内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题

甘二中2017-2018学年度下学期期末考试
高二数学试题（文科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意：1．答卷前，将姓名、考号填在答题卡的密封线内。

2．答案必须写在答题卡上，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
1. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()
A. {1}
B. {4}
C. {1,3}
D. {1,4}
【答案】D
【解析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
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2. (1)“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的( )
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：求出函数只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可.
详解：若函数只有一个零点，
若时，，只有一个零点，符合题意；
若时，则，解得，
综上所述：，
故“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件.
故选：B.
点睛：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或
不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
3. 设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为( )
A. ∃x0∈R,+1>0
B. ∃x0∈R,+1≤0
C. ∃x0∈R,+1<0
D. ∀x∈R,x2+1≤0
【答案】B
【解析】分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可.
详解：，
则，
故选：B.
点睛：对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．
②对原命题的结论进行否定．
4. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
详解：函数，
，解得.
函数的定义域是.
故选：B.
点睛：本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目.
5. 设f(x)=则f(f(2))的值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】分析：考查对分段函数的理解程度，先求出，再求.
详解：，
.
故选：C.
点睛：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解.
6. 已知a=212,b=,，则a,b,c的大小关系为( )
A. c<b<a
B. c<a< b
C. b<a<c
D. b<c<a
【答案】A
【解析】分析：利用指数函数、对数函数的性质求解.
详解：，
，
，
.
故选：A.
点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．
7. 函数y=log2|x|的大致图象是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先化为分段函数，在根据函数的单调性即可判断.
详解：，
当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数.
故选：D.
点睛：辨识函数图象的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；
(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复；
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．
8. 函数的零点所在的大致区间是( )
A. (3,4)
B. (2,e)
C. (1,2)
D. (0,1)
【答案】C
【解析】试题分析：判定端点值是否异号，，，
，
，都是同号，所以不选，，，所以零点必在区间内．考点：函数的零点
9. 函数y=2x3-2x2在[-1,2]上的最大值为( )
A. -5
B. 0
C. -1
D. 8
【答案】D
【解析】y′＝6x2－4x＝2x(3x－2)，
列表：
－单调递
增0
单调递减单调递增
∴y max＝8.选D
10. 已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，故在上为减函数排除，当时，故
在上为增函数，因此排除，故选C.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性以及排除法的应用，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
11. 已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为( )
A. 1
B. ±1
C. -1
D. -2
【答案】A
【解析】分析：设切点为，由于，利用导数的几何意义可得，又由于点在曲线与直线上，建立方程关系，即可解出.
详解：设切点为，
的导数，
则，，
则对应的切线方程为，即，
，
，解得.
故选：A.
点睛：本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的几何意义、切线的方程等.
12. 若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先求导函数，函数在区间上是减函数转化成在区间上恒成立，参变分离，从而求出所求.
详解：，
函数在区间上是减函数，
在区间上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递减，
，
故.
故选：D.
点睛：可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上≥0(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围.
第Ⅱ卷（填空题共20分）
13. 函数y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
【答案】(-2,0)
【解析】分析：利用即可得出.
详解：令，则函数，
函数的图象必过定点.
故答案为：.
点睛：本题考查了指数函数的性质和，属于基础题.
【答案】-2
【解析】分析：利用函数的周期性。

奇偶性求解.
详解：在上是奇函数，且满足，
当时，，
.
故答案为：.
点睛：函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
15. 函数y=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则a=________.
【答案】4
【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，
∴或
当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝4
16. 若曲线y=上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是_____.
【答案】(-ln2,2)
【解析】分析：先设，对函数求导，由在点P处的切线与直线平行，求出，最后求出.
详解：设，则，
，在点P处的切线与直线平行，
令，解得.
.
则.
故答案为：.
点睛：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点处的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用.
第Ⅲ卷（解答题共70分）
17. 已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q:∀x∈R,x2+mx+1≥0.
(1)写出命题q的否定“q”.
(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.
【答案】(1)q:∃x 0∈R,+mx0+1<0.(2)-2≤m≤0或1≤m≤2.
【解析】分析：（1）根据命题否定的定义进行求解即可；
（2）根据复合命题真假关系进行判断即可.
详解：(1)q:∃x 0∈R，+mx0+1<0.
(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则Δ=4m2-4m<0,解得0<m<1,即p:0<m<1.
若∀x∈R,x2+mx+1≥0,则m2-4≤0,解得-2≤m≤2,即q:-2≤m≤2.
因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q两命题应一真一假,即p真q假或p假q真.
则或
解得-2≤m≤0或1≤m≤2.
点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．
18. 已知f(x)=log a x(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),
(1)求a的值.
(2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定义域.
(3)在(2)的条件下,求g(x)的单调减区间.
【答案】(1)a=2;(2)见解析;(3)[0,1).
【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入到，即可求得的值；（2）利用的解析式得出的解析式，即可确定函数的定义域；（3）确定内函数的单调减区间，即可得到结论.
试题解析：(1)由已知(且)的图象过点(4,2),则
∴
∵且
∴.
(2)
由得
∴的定义域为
(3) ()
令，则其单调减区间为，为单调增函数
∴的单调区间为.
点睛：本题主要考查对数函数及复合函数的单调性有关方面的知识，对于对数函数的单调性取决于底数的范围，二
次函数的单调性尤其开口方向与对称轴来判断，那么对于复合函数的单调性，一般有“同增异减”之说法，即若复合函数的两个函数的单调性相同，则为增函数，若两个函数的单调性不同，则为减函数.
19. 已知函数f(x)=x2+xlnx.
(1)求f′(x).
(2)求函数f(x)图象上的点P(1,1)处的切线方程.
【答案】(1)2x+lnx+1.(2)3x-y-2=0.
【解析】分析：（1）根据导数公式可得f′（x）=2x+lnx+1；
（2）由导函数的几何意义可知切线斜率k=3，由点斜式方程可得切线方程为y=3x﹣2.
详解：（1）根据导数公式可得f′（x）=2x+lnx+1.
（2）当x=1时，f'（1）=2+1=3，所以切线斜率k=3，
所以函数f（x）图像上的点P（1，1）处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），
即y=3x﹣2.
点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
20. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值.
【答案】(1)f(x)=x3+3x2-1.(2)最大值为19,最小值为-1.
【解析】分析：（1）根据函数在处有极值，且在处切线的斜率为，列出方程组；
（2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值.
详解：(1)f′(x)=3x2+2bx+c,
所以解得
所以函数解析式为:f(x)=x3+3x2-1.
(2)由(1)知f′(x)=3x2+6x,令f′(x)=0,
解得x1=-2,x2=0,
列表如下:
从上表可知,最大值为19,最小值为-1.
点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使
的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，
B两点，求线段AB的长．
【答案】.
【解析】分析：直接把直线的参数方程代入曲线方程，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.
详解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长
度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3,)，求|PA|＋|PB|.
【答案】(1)x2＋(y－)2＝5;(2).
【解析】分析：（1）由圆C的方程：，得，进而可化为普通方程；
（2）方法一：利用参数方程的几何意义得出答案；
方法二：将直线l的参数方程化为普通方程，再与圆C的方程联立，即可求得点A、B的坐标，使用两点间的距离公式即可得出答案.
详解：方法一：(1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，
即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，
故可设t1、t2是上述方程的两实根，于是有
又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义，得
|P A|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
方法二：(1)同方法一．
(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0，
解得或
不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)，
故|P A|＋|PB|＝＋＝3.
点睛：本题考查了极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，然后解决直线与相交问题，转化为一元二次方程的根的问题即较强的计算能力是解决问题的关键.。