四年级上册数学奥数讲义-线段 含解析

线段

平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．

构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．

几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．

解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题

【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．

思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．

注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．

当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．

求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：

(1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?

(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?

(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?

【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．

【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．

思路点拨引人未知数，通过列方程求解．

【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?

思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名

段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．

【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；

(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；

(3)如图c ，有一正方体的盒子ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C l 处不动)

思路点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．

注： 恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．

数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．

“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．

分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．

【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走C 市到这里路程的一半就到达目的地．问A 、B 市相距多少千米?

思路点拨 画出线段图进行分析．

如图13—1所示，设小镇为D 点，傍晚在正点休息．

∵GE=2EB ，∴GE=

3

2BC ∵AD=31AC ，∴DC=3

2AC ． ∵DC+CE=32（BC+AC ）=3

2AB ∴DE=32AB ，又DE=400km ； ∴ AB=600 km ．

注： 线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km ”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C 市到这里路程的31就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．

【例7】 如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短?

思路点拨 虽然A 、B 两点在河两侧，但连结AB 的线段不垂直于河岸．

如图13-8，关键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

如图13-9，建立在PD 处符合题意．

注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．

学力训练

1．如图，已知B 、C 是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，MN=a ，BC=b ，则线段AD= ．

2．从哈尔滨开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有 种不同的票价．

3．如图，AB ＝a ，BC ＝b ，CD=c ，DE=d ，EF=e ，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的所有线段长度的和为 ．

4．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．

A ．1条

B ．4条

C 6条

D ．1条或4条或6条

5．如图，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点(端点除外)，则( )．

A ．AD ．DB

B ．AD ．DB=A

C ．BC

C ． A

D ．DB>AC ．BC D ．它们的大小关系不能确定

6．线段AB ＝1996厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP ＝1050厘米，则线段PQ ＝( )厘米．

A ．254

B ．150

C ．127

D ．871

7．如图，线段AB=2BC ，DA=2

3 AB ，M 是AD 中点，N 是AC 中点， 试比较MN 和AB 十NB 的大小．

8．已知A 、B 、C 三点在同一直线上，若线段AD ＝60，其中点为M ；线段BC ＝20，其中点为N ，求MN 的长．

9．线段AB 上有P 、Q 两点，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ= ．

10．将长为20cm 的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是 ．

11．如图，C 是线段AB 上的一点，D 是线段CB 的中点．已知图中所有线段的长度之和为