陕西省延安市2021届新高考数学最后模拟卷含解析

陕西省延安市2021届新高考数学最后模拟卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:
得到正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【答案】B 【解析】 【分析】
通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【详解】
解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.
2．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2
375150a a a +-+=，则9S =（ ）
A ．35
B ．36
C ．45
D ．54
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列{}n a 通项公式得2
375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .
【详解】
Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，
2
375150a a a +-+=，
2552150a a ∴--=，
解得55a =或53a =-（舍），
()91959
995452
S a a a ∴=
+==⨯=，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
3．已知
5
2i 12i
a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A ．3 B ．3
C ．1
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由
5
2i 12i
a =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.
4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A ．
1
5
B ．
625
C ．
825
D ．
25
【答案】A 【解析】 【分析】
阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概
率. 【详解】
因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255
P ==. 故选：A. 【点睛】
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =
目标事件的个数
基本本事件的总个数
.
5．设函数()(1x g x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足
2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫
∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数
()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．⎛
⎫+∞ ⎪
⎪⎝⎭
B ．)+∞
C ．)+∞
D ．⎡⎫+∞⎪⎢
⎪⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先构造函数()()2
12
T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】
构造函数()()2
12
T x f x x =-
， 因为()()2
f x f x x -+=， 所以()()()()()()()2
2211022
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，
当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(]
,0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()01
12x x f x f x x ⎧⎫∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
， 所以()()0001
12
f x f x x +
≥-+，
所以()()()2
20000011111222
T x x T x x x +
+≥-+-+， 化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即01
2
x ≤
令()()12x
h x g x x e a x ⎛⎫=-=--≤
⎪⎝
⎭
， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在1
2
x ≤时有一个零点 因为当1
2
x ≤
时，()12'0x h x e e =≤=， 所以函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，10
2<<，
又因为0h e
a e
⎛=-=> ⎝
，
所以要使()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点，
只需使102h a ⎛⎫
=≤ ⎪
⎝⎭，解得2
a ≥，
所以a 的取值范围为⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
6．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是
ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )
A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】B 【解析】
由题意2ξ=或4，则221
[(23)(43)]12
D ξ=
-+-=，故选B ． 7．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】
Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
8．已知函数ln(1),0()11,02
x x f x x x +>⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）
A ．[32ln 2,2)-
B ．[32ln 2,2]-
C ．[1,2)e -
D ．[1,2]e -
【答案】A 【解析】
分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，
则1
ln(1)12
n m +=
+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111
n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<， 当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；
当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，
所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
9．若,x y 满足约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域,将2z x y =+化为122z
y x =-+,通过平移12
y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】
解:由约束条件026
36x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
作出可行域如图,
化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122
z
y x =-+.由图可知 当直线122
z
y x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 10．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，
2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．0,2⎛ ⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭
C ．⎛ ⎝⎭
D ．⎛ ⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的
图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】
()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，
(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，
又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，
()f x ∴为周期为2的偶函数，
当[2,3]x ∈时，22
()212182(3)f x x x x =-+-=--，
当2
[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2
[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：
函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，
()0f x ≤Q ，若1a >，
()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，
2
2
1133,,01,033
a a a a ∴
><<<∴<<Q . 故选:B.
【点睛】
本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.
11．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．3
B ．
10
3
C ．
113
D ．83
【答案】B 【解析】
由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：
直三棱柱的体积为1 22242⨯⨯⨯=，消去的三棱锥的体积为112
212323
⨯⨯⨯⨯=， ∴几何体的体积210
433
V =-
=，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此
类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.
12．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-r u r u u r
，且a =r λ=（ ）
A ．－1
B ．2
C ．0或－1
D ．2或－1
【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数λ的值. 【详解】
由于a =r 2
3a =r ，即()
2
12
3e e λ-=u r u u r ，22
22112222cos6013e e e e λλλλ-⋅+=-⋅+=o u r u r u u r u u r ，即
220λλ--=，解得2λ=或1λ=-.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a+2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】
由题意124(22)z z a a i ⋅=++-，令40
220a a +=⎧⎨-≠⎩
即可得解.
【详解】
∵z 1＝1﹣2i ，z 2＝a+2i ，
∴12(12)(2)4(22)z z i a i a a i ⋅=-+=++-，
又z 1•z 2是纯虚数，∴40
220a a +=⎧⎨-≠⎩
，解得：a ＝﹣1．
故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.
14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
214
x y -=的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为
______.
【答案】
2413
【解析】 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积． 【详解】
解：双曲线C ：双曲线22
149
x y -=中2a =，3b =，c =，
则双曲线22
1
49
x y -=的一条准线方程为2a x c ==， 双曲线的渐近线方程为：3
2
y x =±，
可得准线方程与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标
，，，
则三角形的面积为1242
213
=． 故答案为：2413
【点睛】
本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题． 15．已知0m >，若5(1)mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30，则m =______． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m 的值． 【详解】
()
5
1mx +展开式通项为：15r r r
r T C m x +=
0m >Q 且()5
1mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30
221
5530C m C m ∴-=，即：2260m m --=
解得：3
2
m =-
（舍去）或2m = 本题正确结果：2 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的。