2021学年新教材高中数学8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课时作业含解析人教A版必修二

课时作业24 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( A ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11
D ．12
解析：设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )
2
＝108，∴V ＝abc ＝6 3.
2．已知棱台的两个底面面积分别是245 cm 2
和80 cm 2
，截得此棱台的棱锥的高为35 cm ，则这个棱台的高为( B )
A ．20 cm
B ．15 cm
C ．10 cm
D ．25 cm
解析：设棱台高为h ，则截去的小棱锥的高为35－h ，由截面性质知80245＝(35－h 35)2
，解
得h ＝15，即棱台的高为15 cm.
3．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3
，则其表面积为( A ) A ．18 3 cm 2
B ．18 cm 2
C ．12 3 cm 2
D ．12 cm 2
解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为
34a 2 cm 2，易求得高为6
3
a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34
a 2＝183(cm 2
)． 4．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b 2
＝ac ，那么这个长方体棱长的和是( B )
A ．28
B ．32
C ．36
D ．40
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·
b ·
c ＝8， ①ab ＋bc ＋ca ＝16， ②
b 2＝a
c ， ③
将③代入①得b 3
＝8，b ＝2， ∴ac ＝4，代入②得a ＋c ＝6.
∴长方体棱长的和为4(a ＋b ＋c )＝4×8＝32. 5．正三棱锥的底面边长为a ，高为
6
6
a ，则三棱锥的侧面积等于( A )
A.
3
4
a2 B.
3
2
a2
C.
33
4
a2 D.
33
2
a2
解析：如图，VO＝
6
6
a，OA＝
a
2
·
3
3
＝
3
6
a，
∴VA＝
1
2
a，
∴S侧＝
1
2
·3a·
1
2
a＝
3
4
a2，故选A.
6．长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于( C )
A．2b2＋ah2 B．22b2＋ah2
C．2b2＋2ah2 D.b2＋2ah2
解析：如图，由条件知AB·BC＝a，且AC·h＝b，
∴AC＝
b
h
，
即AB2＋BC2＝
b2
h2
＝(AB＋BC)2－2a，
∴AB＋BC＝
b2＋2ah2
h
.
∴S侧＝2(AB＋BC)·h＝2b2＋2ah2，故选C.
二、填空题
7．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为 6.
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则
⎩
⎨
⎧ab＝2，
ac＝3，
bc＝6，
三式相乘
得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝ 6.
8．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六
棱锥的侧面积为12.
解析：设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×1
2×2×3×h ＝23，
∴h ＝1，
∴斜高h ′＝12
＋
3
2
＝2，∴S 侧＝6×1
2
×2×2＝12.
9．如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1­BB 1D 1D 的体积为1
3
.
解析：∵正方体棱长为1，
∴矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为1， 2.
∵四棱锥A 1­BB 1D 1D 的高是正方形A 1B 1C 1D 1对角线长的一半，即为2
2
，∴V 四棱锥A 1­BB 1D 1
D
＝13
×1×2×
22＝13
. 三、解答题
10．如图，在三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ­ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1­ABC 的体积为V 2，求V 1
V 2.
解：设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh .因为D ，E 分别为AB ，
AC 的中点，所以△ADE 的面积等于1
4S .又因为F 为AA 1的中点，所以三棱锥F ­ADE 的高等于12
h ，
于是三棱锥F ­ADE 的体积V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝1
24V 2，故V 1
V 2＝124.
11．若E ，F 是三棱柱ABC ­A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点，且B 1E ＝CF ，三棱柱的体积为m ，
求四棱锥A ­BEFC 的体积．
解：如图所示，连接AB 1，AC 1.
∵B 1E ＝CF ，∴梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积．又四棱锥A ­BEFC 的高与四棱锥
A ­
B 1EF
C 1的高相等，
∴V A ­BEFC ＝V A ­B 1EFC 1＝1
2VA ­BB 1C 1C .
又V A ­A 1B 1C 1＝1
3
S △A 1B 1C 1·h ，
V ABC ­A 1B 1C 1＝S △A 1B 1C 1·h ＝m ，
∴V A ­A 1B 1C 1＝m
3
，
∴V A ­BB 1C 1C ＝V ABC ­A 1B 1C 1－V A ­A 1B 1C 1＝2
3m ，
∴V A ­BEFC ＝12×23m ＝m
3，
即四棱锥A ­BEFC 的体积是m
3
.
——能力提升类——
12．(多选)已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的一条棱AD ＝3，沿其底面对角线及侧棱的一个截面是边长为6和10的矩形，则该长方体的体积可能为( AD )
A ．90 3
B ．180
C ．60
D ．1891
解析：由题意可知，AD ＝3，截面边长为6,10，则AD 为底面的棱，底面对角线长为6
或10，分类讨论．
13．在三棱锥A ­BCD 中，P 、Q 分别在棱AC 、BD 上，连接AQ 、CQ 、BP 、DP 、PQ ，若三棱锥A ­BPQ ，B ­CPQ ，C ­DPQ 的体积分别为6,2,8，则三棱锥A ­BCD 的体积为( D )
A ．20
B ．24
C ．28
D ．40 解析：如图所示，V A ­BPQ
V B ­CPQ ＝62，V B ­APQ V B ­CPQ ＝S △APQ S △CPQ ＝6 2.
类似地V A ­DPQ V C ­DPQ ＝V D ­APQ V D ­CPQ ＝S △APQ
S △CPQ ＝6
2.
其中V C ­DPQ ＝8，∴V A ­DPQ 8＝6
2.
∴V A ­DPQ ＝24，∴V A ­BDC ＝6＋2＋8＋24＝40.
14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则这个正四棱台的侧面积为624_cm 2
，表面积为1_012_cm 2
.
解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h ＝132
－
18－82
2
＝12(cm)，
所以S
侧
＝4×12
×(8＋18)×12＝624(cm 2
)，S
上底＝8×8＝64(cm 2
)，S
下底
＝18×18＝
324(cm 2
)，于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2
)．
15．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1
上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF .如图所示．
(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.
于是MH ＝EH 2
－EM 2
＝6，AH ＝10，HB ＝6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(7
9也正确)．。