江西逝江市2018届高三数学上学期第二次月考试题文201712280241

江西省九江市2018届高三数学上学期第二次月考试题文
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x），则（∁U A）∩B=（）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x＜3}
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（）
3．九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的
概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（A|B）=（）
A．B．C．D．
4．要得到函数y=sin（2x+ ）得图象，只需将y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
5．下列命题中错误的是（）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p(q)”为真命题
B．命题“若a b7，则a2或b5”为真命题
C．命题“若x2x0，则x0或x1”的否命题为“若x2x0，则x0且x1”D．命题p：x0，sin x2x1，则p为x0，sin x2x1
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC= ，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）
A ．4π B.8π C ．9π D ．36π
7．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）
A. 6
B. 2 log 3
1 C.
2 log 3
3
D.
2
2
log 31
2
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
2
3
3
2 3
3
A ．
B ．
C ．
D
．
3
3
xy
9．点 M
x , y
在圆
上运动，则 的取值范围是（ ）
x 2
y 2
1
2
4x
y
2
2
1 1 1
1
4 4
4 4
A ．
B
．
, ,
, ,
1 1 C.
D ．
,0 0, 1 1
,
10.双曲线﹣=1（a，b＞0）离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|=2，则双曲线方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
- 2 -
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
12．在三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（）
A．B．C．1 D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•=．
14．化简：=．
15．已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，若点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两
圆的公共弦上，则的最小值为．
16. 若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和S n=n2+a n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．
18．我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者
中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25，第2组25,30，第3组30,35，第4组
35,4040,45
，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率．
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者
参加广场宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，我市决定在这6名志愿者中随机抽取2名
志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
19．如图，四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，
AB DC AC BD F PAD ABD E AD G 223, .且与均为正三角形, 为的中点，为PAD
重心.
（Ⅰ）求证：GF//平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥G PCD的体积.
x y
22
1
20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，是
C:1a b0F、F M C 22
12
a b2
上一点，，且．
MF12
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P4,1的动直线l与椭圆C相交于不同两点A,B时，线段AB上取点Q，且Q 满足AP QB AQ PB，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线．
21.已知函数f x x2ln x ax1．
（1）若f x在区间1,上单调递增，求实数a的取值范围；
x f x a
00
（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．
[选做题：选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t
为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
- 4 -
是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B 两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
九江一中第二次月考数学（文）试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x），则（∁U A）∩B=（）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x＜3}
故选：C．
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（）
A．B．C．D．
故选A．
3．九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的
概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（A|B）=（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意P（A）= ，P（B）= ，P（AB）= ，
∴P（A|B）= = = ，故选B．
4．要得到函数y=sin（2x+ ）得图象，只需将y=sin2x的图象（D）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
5．下列命题中错误的是（C ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p(q)”为真命题
B．命题“若a b7，则a2或b5”为真命题
C．命题“若x2x0，则x0或x1”的否命题为“若x2x0，则x0且x1”D．命题p：x0，sin x2x1，则p为x0，sin x2x1
6．△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 ，bcosA+acosB=2，则△ABC
的外接圆的面积为（ c ） A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π
7．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ D ） A. 6 B. 2 log 3
1 C.
2 log 3
3
D.
2
2
log 31
2
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ） A ．
B ．
C ．
D ．
3 2 3
3
2 3
3
3
xy
9. 点 M x , y
在圆
x 2
y
2
1上运动，则 的取值范围是（D ）
4x y
2
2
2
1 1
1
1
, , ,
,
0 A ．
B
．
4 4
4
4
1 1
C.
D ． ,0
0, 4
4
1 1
,
4 4
10. 双曲线 ﹣ =1（a ，b ＞0）离心率为
，左右焦点分别为 F 1，F 2，P 为双曲线右支上
一点，∠F 1PF 2的平分线为 l ，点 F 1关于 l 的对称点为 Q ，|F 2Q|=2，则双曲线方程为（ ）
可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，
即|PF1|﹣|PF2|=|F2Q|，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
由|F2Q|=2，可得a=1，
- 7 -
由e= = ，可得c= ，
b= = ，
则双曲线的方程为x2﹣=1．
故选：B．
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象，根据图象可判定．
【解答】解：函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），
在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象（如下），可知1＜x1＜2，
，，⇒，⇒x 1+x2＜2．
故选：A．
- 8 -
【点评】本题考查了函数的零点与函数的交点间的转化，利用图象的交点情况，确定零点情
况是常用的方法，属于中档题．
12．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（）
A．B．C．1 D．
【分析】当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，由已知得当a=b= 时，AC=2 ，此时三棱锥ABCD体积为
V= ．由此排除A，B，C选项．
【解答】解：当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，
此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，
∵该外接球的表面积为16π，∴AB=4，
设BC=a，CD=b，∵在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，
∴BD= ，
设Rt△BCD斜边上的高为CE，则CE=1，
由，得BD= =ab，
∵a＞0，b＞0，∴=ab≥，即ab≥2，
当且仅当a=b= 时，取等号，
∴当a=b= 时，=2，解得AC=2 ，
- 9 -
此时三棱锥ABCD体积为V= = = ．
由此排除A，B，C选项，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•=．
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：=（1﹣x，3），
∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．
则•=﹣﹣2=﹣．
故答案为：﹣．
14．化简：= 2 ．
15．已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，若点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两
圆的公共弦上，则的最小值为8．
16．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（0，+∞）
【解答】解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，
∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1﹣sin2x），
∴f（x）变为：y=t3﹣at2+a，
则y′=3t2﹣2at=t（3t﹣2a），
由y′=0得，t=0或t= ，
∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，
∴函数y=t3﹣at2+a在（0，1]上递减或先减后增，
即＞0，得a＞0，
∴实数a的取值范围是（0，+∞），
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和S n=n2+a n．
- 10 -
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是公差为2的等差数列，
又∵a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
列{b n}的前n项和S n=n2+a n=n2+2n+1=（n+ 1）2
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，．
上式对b1=4不成立．
∴数列{b n}的通项公式：；
（Ⅱ）n=1时，；
n≥2时，，
∴．
n=1仍然适合上式．
综上，．
18．我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者
中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25，第2组25,30，第3组30,35，第4组35,4040,45
，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率．
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，应从第3，
- 11 -
4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，我市决定在这 6名志愿者中随机抽取 2名志愿者介绍宣传经验，求第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
18.(1) 第 3组的频率为 0．3，第 4组的频率为 0．2，第 5组的频率为 0．1;(2) 从第 3，4，
3
5组中分别抽取 3人，2人，1人;(3) 第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 .
5
19．(本小题满分 12分)如图，四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为梯
形 ， AB / /CD ， AB 2DC 2 3 ,AC BD
F .且
PAD 与 ABD 均 为 正 三 角 形 ,E 为
AD G PAD
的中点， 为 重心.
（Ⅰ）求证：GF / / 平面 PDC ； （Ⅱ）求三棱锥G PCD 的体积.
19、【解析】（Ⅰ）方法一：连 AG 交 PD 于 H ,连接CH .
由梯形 ABCD ， AB //CD 且 AB
2DC ，知
2
AF
FC
1
又 E 为 AD 的中点，且 PG :GE 2:1，G 为 PAD 的重心，∴
2 ------- 2分
AG
GH
1
在
AFC 中，
2 ,故 // .------- 4分
AG
AF
GF HC
GH
FC 1
又 HC 平面 PCD ,GF 平面 PCD ,∴GF //平面 PDC .------- 6分
方法二：过G 作GN // AD 交 PD 于 N ,过 F 作 FM // AD 交CD 于 M ,连接 MN ,
E AD PG :GE 2:1
为 的中点，且
，
GN
PG
2
2 2
3 G PAD
GN
ED
为
的重心，
,
,
ED PE 3 3
3 CD 1
CF 1
又 ABCD 为梯形， AB //CD ,
,
------- 2分
AB 2
AF
2
M F AD 1 3
2 3
, ∴ ------- 4分
MF GN FM
3
又由所作GN// AD，FM// AD得GN//FM，GNMF为平行四边形.
GF// MN,GF面PCD，MN面PCD GF// PDC
, 面------- 6分
方法三：过G作GK//PD交AD于K,连接KF,GF,
由PAD为正三角形, E为AD的中点，且PG:GE2:1，G为PAD的重心，
- 12 -
得 ，
------- 2分
DK
2 DE
1
DK
AD 3
3
又由梯形 ABCD ， AB //CD ，且 AD 2DC ，
AF 2 1 知
,即
------- 4分
FC 1
3
FC AC
∴在
ADC 中， KF //CD ，所以平面GKF //平面 PDC
又 GF 平面GKF ，∴GF // 面 PDC
------- 6分
（Ⅱ） 方法一:由平面 PAD 平面 ABCD ， PAD 与 ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点
∴ PE
AD ， BE
AD ，得 PE
平面 ABCD ，且 PE 3
由（Ⅰ）知GF //平面 PDC ，∴
1
---- --- 8分
V
V
V
PE S
G PCD F PCD
P CDF
CDF
3
又由梯形 ABCD ， AB //CD ，且 AD 2DC 2 3 ，知
1 2 3
DF
BD 3 3
1
3
又 ABD 为正三角形，得 CDF ABD 60 ，∴ S
CD DF sin BDC
，--
CDF
2
2
10分
1
3
得V
PE S
P CDF
CDF
3
2 3
∴三棱锥G PCD 的体积为
．------- 12分
2
方法二: 由平面 PAD 平面 ABCD ， PAD 与 ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点
∴ PE
AD ， BE
AD ，得 PE
平面 ABCD ，且 PE
3 2
2
2 1
PG PE
V
V
V
PE S
由
，∴
------- 8分
G PCD
E PCD
P CDE
CDE
3
3
3 3
1
3 3
而又 ABD 为正三角形，得 EDC 120 ，得 S
CD DE
EDC
．-----
sin
CDE
2
4
10分 ∴ 3
，∴三棱锥
的体积为 ．---- 12分
V
PE S
G PCD
3
2 1 2 1
3 3 3 P CDF
CDF
3 3
3 3
4
2
2
x y
22
1
20.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆，是
C:1a b0F、F M C
12
a b2
22
1 2 上一
点，，且．．
MF
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P4,1的动直线l与椭圆C相交于不同两点A,B时，线段AB上取点Q，且Q 满足AP QB AQ PB，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线．
- 13 -
解析：（1）由已知得 a 2c ，且 F 1MF 2 600 ，
在
中，由余弦定理得
，解得
.
2c
2 4c 2
224c 2cos 60 c
1
F F M
2 2
2 0
1 2
x
y
2
2
则 a
2,b 3 ，所以椭圆C 的方程为
1.
4
3
（2）由题意可得直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为 y
1 k x 4
，即 y
kx 1 4k
，
代入椭圆方程，整理得
，
3
4k 2 x 2
8k 32k 2 x 64k 2 32k 8 0 32k
8k
64k
32k
8
2
2
设
，则
.
1
,
1
, 2
, 2 x x
, x x
A x y
B x y
1
2
2
1 2
2
3
4k
3 4k
Q x 0 , y 0
AP QB
AQ PB
设
，由
得
4 x x
x
x
x
4 x
x
（考虑线段在 轴上的射影即可），
1
2
1
2
所以
，
8x
4 x
x
x
2x x
1
2
1 2
32k
8k 64k
32k 8 2
2
于是
，
8x
4 x
2
2
2
3 4k
3 4k
整理得
，（*）
3x 2 4 x k
y1
又k0，代入（*）式得3x y30，
x4
0 0
所以点Q总在直线3x y30上.
21.已知函数f x x2ln x ax1．
（1）若f x在区间1,上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．
x
f x
a 0
00
2
21. 解析（1）函数f x的定义域为0,，，
f x ln x1a
x
要使f x在区间1,上单调递增，只需f x0，即
2
ln x1a
1,
在上恒成立即可，
x
- 14 -
2 易知 在 上单调递增，所以只需 即可，
y ln x 1 a y
1,
min
x
2
易知当 x 1时， y 取最小值， y ln11 1，
min
1
∴实数 a 的取值范围是,1.
（2）不等式 f x 即 ，
0 0 x 0 2 ln x 0 ax 0 1
令 g x x 2ln x , x 0,h x ax 1，
2
则 ， g x 在0,上单调递增，
g x ln x 1
x
而 g 1 1 0, g 2 ln 2 0 ，
∴存在实数 m 1, 2，使得 g m 0，
当 x 1,m 时， g x 0， g x 在1,m 上单调递减；
当 x m ,时， g x 0 ， g x 在m ,上单调递增，∴ g x g m .
min
g 1 g 2 0 g x h x
，画出函数 和 的大致图象如下， h x C 0,1
的图象是过定点 的直线，
0 BC AC DC
0 0 k a k k
由图可知若存在唯一整数 ，使得 成立，则需 ，
AC DC AC DC
33
k11ln31
a
∵，∴．
BC
223
1ln31
于是实数a的取值范围是,．
23
- 15 -
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t
为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．
∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），
由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，
∴x2﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），
∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，
∴直线l的参数方程为，
代入x2=4y，得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为，
又P（1，0），则|PQ|=| |=3 ．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）≥5化为：|x﹣1|+|x+2|≥5①，当x≤﹣2时，①式化为﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；
当﹣2＜x＜1时，①式化为3＞5，不成立；
当x≥1时，①式化为2x+1≥5，解得x≥2
综上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；
（Ⅱ）当x≤﹣2时，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；
当﹣2＜x＜1时，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；
当x≥1时，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，
综上，f（x）= ；
画出函数f（x）的图象如图所示；
则f（x）与x轴围成的△ABC三个顶点分别为：
A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）
由题设可得：S= （﹣）•3=6，
化简得2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a= （不合题意，舍去）；故a的值是﹣2．。