八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试提优卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试提优卷
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上，连接AE 、EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=︒；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，则1CF =；③若90AEF ∠=︒，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )
A ．3
B ．32
C ．2或3
D ．3或32
3．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连结BF ，交AC 于点M ，连结DE ，BO ．若60BOC ∠=︒，FO FC =，则下列结论：①AE CF =；②BF 垂直平分线段OC ；③EOB CMB ∆∆≌；④四边形是BFDE 菱形．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图，四边形ABCD 中，,,,AC a BD b AC BD ==⊥顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D ...如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 则下列结论正确的个数有（ ） ①四边形1111D C B A 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长为
4a b +； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12
n ab +．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B CE AB =∠=︒⊥，，于E F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )
A ．54︒
B ．60︒
C ．66︒
D ．72︒
6．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）
A ．233-
B ．322-
C ．22
D ．23
7．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．24
B ．36
C ．72
D ．144
8．如图，四边形ABCD 是正方形，直线L 1、L 2、L 3，若L 1与L 2的距离为5，L 2与L 3的距离7，则正方形ABCD 的面积等于（ ）
A ．70
B ．74
C ．144
D ．148
9．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：
①DN BM =；②//EM FN ；
③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．
12．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
13．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则
2020C =______．
14．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③
ABCD 19
CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．
16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝
AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．
17．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
18．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
19．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒
1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．
三、解答题
21．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？
（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
23．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
24．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．
①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．
25．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形； 结论2：'B D AC .
试证明以上结论.
（应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
26．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2．
（1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．
①连结BH ，BG ，求BH BG
的值；
②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
27．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．
28．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
29．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t 秒，问：
（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？
30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若E 为BC 中点，1CF =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=︒．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，用勾股定理列方程可求得CF ，
③若90AEF ∠=︒，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ，
【详解】
解：①若E 为BC 中点，1CF =，
∵AB=4，
∴BE=CE=2，DF=3，
∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴90AEF ∠=︒；
故①正确，
②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，
设CF x =；则DF=4-x.
∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2，
∵90AEF ∠=︒∴
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2
解得x=1；即CF=1.
③若90AEF ∠=︒，1CF =，则DF=3,设BE=x ，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32
解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.
故①②③正确，答案选D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC ，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x ，则EB′=x ，
CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=22
43
=5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得x=3
2
，
∴BE=3
2
；
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE 的长为
32
或3． 故选D ．
【点睛】 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
3．C
解析：C
【分析】
通过证△AEO ≌CFO 可判断①；利用矩形的性质证△OCB 是正三角形，可得②；因OB≠MB ，得到③错误；通过证△EOB ≌△FCB 得到EB=FB ，从而证④．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO ≌CFO(AAS)
∴AE=FC ，①正确
∵四边形ABCD 是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB 是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB 是线段OC 的垂直平分线，②正确
∵BM ⊥OC ，∴△OMB 是直角三角形，∴OB ＞BM
∴EOB CMB ∆∆≌是错误的，即③错误
∵四边形ABCD 是矩形
∴EB ∥DF ，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD 是平行四边形
∵△AEO ≌△CFO ，OF=FC ，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC 是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO ，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB ≌△FCB(SAS)
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD 是菱形，④正确
故选：C
【点睛】
本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明△AOE ≌△COF 和证明△BOC 是正三角形．
4．A
解析：A
【分析】
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5的周长；
④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】
解：如下图，连接连接A 1C 1，B 1D 1，
∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；
∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，
∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形，
∵AC 丄BD ，
∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，故①正确；
∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；
∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），
∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；
依次类推，可知当n 为奇数时四边形A n B n C n D n 是矩形，当n 为偶数时四边形A n B n C n D n 是菱形，故②正确； 根据中位线的性质可知，
553311553311111111,248248
A B A B A B AC B C B C B C BD ======， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是1
2()84a b a b +⨯+=
， 故③正确；
∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，
∴S 四边形ABCD =ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A n B n C n D n 的面积是1
2n ab ， 故④正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查中点四边形，中位线定理，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定．理解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 5．A
解析：A
【分析】
过F 作AB 的平行线FG ，由于F 是AD 的中点，那么G 是BC 的中点，即Rt △BCE 斜边上的中点，由此可得BC ＝2EG ＝2FG ，即△GEF 、△BEG 都是等腰三角形，因此求∠B 的度数，只需求得∠BEG 的度数即可；易知四边形ABGF 是平行四边形，得∠EFG ＝∠AEF ，由此可求得∠FEG 的度数，即可得到∠AEG 的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG 的度数，由此得解．
【详解】
解：过F 作FG ∥AB 交BC 于G ，连接EG ，
∵在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴FG ∥AB ∥CD ，
∵FG ∥AB ，AD ∥BC ，
∴四边形ABGF 是平行四边形，
∴AF ＝BG ，
又∵F 为AD 中点
∴G 是BC 的中点；
∵BC ＝2AB ，F 为AD 的中点，
∴BG ＝AB ＝FG ＝AF ，
∵在Rt △BEC 中，EG 是斜边上的中线，
∴BG ＝GE ＝FG ＝12
BC ； ∴∠BEG ＝∠B ＝72°，
∴∠AEG ＝∠AEF ＋∠FEG ＝180°﹣∠BEG ＝108°，
∵AE ∥FG ，
∴∠EFG ＝∠AEF ，
∵GE ＝FG ，
∴∠EFG ＝∠FEG ，
∴∠AEF ＝∠FEG ＝
12
∠AEG ＝54°， 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．
【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，
∴FB=AB=2，BM=
12
BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，
FM ==
∴2FN MN FM =-=-
设AE=FE=x ，则EN=1x -，
∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，
∴()(22212x x -+=，
解得：4x =-
∴EN=13x -=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，AO ＝OC ，EO ＝OF ，再求出BO ＝OD ，证明四边形ABCD 是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE ，根据菱形的对角线互相平分求出OE ，然后利用勾股定理列式求出AO ，再求出AC ，最后根据四边形的面积等于对角线
乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝1
2
EF＝
1
2
×8＝4，
由勾股定理得，AO22
AE OE
-22
54
-3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝1
2
BD•AC＝
1
2
×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先作出1l与2l，2l与的3l距离AE、CF，证明△ABE≌△BCF，得到BF=AE，再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】
过点A作AE⊥2l,过点C作CF⊥2l,
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE 和△BCF 中，
BAE CBF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABE ≌△BCF ，
∴BF=AE=5，
在Rt △BCF 中，CF=7，BF=5，
∴222225774BC BF CF =+=+=,
∴正方形ABCD 的面积=274BC =,
故选：B.
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.
9．C
解析：C
【分析】
①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；
④过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确．
【详解】
解：
①∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
22
42
+=5
+22
MF ME
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
10．D
解析：D
【分析】
通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出
△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．
【详解】
∵BF⊥AC
∴∠BMC=90°
DE BF
又∵//
∴∠EDO=∠MBO ，DE ⊥AC
∴∠DNA=∠BMC=90°
∵四边形ABCD 为矩形
∴AD=BC ，AD ∥BC ，DC ∥AB
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO 即∠AND=∠CBM
在△AND 与△CMB
∵90DNA BMC AND CBM AD BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AND ≌△CMB(AAS)
∴AN=CM ，DN=BM ，故①正确．
∵AB ∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE 与△CMF 中
∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ANE ≌△CMF （ASA ）
∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．
在△NFM 与△MEN 中
∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△NFM ≌△MEN （SAS ）
∴∠FNM=∠EMN
∴NF ∥EM ，故②正确．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF ∥EB
∴四边形DEBF 为平行四边
根据矩形性质可知OD=AO ，
当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN ⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．
故①②③④正确
故选D ．
【点睛】
本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．
二、填空题
11．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的
14
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝
1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18
cm 2， ∴阴影部分的面积为
18cm 2． 故答案为：
18
cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形
的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．
12．102-
【分析】
连结AC ，取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，则MB ，MG 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC ，交EF 于O ，
∵AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，
∵AE ＝CF ， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），
∴OA ＝OC ，
∴O 是正方形的中心，
∵AB ＝BC ＝4，
∴AC ＝2OC ＝2，
取OC 中点M ，连结 MB ，MG ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，
∵MC ＝12
OC 2， ∴MH ＝CH ＝1，
∴BH ＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB 2231+10
在Rt △GOC 中，M 是OC 的中点，则MG ＝
12OC 2 ∵BG≥BM−MG 102，
当B ，M ，G 三点共线时，BG 102，
102．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E ，F 运动到AD ，BC 的中点时，MG 最小是解决本题的关键．
13．20181
2
【分析】
根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．
【详解】
∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC
∴DE 、EF 是△ABC 的中位线
∵等边△ABC 的边长为1
∴AD=DE=EF=AF =
12 则1C =1422
⨯= 同理可求得：2C =1，3C =
12 发现规律：规律为依次缩小为原来的
12 ∴2020C =20181
2 故答案为：
201812．
【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．
14．8个
【分析】
作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，
∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，
∵点M 与点F 关于BC 对称，
∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，
∴∠ACM ＝90°，
∴EM
则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，
在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，
∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，
在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，
∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，
∴FN ∥AB ，
∴△CFN∽△CAB，
∴FN CN CF1
===
AB CB CA3
，
∵AB＝BC＝2
AC＝32，
∴FN＝1
3
AB＝2，
CN＝1
3
BC＝2，
∴BN＝BC－CN＝22，
BF＝22
FN+BN=2+8=10，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝10，
∴PE＋PF＝210，
∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
15．①②④
【分析】
①根据折叠得△ABE≌△AFE，证明△EFC是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF，根据
∠BEF=∠EFC+∠FEC，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF，即可证明AE∥FC，故①正确；②根据四边形ABCD是正方形，且△ABE≌△AFE，证明Rt△AFG≌Rt△ADG，得出
∠FAG=∠GAD，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE，DG=FG，即可得BE+DG=EF+GF=EG，故②正确；③先求出S△ECG，根据EF：
FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110
a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =
2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理
得，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．
【详解】
解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，
∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，
∵E 是BC 中点，
∴BE=CE=EF ，
∴△EFC 是等腰三角形，
∴∠EFC=∠ECF ，
∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，
∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，
∴AE ∥FC ，故①正确；
②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，
∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，
∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，
∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩
， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），
∴∠FAG=∠GAD ，
又∵∠BAF+∠FAD=90°，
∴2∠EAF+2∠FAG=90°，
即∠EAF+∠FAG=45°，
∴∠EAG=45°，
由全等得：BE=FE ，DG=FG ，
∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；
③对于Rt △ECG ，
S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216
a ， ∵EF ：FG=2a ：3
a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =
2110a ， 又∵S ABCD =a 2，
则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ， ∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2
a =EC ， 由勾股定理得AE=22AB BE =
52a ， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，
EG=2
a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（
2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23
a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．
【点睛】
本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
16．3﹣
322
【分析】 作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE 的长，根据勾股定理可得BE 的长，设AE ＝x ，证明△ABE ≌△EQF （AAS ），得FQ ＝BE ＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过D 作DH ⊥AE 于H ，过E 作EM ⊥AD 于M ，连接DE ，
∵EF ⊥AE ，DF ⊥EF ，
∴∠DHE ＝∠HEF ＝∠DFE ＝90°，
∴四边形DHEF 是矩形，
∴DH ＝EF ＝AE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B ＝∠BAD ＝90°，
∵∠AME ＝90°，
∴四边形ABEM 是矩形，
∴EM ＝AB ＝2，
设AE ＝x ，
则S △ADE ＝
11AD EM AE DH 22
⋅=⋅， ∴3×2＝x 2，
∴x ，
∵x ＞0，
∴x ，
即AE ，
由勾股定理得：BE ，
过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，
∴∠Q ＝∠ECD ＝∠B ＝90°，∠P ＝∠ADC ＝90°，
∵∠BAE ＋∠AEB ＝∠AEF ＝∠AEB ＋∠FEQ ＝90°，
∴∠FEQ ＝∠BAE ，
∵AE ＝EF ，∠B ＝∠Q ＝90°，
∴△ABE ≌△EQF （AAS ），
∴FQ ＝BE ，
∴PF ＝2，
∴S △ADF ＝
1AD PF 2⋅＝13(22⨯⨯＝3﹣2
． 【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．
17．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=
12
EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD=AB ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=
12∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=1
2
∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
18．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG ⊥CE ，故②正确；
过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，
∵AH ⊥BC ，
∴∠ABH +∠BAH ＝90°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠EAP +∠BAH ＝90°，
∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；
∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，
∴△ABH ≌△EAP （AAS ），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
19．
83或4433 【分析】 连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求3AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【详解】
如图，连接AC 交BD 于O ，
∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ， ∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，
∴四边形BEGF 是平行四边形，
又∵BE=BF ，
∴四边形BEGF 是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B ，点G ，点D 三点共线，
∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，
∴AO=12
AB=2，22224223AB AO --= ∴BD=3AC=4，
同理可求3BE ，即3， 若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=434，
∴BE'4343433
==-； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ， ∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''23=，DG''=2HG''43= ∴BG''=BD-DG''=438343-
= ∴BE''=83
， 综上所述：BE 为83或434-
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20．2或3.5
【分析】
分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．
【详解】
如图，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE= 1
2
BC=9，
①当Q运动到E和B之间，则得：
3t﹣9=5﹣t，
解得：t=3.5；
②当Q运动到E和C之间，则得：
9﹣3t=5﹣t，
解得：t=2，
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】
“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
三、解答题
21．（1）11
2
；（2）
11
2
或4；（3）四边形PBQD不能成为菱形
【分析】
（1）由∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形；（2）由（1）可求得点P、Q与点A、B为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ是平行四边形，求得t的值；
（3）由PD∥BQ，当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD=BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD=BQ=BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度．。