【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5第3章3.3-3.3.3简单的线性规划问题

第3章 不等式
3.3 二元一次不等式组与简单的线性
规划问题
3.3.3 简单的线性规划问题
A 级 基础巩固
一、选择题
1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线在y 轴上的截距
C ．该直线在y 轴上的截距的相反数
D ．该直线在x 轴上的横截距
解析：把目标函数变形为y ＝3x －z ，由此可见，z 是该直线在y 轴上的截距的相反数．
答案：C
2．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a （x －3），
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．2 解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y 轴上的截距，
当z ＝
2x ＋y 经过点B 时，z 最小，
由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，
代入y ＝a (x －3)得a ＝12
.
答案：B
3．平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表
示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．－13
D ．－1
2
解析：作出可行域，由图象可知当点M 位于点A 时，OM 的斜
率最小，由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0⇒⎩⎨⎧x ＝3，
y ＝－1，
即A (3，－1)，此时OM 的斜率为－13＝－13
.
答案：C
4．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，
则
z ＝
2x ＋y 的最大值等于( )
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
解析：画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4，2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C.
答案：C
5．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( )
A ．10个
B ．9个
C ．3个
D ．无数个
解析：选择单位长度，找整数点． 答案：A 二、填空题
6．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，在这些点中，
使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．
解析：目标函数可化为y＝－
3
4x＋
z
8
，因为－3
4>－1，
所以当过点(0，5)时，目标函数z＝6x＋8y取得最大值．
答案：(0，5)
7．设z＝kx＋y，其中实数x，y
满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥2，
x－2y＋4≥0，
2x－y－4≤0.
若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为A(4，4)，这时12＝4k＋4，k＝2.
答案：2
8．已知x，y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－2≤0，
y－1≤0，
x＋2y－2≥0，
则z＝x－y的取值范围为________．
解析：画出可行域，如图中的阴影部分所示．
由图知，－z 是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距，当直线y ＝x －z 经过点A (2，0)时，－z 取最小值，此时x ＝2，y ＝0，则z 的最大值是x －y ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 经过点B (0，1)时，－z 取最大值，此时x ＝0，y ＝1，则z 的最小值是x －y ＝0－1＝－1，所以z ＝x －y 的取值范围为－1≤z ≤2.
答案：[－1，2] 三、解答题
9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？
解：设购买重量为每袋35千克的x 袋，重量为每袋24千克的y 袋，则所要花费的金额z ＝140x ＋120y ，依题意，可得关于x 、y 的约束条件：
⎩⎪⎨⎪
⎧35x ＋24y ≥106，
x ∈N ，
y ∈N ，
如图所示，当直线经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
10635，0时，目标函数z 的值最小，
又x ，y ∈N ，寻找可行域上靠近边界的几个点．
令x ＝0，知y ≥5，当x ＝1，知y ≥3，当x ＝2，知y ≥2， 当x ＝3，知y ≥1，当x ＝4，知y ≥0，
将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)分别代入目标函数，
可知直线z ＝140x ＋120y 过点(1，3)时，目标函数z 有最小值500元．
10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？
解：设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个，B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，
所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域是如图所示的阴影部分，
其中l 1：
3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)， 因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，
此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.
即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A ，B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．
B 级 能力提升
一、选择题
11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1
的取值
范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞ D.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1 解析：如下图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0
的解
(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2，2)．因为根据目标函数
的几何意义是可行域上一点与点(
－1，1)连线的斜率，可求得目标函
数的最小值－1，最大值1
3.故ω的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 答案：A
12．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，
则实数m 的最大值为( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 解析：如图所示，当直线x ＝m 经过y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点时，函数y ＝2x 的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组
⎩⎨
⎧y ＝2x ，
x ＋y －3＝0
得x ＝1， 所以m ≤1.
答案：B
13．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )
A ．2件，4件
B ．3件，3件
C ．4件，2件
D ．不确定
解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则
⎩⎪
⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，
y ≥1，
x ，y ∈N
*
求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3，3)．
答案：B 二、填空题
14．已知⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0画出可行域，得交点A (1，2)，B (3，4)，
如图所示，根据
x 2＋y 2表示可行域一点到原点的距离，可知x 2＋y 2
的最小值是|AO |2＝5.
答案：5
15．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈
Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．
解析：画出可行域，其中z ＝x ＋y 取最小值的整点为(0，1)，取得最大值时的整点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5个．
故可确定的直线有5＋1＝6(条)．
答案：6 三、解答题
16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
蔬菜 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
)最大，求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润．
解：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x 亩和y 亩，则依题意得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ＞0.目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x
＋0.9y ，作出可行域如图所示．
由图知，z ＝x ＋0.9y 经过点A 时，z 最大，
由⎩⎨⎧x ＋y ＝50，1.2x ·0.9y ＝54
⇒A (30，20)， 所以种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．。