黑龙江省伊市带岭高级中学高二数学下学期第二次月考试

黑龙江省伊春市带岭高级中学2015-2016学年高二数学下学期第二
次月考试题
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2<0}，B ＝{x |2<2x
<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |1<x <3} C ．{x |2<x <3}
D ．{x |－1<x <3}
2．命题：∀x ，y ∈R ，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0的逆否命题是( ) A ．∃x ，y ∈R ，若x ≠0或y ≠0，则xy ≠0 B ．∃x ，y ∈R ，若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0 C ．∀x ，y ∈R ，若x ≠0或y ≠0，则xy ≠0 D ．∀x ，y ∈R ，若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0
3．若p ：a ∈R 且－1<a <1，q ：关于x 的一元二次方程：x 2
＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝cos 2x C ．y ＝2x
－2－x
2
D ．y ＝log 2 2－x
2＋x
5．函数y ＝ln ⎝
⎛⎭
⎪
⎫x －sin x x ＋sin x 的图象大致是( )
A B
C D
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x
＋1，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝( )
A.12
B.45 C ．2 D ．9
7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，
log 2 x ，x >0，
则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．设函数f (x )＝ax 3
＋3x ，其图象在点(1，f (1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A ．1
B ．3
C ．9
D ．12
9．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2
－2ax )e x
，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 10．已知函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
－3x 在x ＝±1处取得极值，若过点A (0，16)作曲线y ＝
f (x )的切线，则切线方程为( )
A ．9x ＋y －16＝0
B ．9x －y ＋16＝0
C ．x ＋9y －16＝0
D ．x －9y ＋16＝0
11．若不等式2x ln x ≥－x 2
＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，4]
C ．(0，＋∞)
D ．[4，＋∞)
12．若函数f (x )＝x 3
－3x 在[a ，6－a 2
)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1)
D ．(－5，－2]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，x ≥2，
f （x ＋1），x <2，
则f (log 2 3)的值为________．
14．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1
x
及x 轴所围图形的面积为________．
15．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32，f (2 015)＝2，则f (－2)＝________．
16．f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋b ，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，则a ＋b 的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知p ：－x 2
＋8x ＋20≥0，q ：x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
(2)若“﹁p ”是“﹁q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
m ≤3.
18．(本小题满分12分)(2016·苏州模拟)设函数f (x )＝log 3 (9x )·log 3 (3x )，1
9≤x ≤9.
(1)若m ＝log 3 x ，求m 的取值范围；
(2)求f (x )的最值，并给出取最值时对应的x 的值．
19．(本小题满分12分)(2016·盐城模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，满足条件：在x ∈(0，1)时，f (x )＝2
x
4x ＋1
，且f (－1)＝f (1)．
(1)求f (x )在[－1，1]上的解析式； (2)求f (x )在(0，1)上的取值范围．
20．(本小题满分12分)(2015·重庆模拟)如图1，在半径为30 cm 的1
4圆形(O 为圆心)
铝皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铝皮
OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB
＝x cm ，圆柱的体积为V cm 3
.
图1
(1)写出体积V 关于x 的函数解析式；
(2)当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V 最大？
21．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2
(a ∈R )在x ＝－43处取
得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x
，讨论g (x )的单调性．
22．(本小题满分12分)(2015·淮北模拟)已知函数f (x )＝e
x
x
的定义域为(0，＋∞)．
(1)求函数f (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值；
(2)对∀x ∈(0，＋∞)，不等式xf (x )>－x 2
＋λx －1恒成立，求λ的取值范围．
参考答案：
1.【解析】 A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，所以A ∩B ＝{x |1<x <2}． 【答案】 A
2.【解析】 先将条件与结论交换，然后否定，但是大前提不能变．故D 项符合． 【答案】 D
3.【解析】 若关于x 的一元二次方程：x 2
＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一
根小于零，则⎩
⎪⎨⎪⎧Δ>0，
x 1x 2＝a －2<0，解得a <2，由－1<a <1能得出a <2，但由a <2不能得出－1<a <1，
因此p 是q 的充分不必要条件．
【答案】 A
4.【解析】 对于A ，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1，2)上是增函数；对于B ，函数y ＝cos 2x 在区间(1，2)上不是增函数；对于C ，函数y ＝2x
－2
－x
2不是偶函数；对于D ，
函数y ＝log 2 2－x
2＋x
不是偶函数．综上所述，故选A.
【答案】 A
5.【解析】 利用排除法求解．因为f (－x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋sin x －x －sin x ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －sin x x ＋sin x ＝f (x )，
所以函数是偶函数，排除B 和D ；又x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<x －sin x <x ＋sin x ，0<x －sin x x ＋sin x <1，
ln ⎝
⎛⎭
⎪
⎫x －sin x x ＋sin x <0，排除C ，故选A.
【答案】 A
6.【解析】 f (0)＝20
＋1＝2>1，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2. 【答案】 C
7.【解析】 令f (x )＝0，可得x ＝－1或x ＝1，令f (x )＋1＝－1，可得x ＝－3或x
＝1
4
.令f (x )＋1＝1，可得x ＝－1或x ＝1，由此可得函数y ＝f [f (x )＋1]共有四个零点． 【答案】 C
8.【解析】 f ′(x )＝3ax 2
＋3，由题设得f ′(1)＝－6，∴3a ＋3＝－6.
所以a ＝－3，所以f (x )＝－3x 3
＋3x ，f (1)＝0，切线l 的方程为y －0＝－6(x －1)，即
y ＝－6x ＋6.所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12
×1×6＝3.
【答案】 B
9.【解析】 f ′(x )＝(2x －2a )e x
＋(x 2
－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x
，由题意当
x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．
令g (x )＝x 2
＋(2－2a )x －2a ， 则有⎩⎪⎨
⎪
⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0， 解得a ≥34.
【答案】 C
10.【解析】 由已知得到f ′(x )＝3ax 2
＋2bx －3，则⎩
⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，
3a －2b －3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 3－3x ，且f ′(x )＝3x 2－3，设切点坐标为(x 0，x 3
0－3x 0)，则斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－3.由点斜式得切线方程为y －(x 3
0－3x 0)＝(3x 2
0－3)×(x －x 0)，将点A (0，16)代入得x 0＝－2，从而切线方程为9x －y ＋16＝0.
【答案】 B
11.【解析】 由2x ln x ≥－x 2
＋ax －3知a ≤2ln x ＋x ＋3x
，
设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）
x
2
， 当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减． 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增． 所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4. 故a 的范围为(－∞，4]． 【答案】 B
12.【解析】 由f ′(x )＝3x 2
－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间[a ，6－a 2
)上，则函数f (x )极小值点必在区间[a ，6－
a 2)内，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2，
由⎩
⎪⎨⎪⎧a <1<6－a 2
，a 3－3a ≥－2，得⎩⎨⎧－5<a <1，（a －1）2（a ＋2）≥0，即－2≤a <1. 【答案】 C
13.【解析】 ∵log 23<log 24＝2，∴f (log 23)＝f (log 23＋1) ＝f (log 26)，∵log 26≥2，∴f (log 26)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 26＝2log 2
1
6＝16.
【答案】 1
6
14.【解析】 由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x
及x 轴所围图形的面积⎠⎜⎛12
11
x dx ＝ln x ⎪⎪⎪⎪
2
12
＝
ln 2－ln 1
2
＝2ln 2.
【答案】 2ln 2
15.【解析】 因为f (x )为R 上的奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， 所以f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，
即f (x ＋3)＝f (x )，
所以f (x )是周期为3的奇函数，所以f (2 015)＝f (3×671＋2)＝f (2)＝2，所以f (－2)＝－f (2)＝－2.
【答案】 －2
16.【解析】 f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＝3a (x 2
－4x )，由题意知a ≠0， 令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝4(舍去)，
若a >0，则f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，f (x )的极大值为f (0)＝3，所以b ＝3，又f (2)＝8a －24a ＋3＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3>f (2)，于是当x ＝2时，f (x )min ＝－16a ＋3＝－29，所以a ＝2，此时a ＋b ＝5.
若a <0，则f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增．f (x )的极小值为f (0)，即f (x )min ＝f (0)＝b ＝－29.又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)，所以f (x )max ＝－16a －29＝3.所以a ＝－2，此时a ＋b ＝－31.
【答案】 5或－31
17.【解】 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m ， (1)因为p 是q 的充分不必要条件，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，
所以m ≥9.
所以实数m 的取值范围为m ≥9.
(2)因为“﹁p ”是“﹁q ”的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件．
所以⎩⎪⎨⎪
⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，
所以0<
所以实数m 的取值范围为0<m ≤3.
18.【解】 因为1
9≤x ≤9，m ＝log 3 x 为增函数，
所以－2≤log 3 x ≤2，即m 的取值范围为[－2，2]． (2)由m ＝log 3 x ，得f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )
＝(2＋log 3 x )·(1＋log 3 x )＝(2＋m )(1＋m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋322
－1
4
，
由－2≤m ≤2知，当m ＝log 3 x ＝－32，即x ＝39时，f (x )取得最小值－1
4，当m ＝log 3 x
＝2，即x ＝9时，f (x )取得最大值12.
19.【解】 (1)设x ∈(－1，0)，则－x ∈(0，1)， 又x ∈(0，1)时，f (x )＝2
x
4x ＋1，
∴f (－x )＝2
－x 4－x ＋1＝2
x
1＋4x ，
∵在R 上的函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2
x
1＋4x ，
f (x )在(－1，0)上的解析式为f (x )＝－2
x
1＋4
x .
f (－1)＝f (1)，即－f (1)＝f (1)，∴f (1)＝f (－1)＝0.
综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝±1，0，
2x 4x
＋1，x ∈（0，1），
－2x 4x
＋1，x ∈（－1，0）.
(2)当x ∈(0，1)时，f (x )＝2
x
4x ＋1，
令t ＝2x
，则t ∈(1，2)，
函数变为y ＝t
t 2＋1，y ′＝1－t
2
（t 2＋1）2<0，
∴y ＝
t
t 2
＋1
在(1，2)上为减函数，
t ＝1时，y max ＝12
；t ＝2时，y min ＝25
.
∴f (x )在(0，1)上的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，12. 20.【解】 (1)连接OB ，因为AB ＝x cm ，
所以OA ＝900－x 2
cm ，
设圆柱的底面半径为r cm ，则900－x 2
＝2πr ，
即4π2r 2
＝900－x 2
，所以V ＝πr 2
x ＝π·900－x 2
4π2·x ＝
900x －x
3
4π
，其中0<x <30. (2)由(1)知V ＝900x －x
3
4π(0<x <30)，
则V ′＝900－3x
2
4π
.
由V ′＝900－3x
24π
＝0，得x ＝103，
因此V ＝900x －x
34π在(0，103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x ＝103
时，V 有最大值．
21.【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2
＋2x ， 因为f (x )在x ＝－4
3
处取得极值，
所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83
＝0，解得a ＝12.
(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x
，
故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x
.
令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
22.【解】 f ′(x )＝x e x －e x
x 2
，令f ′(x )>0，得x >1，
令f ′(x )<0，得0<x <1，
所以，函数f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
(1)当m ≥1时，函数f (x )在[m ，m ＋1](m >0)上是增函数，所以f (x )min ＝f (m )＝e
m
m
，
当0<m <1时，函数f (x )在[m ，1]上是减函数， 在[1，m ＋1]上是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝e.
(2)由题意，对∀x ∈(0，＋∞)，不等式e x
＋x 2
＋1>λx 恒成立， 即e
x
x ＋x ＋1
x
>λ恒成立， 令g (x )＝e x x ＋x ＋1x ，则g ′(x )＝（e x
＋x ＋1）（x －1）
x
2
， 由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.
所以g (x )min ＝g (1)＝e ＋2，所以λ<e ＋2.。