平面向量学考复习课

学考复习----平面向量 一、目标与要求： １,理解平面向量的基本定理及其意义． ２,识记平面向量的坐标表示，能运用坐标表示平面向量的加，减及数乘运算， 二、课前小练： 1．若OA =（2，1），OB =(2,-3)，则AB =________________。

2．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =（ ）。

A ．→a -→b
B ．2→a -→b
C ．2→a +→b
D ．→a -2→b
3．向量→a =(2,1),→b =(-1, m )，若→a 与→b 平行，则m 等于( )
A ．2-
B ．2
C ．
21 D ．12
- 三、考点梳理
1． 向量的有关概念
（1）既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或 )．
（2） 的向量叫做零向量，其方向是 的，零向量记作 .
（3）单位向量：长度等于 个单位的向量．
（4）平行向量：方向相同或 的 向量，平行向量又叫 向量． 规定： 与任一向量 ．
（5）相等向量：长度 且方向 的向量．
（6）相反向量：长度 且方向 的向量.
2.向量的线性运算
（1）求两个向量和的运算 法则
法则
运算律：①交换律：a ＋b ＝ .
②结合律：(a ＋b )＋c ＝ .
（2）减法 法则 （3）数乘
①|λa |＝ ；
②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；
当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；
当λ＝0时，λa ＝ .
运算律 ：λ(μa )＝ ；
(λ＋μ)a ＝ ；
λ(a ＋b )＝ .
3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 .
4．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝x i ＋y j ，记作a ＝ ，
5.平面向量坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
则a ＋b ＝ ，
a －
b ＝ ，
λa ＝ ．
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ＝ ，| |＝
6.平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.
若a ∥b ⇔
7、平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

a •
b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

AB AB
8.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=； ②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，2
2,a a a a =•=； 当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、
不同向，0a b ⋅>是θ 为锐角的必要非充分条件；
当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、
不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b
a b θ•=
四、典例分析：
例1． (1).设，，若∥，则的取值是（ ）
（A ）0 （B ）3 （C ）15 （D ）18
例2.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b .求||b a -的最大值，最小值分别是多少？
例3.）
，2（），2，1（已知x b a -== 的值，求45的夹角是、、若)1(x b a
的取值范围的夹角是锐角，求、、若)2(x b a
五、对接学考，真题演练
例：.求(sin ,cos ),(cos ,cos ),,a x x b x x x R ==∈
（1）若,a b ⊥求tan x 的值
（2）若函数,a b ⊥求函数()f x 的最值和最小正周期
变式：(sin cos ,1),(cos ,1),,a x x b x x R =+=-∈
（1）若,a b ⊥求2的值
（2）(),f x a b =⋅求函数()f x 的最值和最小正周期
六、归纳小结
1、向量的计算，要分清坐标运算与几何运算的区别，对不同的题目选用适宜的运算方式尤为关键
2、向量在学考题目中考点以公式为主，也经常会与三角函数结合在一起考。

熟记向量与三角函数的公式可以事半功倍
七、巩固练习：
1．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则3
1AB =_________
2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅=，则向量b =____。

3．若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。

4．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。

5．已知向量a =(2,3), b =(-5,4),用坐标表示下列向量
（1）2a b + （2）1
532
a b + 6．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2)(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。