一元二次不等式的解法

如： y ⑴ ax2+bx+c=0 (a>0)有两个不等实根x1>x2 x 2 0 则 ax +bx+c>0的解为x> x1或x< x2 ax2+bx+c <0的解为x2<x< x1 y ⑵ ax2+bx+c=0(a>0)若无实根即△<0 则 ax2+bx+c>0的解为R 0 ax2+bx+c<0的解为φ ⑶ ax2+bx+c=0(a＞0) 若有两相等实根x1 = x y2 则 ax2+bx+c>0的且解为x≠x1且X∈R x ax2+bx+c<0的解为φ 0 a<0 同理可得以上规律
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
解法3：(换元法）设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为t2 －2t－15≥0 由例1 可知解为t≥5或t≤－3 ∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 } ∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。 二.应用 1集合问题 例2（1）已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集 为{x │－ 2 ＜x＜3},求a－b的值 解：一元二次不等式是通过一次方程的根来确定 则可以理解为方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3 又∵解在两根之间 ∴a＜0 6 ∴ a ＝－6∴a＝－1 －b a ＝－2＋3＝1∴b＝1 则a－b＝－2
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
（2）已知集合A={x│ x2 －ax ≤x－a} B={x│1≤x≤3}， 若A∩B=A求实数a取值范围 B 解：A∩B=A，则A 则1≤x≤a 1≤a≤3 若a＜1 则 a≤x≤1 那么A ∴a取值范围是1≤a≤3
B
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
∩
2.定义域问题 例3求函数f(x)= x2－6x＋8 的定义域。 解： ∴ x2－6x＋8≥0的解为x≥4或x≤2 ∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2 }
例3（变）函数f(x)= kx2 －6kx+（k+8）的定义域为R （K＞0） 求K的取值范围 解：∵函数f(x)= kx2 －6kx+（k+8）的定义域为R且K＞0 ∴只要△≤0 即(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ≤0 y ∴ 0≤k≤1 又K＞0 ∴ 0<k≤1
一元二次不等式的解法 （复习课）
主讲：天柱二中
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
杨思钦
复习：
二次函数、一元二次方程、一元二 次不等式是一个有机的整体。 通过函数把方程与不等式联系起来， 我们可以通过对方程的研究利用函数 来解一元二次不等式。
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
例1（变）求不等式x2－2│x│－15≥0(x∈R)的解集。 解法1：（对x讨论） y 当x＞0时，原不等式可化为x2 －2x－15≥0 由例1 可知解为x≥5或 x≤－3 0 X ∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 } 当x ≤0时，原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤－5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。 解法2：（利用函数奇偶性） 当x＞0时，原不等式可化为x2 －2x－15≥0 又 x2 －2x－15≥0的解为x≥5或x ≤－3∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 } ∵函数f(x)= x2 －2│x│－15为偶函数∴原不等式的解为{x│x≥5 或x≤－5 }。
例4（2变）求函数y=ax 2 －2x＋1（a＞0） x∈［ － 1，1］的最值 -1 0 解:∵a＞0 ∴函数y=ax 2 －2x＋1的对称轴为x＝－ －2 1 ＞0 ＝ 1 且 a 2a 1 a ∴ a ≥1时即0≤a≤1 ymin =f(1)=a－1 ymax＝f(－1) =a+3 1 )= ∴ 1 ＜ 1 时 即 a ＞ 1 y =f( － 1)=a+3 y ＝ f( max min a a 4a－4 a － 1 = a 4a 2 －2x＋1 x∈［ － 1，1］的最 思考：求函数y=a x 需要更完整的资源请到 新世纪教育网 值
X
0
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
3最值问题 y 例4 求函数y= x2－2x＋1的最小值 -1 1 4 解：∵y＝ 4 － ＝ 0 ∴ y ＝ 0 x min 0 4 例4（1变）求函数y= x2－2x＋1 x∈［ － 1，1］ 上的最值 解:∵函数y=x 2－2x＋1的对称轴为x＝1 又x∈［ － 1， 1］ y ∴ ymax ＝f(－1)=1+2+1=4 ∴ ymin=f(1)=0
1 a
x1
1
a
1
二小结：⒈函数与方程贯串始终 ⒉ 熟练解一元二次不等式 ⒊ 一元二次不等式解决集合、定义 域、函数的最值等问题。
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
三作业： 1若A=｛x│－1≤x≤1｝ B=｛x│x2+(a+1)x+a≤0｝ 若A∩B=B求a的取值范围 2函数的f(x)= x2+2ax+3定义域为R求a的取什范围 3求函数y=x2+ax－3 ， x∈［0,2］的最值
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
谢 谢 配合
需要更完整的资源请到 新世纪教育网
2
1
x1
x
x
x
注:解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解 , 需要更完整的资源请到 新世纪教育网 通过式子＞(≥)0还是＜(≤)0来确定解的范围 !
例1.求不等式x2－2x－15≥0(x∈R)的解集。
解：∵ 方程x2－2x－15＝0的两根为x＝－3， x＝5 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5或x ≤－3 }。