最新版精选2019年高中数学单元测试试题-平面几何的证明专题考核题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 平面几何的证明专题
（含答案）
学校：__________
考号：__________
一、填空题
1．如图,圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E .若
3AB AD =,则CE
EO
的值为___________.（2013年高考湖北卷（理））
2．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC ，点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．
3．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC. (1)求证：∠P=∠EDF ； (2)求证：CE ·EB=EF ·EP ；
(3)若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.
O
D E B
A
第15题图
C
·
P
E
O D C
B
A
F
（第1题）
4．如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．
5．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B ,C 两点． 求证:MCP MPB ∠=∠．
1．（几何证明选讲选做题） 证明：∵PA 与圆相切于A ，
∴2MA MB MC =⋅， ………………2分 ∵M 为PA 中点，
∴PM MA =， ………………3分 ∴2PM MB MC =⋅， ∴
PM MB
MC PM
=
． ………………5分 ∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分
6．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=27， AB=BC=3．求BD 以及AC 的长．
第21－A题
A 7．如图，PA、PB切O于A、B两点，PO交劣弧AB于点C，求证：点C是△PAB的内心. 8．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若
AC=
1
2
AB，求证：BN=2AM．
9．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，CGE
CFD
ADE,
,都是⊙O的割线，已知AB
AC=．
(1）证明：2
AC
AE
AD=
⋅；
(2）证明：AC
FG//．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90° BE平分∠ABC交AC于点E，点
D在AB上，DE⊥EB．
(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(2)若AD =3
2 A E=6，求EC的长．
A
11．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

（方法一）证明：连结OD ，则：OD ⊥DC ， 又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC 。

（方法二）证明：连结OD 、BD 。

因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB 。

因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900。

又因为DA=DC ，所以∠DAC=∠DCA ， 于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO 。

即2OB=OB+BC ，得OB=BC 。

故AB=2BC 。

12．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，D 为PA 的中点， 过点D 引割线交⊙O 于B ，C 两点， 求证: DPB DCP ∠=∠．
13．如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >， 圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），
P
第21－A 题
求证：:AB AC 为定值。

证明：由弦切角定理可得11
212,O B r AB AO C AO B AC O C r
∴
== 14．如图，ABC 是
O 的内接三角形，若AD 是ABC 的高，AE 是O 的直径，F 是
BC 的中点
求证：（1）AB AC AE AD ⋅=⋅ (2)FAE FAD ∠=∠
15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线 相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证： DEA
DFA ??.
【证明】连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以∠ADB =90°， 又EF ⊥AB ，∠EFA =90°，所以A 、D 、E 、F 四点共圆.
所以∠DEA =∠DFA . …………………………
16．如图,四边形ABCD 内接于O ,BC 是圆的直径,两条对角线AC BD 与交于点P ,P 是AC 的中点,2BP PD =,直线MN 切O 于A ,若30,8MAB BC ︒∠==,求(1)ADC ∠的大小;(2)对角线BD 的长．
17．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ， 求证：AB ·CD = BC ·DE ．
O
P
C
B
D
N
M
A
E
O
D
C
B
A
18．如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，圆O 交于直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD ，若1
tan ,2
CED O ∠=的半径为3，求OA 的长.
19．如图，AT 为单位圆O 的切线，过切点T 引OA 的垂线TH ，H 为垂足． 求证：AO OH ⋅为定值．
20．如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．
21．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边
AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点
共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．
22．如图，已知CB 是⊙O 的一条弦，A 是⊙O
上任意一点，过点A 作⊙O
的切线交直线CB 于点P ，D 为⊙O 上一点，且ABD
ABP ∠=∠．
求证：2
AB BP BD =⋅．
23．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //
G
F
E
D
C
B
A （第21—A （第
21-A
· O
A B
P
D C
第21—A 题图
24．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．
证明：∵AE =AC ，∠CDE ＝∠AOC ，………………………3分 又∠CDE ＝∠P +∠PDF ，∠AOC ＝∠P +∠OCP ， 从而∠PDF ＝∠OCP ．………………………………8分 在△PDF 与△POC 中， ∠P ＝∠P ，∠PDF ＝∠OCP ，
故△PDF ∽△POC ．…………………………………10分
25．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，线段OP 交⊙O 于点C ．若PA ＝12，PC ＝6，求AB 的长．
26．如图,.AB O CD O E AD CD D 为
直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于
CD 于C EF ，,垂直于F ,连接,AE BE .证明:
(I);FEB CEB ∠=∠ (II)2
.EF AD BC = （2013年高考辽宁卷（文））选修4-1:几何证明选讲
27．如图,直线AB 为圆的切线,切点为B,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E,DB 垂直BE 交圆于D. (Ⅰ)证明:DB=DC;
（第
21-A
A
B P
F
O E
D
C ·
A
B
P
O
C
（第21题
(Ⅱ)设圆的半径为1,BC= ,延长CE 交AB 于点F,求△BCF 外接圆的半径. （2013年高
考新课标1（理））选修4—1:几何证明选讲
28．如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点
E ,DB 垂直BE 交圆于点D .
(Ⅰ)证明:DB DC =; (Ⅱ)设圆的半径为1
,BC =
,延长CE 交AB 于点F ,求BCF ∆外接圆的半径. （2013
年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—1:几何证明选讲
29．选修4—1：几何证明选讲
如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．
求证：∠DAE =∠BAC .
30．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相
交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于 点F ．求证：△PDF ∽△POC ．
（第21-A 题）
（第
21-A A B P
F
O E
D
C ·。