全等三角形证明经典40题

1. ：4，2，D 是中点，是整数，求的长.
解：延长到E,使
∵D 是中点
∴
在△和△中
∠∠
∴△≌△
∴2
∵在△中
＜＜
∵4
即4-2＜2＜4+2
1＜＜3
∴2
2. ：，∠∠E ，∠∠D ，F 是中点，求证：∠1=∠2
A
D
B C
证明：连接和
∵ ,∠∠
∴三角形全等于三角形(边角边) ∴ ,∠∠
连接
在三角形中
∴∠∠。

∵∠∠。

∴∠∠。

∴。

在三角形和三角形中
,
∠∠∠∠∠∠
∴三角形和三角形全等。

∴∠∠ (∠1=∠2)。

3.：∠1=∠2，，，求证：
过C 作∥交的延长线于点G
∥，可得，∠＝
＝
∠＝∠〔对顶角〕
∴△≌△
＝
∠＝∠
又，∥
∴，∠＝∠1
∠1=∠2
∴∠＝∠2
∴△为等腰三角形，
＝
又 ＝
∴＝
4. ：平分∠，，求证：∠2∠C
B A
C
D
F
2 1
E
A
证明：延长取点E，使＝，连接
∵平分∠
∴∠＝∠
∵＝，＝
∴△≌△〔〕
∴∠E＝∠C
∵＝
∴＝
∵＝
∴＝
∴∠＝∠E
∵∠＝∠∠
∴∠＝2∠E
∴∠＝2∠C
5.：平分∠，⊥，∠∠180°，求证：
证明：
在上取F，使＝，连接
∵⊥
∴∠＝∠＝90°
∵＝，＝，
∴△≌△()
∴∠B＝∠
∵∠B＋∠D＝180°，∠＋∠＝180°
∴∠D＝∠
∵平分∠
∴∠＝∠
∵＝
∴△≌△〔〕
∴＝
∴＝＋＝＋
6. 如图，四边形中，∥，、分别平分∠、∠，且点E在上。

求证：。

在上截取，连接
∵平分∠
∴∠∠
又∵
∴⊿≌⊿〔〕
∴∠∠
∵
∴∠∠180º
∵∠∠180º
∴∠∠
又∵∠∠ , 平分∠
∴⊿≌⊿〔〕
∴
∴
7.：，∠∠D，求证：∠∠C
证明：设线段所在的直线交于E，那么：△是等腰三角形。

∴
而
∴
∴△是等腰三角形
∴∠∠C.
8是∠平分线上一点，>，求证：<
在上取点E，
使＝。

∵＝
＝
∠＝∠，
∴△≌△
∴＝。

＜＋
∴＜〔－〕＋
∴－＜－。

9.∠3∠C，∠1=∠2，⊥，求证：2
证明：
延长交于点F,可证△≌△
∴∠∠
∴– 2
∵∠3∠C
∴∠∠3∠C
∴∠∠3∠C
∵∠∠∠
∴∠∠∠3∠C
∴∠2∠C
即∠∠C
∴
∴2
10．如图，在△中，，∠1=∠2，求证：⊥．
解：延长至于点E,
∵ ∴△是等腰三角形
∴∠∠
又∵∠1=∠2 ∴∠∠1=∠∠2
即∠∠
∴△是等腰三角形
∴
在△和△中
｛
∠1=∠2
∴△和△是全等三角形〔边角边〕
∴是△的中垂线
∴⊥
∴⊥
11．如图，平分∠，⊥⊥，A、B为垂足，交于点N．求证：∠∠
证明：
∵平分∠
∴∠＝∠
∵⊥，⊥
∴∠＝∠＝90
∵＝
∴△≌△〔〕
∴＝
∵＝
∴△≌△〔〕
∴∠∠，∠∠
∴∠＝∠＝90
∴⊥
12.如图，∥，∠的平分线与∠的平分线相交于E ，的连线交于D ．求证：．
做的延长线，与相交于F 点，
∵
∴∠∠180°，又∵，，均为∠和∠的角平分线
∴∠∠90°∴∠90°，为直角三角形
在三角形中，⊥，且为∠的角平分线
∴三角形为等腰三角形，
在三角形与三角形中，
∠∠,且，∠∠，
∴三角形与三角形为全等三角形，∴
∴
13.如图，△中，是∠的平分线，且，求证：∠2∠B P
E
D C B A
延长到E
使 连接
∵
∴
可得∠∠E
△为等腰
∠2∠B
14．：如图，∥，且，E 为的中点，
〔1〕求证：△≌△．
〔2〕观看图前，在不添辅助线的情况下，除△外，请再写出
两个与△的面积相等的三角形．〔直接写出结果，
不要求证明〕：
证明：
∵∥
∴∠＝∠
∵＝，＝
O E D
C B A
D C B
A
∴△≌△
∵E 为中点
∴＝
∴＝
∵∥
∴∠＝∠
∵＝
∴△≌△
∴△≌△
15.如图，△中，∠90度，，是∠的平分线，的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线交的延长线于F ．
求证：2．
证明：
∵∠∠90°
∴四点共元
∵∠∠ F
E
D C B A
∴
∴∠∠
取线段的中点G ，连接，那么：
∴∠∠
而：∠∠ (同弧上的圆周角相等〕
∴∠∠∠∠
而：
∴△≌△
∴
∴2
16、如图：，，∠∠C 。

求证：△≌△。

F E D C
B A
证明：∵，
∴，
即，
在△和△中，
∵ ， ∠∠C ，
∴△≌△〔〕
17.如图：、交于点M ，F 点在上，∥，。

求证：是△的中线。

M F
E C
B A
证明：
∵‖
∴∠∠，∠∠
∵
∴△≌△
∴
∴是△的中线.
18.如图：在△中，，D 是的中点。

求证：⊥。

D
C B A
∵△和△的三条边都相等
∴△△
∴∠∠
∴∠∠90°
∴⊥
19，，F 是的延长线上的一点。

求证：
F D
C
B
A
在△与△中
∴△≌△
∴∠∠
∴∠∠
在△与△中
∠∠
∴△≌△
∴
20.如图：，，。

求证：。

F E
D C B
A
∵
,
∴△△
∵∠∠
△△
∴
21.公园里有一条“Z〞字形道路，如下图，其中∥，在，，三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且＝，M 在的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.
证明：连接
∵∥
∴∠∠C
∵M 是中点
∴
在△和△中
∠∠C
∴△≌△〔〕
∴
22．：点A、F、E、C在同一条直线上，＝，∥，＝．求证：△≌△．
∵.
∴.
∵,
∴∠∠〔两直线平行，内错角相等〕
∵
∴：△≌△〔〕
23.：如下图，＝，＝，E、F分别是、的中点，求证：＝。

B
连接；
∵
∴∠∠∠∠;两角相加，∠∠；
∵ E\F是中点
∴；
∵
∠∠
∴。

24．如图，在四边形中，E是上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
A
C
证明：
在△，△中
∵，∠∠，∠∠
∴△≌△〔两角加一边〕
∵，
在△与△中
∠∠，，
∴△≌△〔两边夹一角〕
∴∠∠
25．∥，∥，D，C在上，且＝，求证：△≌△．
∵
∴
∵
∴∠∠
又∵
∴∠∠
∴△≌△〔〕
26．：如图，，，，垂足分别为D、E，、相交于点F，求证：．
证明：
∵⊥
∴∠90°∵⊥
∴∠90°∴∠∠90°A
C
D E F
∵
∴∠∠
∴
∴△≌△〔)
∴
27.如图，在△中，为∠的平分线，⊥于E，⊥于F。

求证：．
B D C
证明：
∵是∠的平分线
∴∠∠
∵⊥，⊥
∴∠∠90°
∴∠与∠90°
在△与△中
∠∠
∠∠
∴△≌△〔〕
∴
在△与△中
∠∠
∴△≌△〔〕
∴∠∠90°
∴⊥
28.：如图, ⊥于C, ⊥于E, ⊥于A, ．假设= 5 ,求的长？
∵⊥
∴∠∠
又∵⊥于C，⊥于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠∠
∵，△≌△〔〕
∴5
29．如图：，⊥，⊥，垂足分别为E 、F ，。

求证： B C M A
F E
证明：
∵
∴∠∠C
∵⊥，⊥
∴∠∠90°
在△和△中
∵ ∠∠C ∠∠90°
∴△≌△〔〕
∴．
30．在△中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋
转到图2的位置时，〔1〕中的结论还成立
吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由.
〔1〕
①∵∠∠∠90°，
∴∠∠90°，∠∠90°，∠∠90°．
∴∠∠．
∵，
∴△≌△．
②∵△≌△，
∴，．
∴．
〔2〕∵∠∠∠90°，
∴∠∠．
又∵，
∴△≌△．
∴，．
∴﹣﹣
31．如下图，⊥，⊥，，。

求证：〔1〕；〔2〕⊥
〔1〕∵⊥，⊥，
∴∠∠90°，
∴∠∠∠∠，
即∠∠，
在△和△中，
∵，∠∠，，
∴△≌△〔〕，
∴；
〔2〕如图，根据〔1〕，△≌△，
∴∠∠，
∵⊥，
∴∠90°，
∴∠∠90°，
∵∠∠〔对顶角相等〕，
∴∠∠90°，
在△中，∠180°-∠∠180°-90°=90°，
∴⊥． A
E B M
C
F
32．如图：⊥，⊥，，。

求证：〔1〕；〔2〕⊥。

证明：
〔1〕
∵⊥，⊥
∴∠∠90°，∠∠90°
∴∠∠
∵，
∴△≌△
∴
〔2〕
∵△≌△
∴∠∠N
∵∠∠90°
∴∠∠90°
即∠90°
∴⊥
33．如图,∠∠.求证∥
在△和△中
∠∠D
∴△≡△〔边角边〕
∴
在四边形中
∴四边形是平行四边形
∴‖
34．如图,∥，、分别平分∠和∠，过点E，那么与相等吗？请说明理由
在上取点N ,使得
∵∠∠
∴为公共,
∴△≌△
∴∠∠
又∵平行
∴∠∠180
而∠∠180
∴∠∠
∠∠
∵为公共边
∴△≌△
∴
∴
35.如图,: 是上的中线 ,且．求证∥．证明：
∵是△的中线
∵〔〕
∠∠
∴△≌△
那么∠∠
∴∥〔内错角相等，两直线平行〕。

36.：如图，＝，⊥，⊥，E ，F 是垂足，
DE BF ．
求证：AB CD ∥．
证明：
∵⊥，⊥
∴∠∠90º
又∵，
∴⊿≌⊿〔〕
∴
∠∠
∴
A D E
C
B
F
37.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证： .34
21
D
C B A
∵,∠3=∠4
∴
在△和△中
∠1=∠2
OB
∠∠
△≌△
∴
在△和△中
,∠3=∠4
△≌△
∴
38.如图，⊥，⊥，＝，＝，试猜测线段与的大小与位置关系，并证明你的结论.
>。

当∠越小，那么越小。

证明：
过D 作平行线与交于F ，连接
由条件知为平行四边形，为矩形 ，且△为等腰三角形。

△中，∠为锐角，即∠<90°
∵ ∴∠∠<90°
△中 ∠∠(180°-∠)/2>45°
△中，∠90°-∠ <45°
∠90°-∠>45°
∴>
∵
∴>
39. (10分)如图，＝，＝，＝，求证：＝.
∵， ∴△≌△，
∴∠∠ A C
E D B A B E C
D
又∵，
∴△≌△
∴
40．如图9所示，△是等腰直角三角形，∠＝90°，是边上的中线，过C 作的垂线，交于点E ，交于点F ，求证：∠＝∠．
作⊥,交于H,
那么∠45º,∠45º
∵∠90º-∠, ∠90º-∠ ∴∠∠
又∵, ∠∠45º
∴△≌△, ∴
又∵∠∠45º,
∴△≌△
∴∠∠
A B
C
D
E F 图9。