 0
min Z x1 2 x2 0 x3 0 x4 Mx5
x5 4 x1 2 x 2 x 3 x4 1 x1 x 2 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
cj CB 0 M XB x4 x5 b 1 4 4 M xj