2017届高三数学理二轮复习第一部分检测 基础送分题题

题型专题(四) 不等式
(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
[题组练透]
1．(2016·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12
(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |2x －3x <0，
则阴影部分表示的集合是( )
A ．[0，1]
B ．[0，1)
C ．(0，1)
D ．(0，1]
解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )
＝{x |0<x ≤1}，故选D.
2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )
A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞
B.⎝⎛⎭⎫－32，12
C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞
D.⎝⎛⎭
⎫－12，32
解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－ab
a ＝2，－b
a ＝－3，解得a ＝－1或1
3(舍去)，
∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，
由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－3
2
，故选A.
3．(2016·泉州质检)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，
－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围
是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩
⎪⎨⎪⎧x <0，
－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，
9]．
答案：[－1，9] [技法融会]
1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.
基本不等式：a ＋b
2
≥ab
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
[题组练透]
1．已知关于x 的不等式2x ＋2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52
解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2
x －a
＋2a ≥2
2（x －a ）·2
x －a
＋2a ＝4＋2a ，由题意
可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为3
2
，故选B.
2．(2016·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )
A ．9 B.92 C ．4 D.5
2
解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤9
2
，当且仅当a ＝2b
＝3时等号成立，即ab 的最大值是9
2
，故选B.
3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4
x
m ，
依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫
2x ＋2×4x
＝80＋20⎝⎛⎭
⎫x ＋4
x ≥80＋20×2 x ·4
x
＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4
x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．
4．(2016·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋
，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )
A ．3 B.72 C ．4 D.9
2
解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1
y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫
x ＋y 22＝
x ＋y ＋
4
x ＋y
，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4. [技法融会]
1．利用不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．
2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.
解决线性规划问题的一般步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .
(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可
行域边界的斜率的大小进行比较．
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]
1．(2016·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值
为－1，则实数m ＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移
l 可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝3，即A (2，3)，
又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.
2．(2016·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为
( )
A ．1 B.9
2
C ．5
D ．9
解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2
的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，
故选B.
3．(2016·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．
解析：不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0
表示的可行域如图中阴影部分所示．
由z ＝x －2y 得y ＝12x －1
2
z .
平移直线y ＝1
2x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.
答案：－5
4．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1
x －1
的最小值是________．
解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而
y －1
x －1
表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1
有最小值为－1
2.
答案：－1
2
5．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，
即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，
10x ＋3y ≤900，
5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N .
目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．
作直线 2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立
⎩
⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，
5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]
1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法
线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知z
b 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情
况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．
1．不等式的可乘性
(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .
2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．
[题组练透]
1．(2016·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab <b 2
C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.
2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >b
c
，则a >b
C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1
b
D ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1
b
解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3
且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1
b
成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．
[技法融会]
1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．
2．利用不等式性质解决问题的注意事项
(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；
(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
一、选择题
1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.1
2
解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－1
2是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1
＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1
a
，所以a ＝－2，故选B. 2．(2016·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )
A ．－1
B ．3
C ．7
D ．8
解析：选C 作出线段AB ，如图所示．
作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a
x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a
的值是( )
A.12
B.3
2
C ．1
D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a
x ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时
取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a
x
＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以
⎩
⎨
⎧2－2a ＝0，
2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )
A ．{ x | x >2或x <－2}
B ．{ x |－2< x <2}
C ．{ x | x <0或x >4}
D ．{ x |0< x <4}
解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．
又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .
其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但
1－1<1
－2
.故选B.
6．(2016·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，
y ≥12x 2
，
则z ＝y －x 的取值范围
为( )
A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－1
2，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦
⎤－1
2，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝1
2x 2相切时，z 取得最小
值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－1
2
≤z ≤2，故选
B.
7．(2016·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤a x 恒成立，则实数a 的最小值为
( )
A ．1 B. 2 C.12 D.2
2
解析：选C 因为
1x 2
＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1
＝1x ＋1x
≤1
2(当且仅当x ＝1时取等号)，
所以a ≥1
2
.故选C.
8．(2016·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最
小值为1，则a ＝( )
A.14
B.12
C.3
4
D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，
把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z
2
，随z 变化的一族
平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z
2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，
代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝1
2
，故选B.
9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 B ．
C ．17万元
D ．18万元
解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，
由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，
x ≥0，y ≥0，
作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.
10．(2016·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，
y ，都有θ∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．(－1，0)∪(0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(－1，0)∪(1，＋∞)
解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，
令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相
同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·
k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，
则k ＝y x
∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4
<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－1，4)
B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C ．(－4，1)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy
，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2
a 2＋2c 2
的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2
C ．22＋2
D ．22－2
解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c
－b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭
⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1
，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t
＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.
二、填空题
13．(2016·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．
解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.
答案：2
14．(2016·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，
且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．
解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z
取最小值12，即11＋a ＝12
，所以a ＝1.
答案：1
15．(2016·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，
则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．
解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1
，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．
答案：[3，11]
16．(2016·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：
解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．
参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c
<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1
<0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1x c ＋1x
<0，故得－1<1x <－13或12<1x <1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1
<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)． 答案：(－3，－1)∪(1，2)。