解答运筹学整数规划作业

0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 X * 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
4.6 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五 项任务，每个人完成各项任务的时间如表4.9所示、由于 任务数多于人数，故考虑：
a) 任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成
b) 其中有一人完成两项，其他每人完成一项
试分别确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少
a) 任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成
由于任务数多于人数，所以需要有一名假想的人，设为戌。 因为工作E必须完成，故设戌完成E的时间为M，其余的假 想时间为0，建立的效率矩阵如下所示：
25 29 31 42 37 25
39 38 26 20 33 20
4.8 0 5.9 4.1 2.5
10.3 0 9.1
1.6
8.7
4.8 0 10.4 1.9 5.1
2.8 0 3.2 2.1 4.7
0 0 0 0 0
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，不变
第三步：用最少的直线覆盖所有“0”，得
4.8 0 5.9 4.1 2.5 -1.6
10.3 0 9.1
3 8 2 10 3
8 7
29
7
6 4 2 7 5
8 4
23
5
9 10 6 9 10
第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中
减去最小元素，有
3 8
8 7
6 4 8 4
2 10 3 2
29
7
2
2 7 5 2
23
5
2
1 6 0 8 1
6 5 0 7 5
4 2 0 5 3 6 2 0 1 3
0 0 2 18 3
18 13 1 0
3
11 0 1 18 0
0
14 8 0
12
4 0 0 5 M
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 X * 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
b) 其中有一人完成两项，其他每人完成一项
由于所有任务都必须由甲、乙、丙、丁完成，所以假想的 人的效率应该对每项工作而言，都是完成它的最好的人， 而不能假设为0值。所以构造的效率矩阵为：
9 10 6 9 10 6
3 4 0 3 4
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有
1 6 0 8 1 6 5 0 7 5 4 2 0 5 3 6 2 0 1 3 3 4 0 3 4
1 2 0 1 1
0 4 0 7 0
5 3 0 6 4
3 0 0 4 2 5 0 0 0 2
2 2 0 2 3
1.6
8.7
-1.6
4.8 0 10.4 1.9 5.1 -1.6
2.8 0 3.2 2.1 4.7 -1.6
0 0 0 0 0
+1.6
3.2 0 4.3 2.5 0.9 8.7 0 7.5 0 7.1 3.2 0 8.8 0.3 3.5 1.2 0 1.6 0.5 3.1 0 1.6 0 0 0
2 2 0 2 3
－2
＋2
0 4 2 7 0 3 1 0 4 2 3 0 2 4 2 5 0 2 0 2 0 0 0 0 1
第五步：用最少直线覆盖
0 4 2 7 0 3 1 0 4 2 3 0 2 4 2 5 0 2 0 2 0 0 0 0 1
即存在5个不同行不同列的独立零元素。圈0
0 4 2 7 0 3 1 0 4 2 3 0 2 4 2 5 0 2 0 2 0 0 0 0 1
第三步：用最少的直线覆盖所有“0”，得
0 4 0 7 0 5 3 0 6 4 3 0 0 4 2 5 0 0 0 2 2 2 0 2 3
覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中最多存在4个不同 行不同列的零元素．需要作变换
0 4 0 7 0
5 3 0 6 4
－2
3 0 0 4 2
5 0 0 0 2
y2 y3 0或1
y4
2
4.2 某厂经常往外发送零部件。工厂根据长期发货情况决定
专门生产一批为A1,A2,…A6的6种不同规格的包装箱，其中A1 最小，A2次之，…A6最大。已知上述6种规格包装箱的需求 量分别为Q1，Q2，…，Q6，生产每个箱的可变费用分别为 c1,c2,…c6 (c1<c2<…<c6)，生产不同规格包装箱的固定费用 分别为k1,k2,…k6，并且有
6
min Z yi (ki ci xi ) i 1
xi Myi for i 1, 2...6
6
6
i 1
xi
Qj
j 1
5 i 1
xi
5
Qj
j 1
st.
4 i 1
xi
பைடு நூலகம்
4
Qj
j 1
3
3
i 1
xi
Qj
j 1
2
2
i 1
xi
Qj
j 1
x1 Q1
y1~6取0或1；x1~6 0且为整数
19 18 5
0
8
7 0 0 13 0
＋4
1 19 12 0 17
4 7 5 0 7
-4 -4
-4
0 0 1 17 3
19 14 1 0
4
-1
11 0 0 17 0
1 15 8 0 13
-1
4 3 1 0 3
-1
+1
0 0 1 18 3
18 13 0 0
3
11 0 0 18 0
a) x1 + x2≤2 或 2x1 + 3x2≥5
x1 x2 2 y1M
2y1x1y32 x2
1
5
y2M
y1, y2 0或1
b) 变量 x 只能取值0、3、5或7中的一个
x 3y1 y1 y2
5 y2 y3
1
7
y3
y1, y2 , y3 0或1
c) 若 x1≤2，则x2≥1，否则x2≤4
3.2 0 4.3 2.5 0.9
8.7 0 7.5 0 7.1
3.2 0 8.8 0.3 3.5
1.2 0 1.6 0.5 3.1
0 1.6 0 0 0
+0.9
-0.9 -0.9
-0.9
2.3 0 3.4 2.5 0
7.8 0 6.6 0 6.2
2.3 0 7.9 0.3 2.6 0.3 0 0.7 0.5 2.2
x1 2 yM
x2 x1
1 2
yM (1
y)M
x2
4
(1
y)M
y 0或1
d) 以下四个约束条件中至少满足两个： x1 + x2≤5，x1≤2，x3≥2，x3+x4≥6
x1 x2 5 y1M
x1
2
y2 M
x3 x3
2 y3M x4 6
y4 M
y1
y1~4
0
0
0.4
0.2
1.9
0 2.8 0 0.9 0
覆盖所有零最少需要5条直线，表明矩阵中存在5个不同行不 同列的零元素．容易看出这5个“0”的位置
第四步：圈“0”
2.3 0.3 3.4 2.5 0
7.8 0.3 6.6 0 6.2
2 0 7.6 0 2.3
0
0
0.4
0.2
1.9
0 2.8 0 0.9 0
标准形式，使用匈牙利法解之：
第一步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中
减去最小元素，有
37.7 32.9 38.8 37.0 35.4 32.9 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 33.1 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 28.5 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 26.4 0 0 0 0 0 0
0 2.5 0 0.9 0
2.3 0 3.4 2.5 0
7.8 0 6.6 0 6.2 2.3 0 7.9 0.3 2.6 -0.3 0.3 0 0.7 0.5 2.2 -0.3
0 2.5 0 0.9 0
+0.3
2.3 0.3 3.4 2.5 0
7.8 0.3 6.6 0 6.2
2 0 7.6 0 2.3
x1≥4
x2≤1
LP3 x1=4.17, x2=1
Z(3) ＝5.17
LP2 x1=4, x2=1.2
Z(2) ＝5.2
x1≥5
LP5 x1=4, x2=1
Z(5) ＝5
LP5 x1=5, x2=0
Z(5) ＝5
x2≥2 LP4
× 无可行解
0 14 7 0 12
3 2 0 0 2
覆盖所有零最少需要5条直线，表明矩阵中存在5个不同行不 同列的零元素．容易看出这5个“0”的位置
0 0 1 18 3
18 13 0 0
3
11 0 0 18 0
0 14 7 0 12
3 2 0 0 2
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 X * 0 0 0 0 1
4.3 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井 探油，目的使总的钻探费用最小。若10个井位代号为 S1,S2，…S10，相应的钻探费用为c1,c2,…,c10，并且 井位的选择上要满足下列条件：
① 或选择S1和S7，或选择钻探S8
② 选择了S3或S4就不能选S5，或反过来也一样
③ 在S2、S6、S9、S10中最多只能选两个
25 29 31 42 37 25
39
38
26
20
33
20
34 27 28 40 32 27
24 42 36 23 45 23
24 27 26 20 32 20
0 4 6 17 12
19 18 6
0
13
7 0 1 13 5
1 19 13 0 22
4 7 6 0 12
1
5
0 4 5 17 7
4.1 试利用0-1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件 a) x1 + x2≤2 或 2x1 + 3x2≥5 b) 变量 x 只能取值0、3、5或7中的一个 c) 若 x1≤2，则x2≥1，否则x2 ≤4 d) 以下四个约束条件中至少满足两个：
x1 + x2≤5，x1≤2，x3≥2，x3+x4≥6
0 0 0 0 M
+4
-4 -4
-4
0 0 2 17 3
19 14 2 0
4
-1
11 0 1 17 0
1
15 9 0
13
-1
4 0 0 4 M
+1
0 0 2 18 3
18 13 1 0
3
11 0 1 18 0
0
14 8 0
12
4 0 0 5 M
覆盖所有零最少需要5条直线，表明矩阵中存在5个不同行不 同列的零元素．容易看出这5个“0”的位置
0 C(xi ) ki ci xi
for xi 0 for xi 1
式中xi为生产第i种规格包装箱的数量。若某种规格较小的包 装箱不生产或生产数量不够时，可用比其大的任一规格的包
装箱代替。
试为该厂建立一个生产上述6种规格包装箱各多少个的决策的数 学模型，即满足该厂对6种规格包装箱的需求，又使总的费用为 最小
4.5 已知下列五名运动员各种姿势的游泳（各为50m）如表 4.8所示。试问如何从中选拔一个4×50m混合泳的接力队， 使预期的比赛成绩为最好
人多事少，添加虚拟的的“事”，对应系数矩阵为：
37.7 32.9 38.8 37 35.4 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 0 0 0 0 0
34 27 28 40 32 27 24 42 36 23 45 23
0 0 0 0 M 0
0 4 6 17 12
19 18 6
0
13
7 0 1 13 5
1 19 13 0 22
0 0 0 0 M
5
0 4 6 17 7
19 18 6
0
8
7 0 1 13 0
+4
1
19 13 0
17
设
xj
0 1
选择第 sj 个井位 不选择第 sj 个井位
① 或选择S1和S7，或选择钻探S8
x1 x7
x8 x8
1 1
② 选择了S3或S4就不能选S5，或反过来也一样
x3 x4
x5 x5
1 1
③ 在S2、S6、S9、S10中最多只能选两个
x2 x6 x9 x10 2
4.4 已知分配问题的效率矩阵如下，试用匈牙利法分别求出 最优解
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
4.8 用分枝定界法求解下列整数规划问题
max Z x1 x2
st.
2 6
x1 x1
5x2 5x2
16 30
x1, x2 0,且为整数
x1≤3 LP1 x1=3, x2=2 Z(1) ＝5
x1≤4
LP x1=3.5 , x2=1.8
Z(0) ＝5.30