2020版新学优数学同步人教A必修三课件：3.3.2 均匀随机数的产生

(2)固定指针转动转盘或固定转盘转动指针,记下指针在[6,9]内的次数m
及试验总次数n;

(3)则所求概率的近似值为 .
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反思感悟用模拟试验求概率近似值的步骤如下:第一步确定求均匀随
机数的实数区间[a,b];第二步用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数;第
部分)的面积.
分析画出正方形→随机模拟→算出面积比→求得面积近似值
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解:步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机
数,a1=RAND,b1=RAND;
(2)进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=2b1,得到一组[-1,1]内的均匀随
个0~1之间的均匀随机数,相当于做了100次随机试验.
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2.计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数,若试验的结果是区间[a,b]上
等可能出现的任何一个值,则需要产生[a,b]上的均匀随机数,对此,你用什
么办法解决?
提示首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X=RAND,然
A.y=3x-1
答案:D
B.y=3x+1 C.y=4x+1
)
D.y=4x-1
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用随机模拟法估算几何概型问题的概率
例1 在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,
用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率.
≈

.
4
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反思感悟利用随机模拟法估计图形面积的步骤
(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形(长方形或
圆等)内的一部分,并用阴影表示.
(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落在阴影部分
的概率
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变式训练3甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到
者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.
解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能
够会面的充要条件为|x-y|≤15,
在如图所示的平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的
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变式训练将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2,2]内的均匀随机
数x,需要实施的变换为(
)
A.x=2x1
B.x=4x1
C.x=2x1+2
D.x=4x1-2
解析:因为x1∈[0,1],所以0≤4x1≤4,-2≤4x1-2≤2.所以x=4x1-2满足题
例如做 1 000 次试验,即 N=1 000,模拟得到 N1=395,所以所求概率
395
≈0.4.
1 000
P=
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用随机模拟法近似计算不规则图形的面积
例2 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y=2x与x轴,x=±1围成的
后利用伸缩和平移变换:Y=(b-a)X+a计算Y的值,则Y为[a,b]上的均匀随机
数.
3.利用计算机产生100个[2,6]上的均匀随机数,具体如何操作?
提示(1)在A1~A100产生100个0~1之间的均匀随机数;(2)选定B1格,
键入“=A1 4+2”按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[2,6]上的均匀
分析正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12 cm长的线
段上取一点M,求使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概率.
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解法一(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND;
(2)经过伸缩变换a=12a1,得到[0,12]内的均匀随机数;
正方形,而事件A“两人能会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.
uA=2×

1
×
2
1
2
602 - × 452 =1 575,uΩ=602=3 600,
1 575
7
P(A)= = 3 600 = 16.

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搞不清由[0,1]变换到[a,b]的实质而致误
用计算机的方法如下:用Excel演示.(1)选定A1格,键入“=rand( )”,按
Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]上的均匀随机数;(2)选定
A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2~A100,点击粘贴,则
在A2~A100的数都是[0,1]上的均匀随机数.这样我们很快就得到了100
三步用平移和伸缩变换转化到[a,b]内的随机数;第四步确定试验次数N和
事件A发生次数N1,求得频率,即得出概率的近似值.也可用转盘模型,进
行模拟试验,求得概率的近似值.
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变式训练1利用随机模拟的方法求解下面事件的概率:在区间[0,10]内
(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数的个数N1;
1
(4)计算频率 ,记事件
A={面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间}={边

长介于 6 cm 与 9 cm 之间},则 P(A)的近似值为 1 .
解法二(1)做一个带有指针的转盘,把圆周12等分,标上刻度0~12(0与
12重合);
在古典概型中我们可以用计算器或计算机产生整数值随机数来模拟古典
概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过产生随机数来模拟试验呢?如
果能,我们又如何产生随机数呢?
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1.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数,如何利用计算器产生0~1之间的
均匀随机数?
提示用计算器产生0~1之间的均匀随机数的方法如下:
任何一条船不需要等待码头空出的概率.
分析设甲、乙两船到达时间分别为x,y.根据条件列出不等式(组),并
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的区域,利用区域的面积求解.
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解:(1)设甲船和乙船到达时间分别为 x,y,

(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率,还能估计
图形的面积. (
)
(3)用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率. (
)
答案:(1)× (2)√ (3)√
5.做一做2:用计算器或计算机产生20个0~1之间的随机数x,但是基本事
件都在区间[-1,3]上,则需要经过的变换是(
3.3.2 均匀随机数的产生
-1-
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课 标 阐 释
思 维 脉 络
1.了解均匀随机数的产生方法与意义.
2.会用模拟试验求几何概型的概率,培养
数学建模的核心素养.
3.能利用模拟试验估计不规则图形的面
积.
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均匀随机数的产生
数乘以b-a,得到[0,b-a]内的数,再把所得数(b-a)x加上a(x∈[0,1])就得
[a,b]内的数.不理解公式(b-a)x+a的实质,也就无法实施变换.
正解C
防范措施解答此类问题时,牢记由区间[0,1]内的均匀随机数转化为[a,b]
内的均匀随机数的公式.
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221
.
288
①
②
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反思感悟一般地,若一个随机事件需要用两个连续变量来描述,则可以
用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,利用坐标平面能顺利地
建立与面积有关的几何概型.
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意.
答案:D
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1.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决(
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)
A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题
B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积
C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积
D.最适合估计古典概型的概率
机数和一组[0,2]内的均匀随机数;
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a的点(a,b)的
个数];

(4)计算频率 1 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值;
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为
故
41
41
S≈ ,即阴影部分面积的近似值为 .



1
P=4,则
则 P(A)=
24×24
25
= 36.
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(2)设“两船不需要等待码头空出”为事件 B,则区域
0 ≤ < 24,

阴影
D3: 0 ≤ < 24,
为如图②所示的阴影部分,则 P(B)=
=

正方形
- > 4 或- > 2
1
P(A)= .


(3)设阴影部分的面积是 S,规则图形的面积是 S',则有' ≈ 1 ,解得


S≈ 1 S',则阴影部分面积的近似值为 1 S'.
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变式训练2利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆
的面积,如图,并估计圆周率π的近似值.
解(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.
(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,
b=(b1-0.5)*2,得到两组[-1,1]上的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1[满足a2+b2≤1的点(a,b)
数].
1
(4)计算频率 ,即为点落在圆内的概率.

4
(5)设圆的面积为 S,由几何概率公式,得 P= .


4
∴4 ≈ 1 ,即 S≈ 1 即为圆面积的近似值.
∵S 圆=πr2=π,
41
∴π=S≈ ,即为圆周率 π 的近似值.
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利用坐标平面求与面积有关的几何概型的概率
例3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼
夜内任何时刻到达是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中任何一条船不需要等
待码头空出的概率;
(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中
任取一个数,求这个实数不大于4的概率.
解:第一步,利用计算器的RAND( )函数产生N个[0,1]内的均匀随机数
x.
第二步,利用变换x'=10*x,将[0,1]内的随机数转换为[0,10]内的随机数
10x.
第三步,统计出区间[0,4]内的随机数的个数N1.
1
第四步,计算频率 ,得到概率的近似值.
则 0≤x<24,0≤y<24,|y-x|>4,分别作出区域 D1,D2,其中
0 ≤ < 24,
0 ≤ < 24,
D1:
D2: 0 ≤ < 24,D1 为正方形区域,D2 为图①中的阴
0 ≤ < 24,
|-| > 4,
影部分,
设“两船不需要等待码头空出”为事件 A,
1
2× 2×20×20
解析:很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概
率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数
进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.
答案:C
典例 将区间[0,1]内的均匀随机数a1转化为[-2,6]内的均匀随机数a,需
实施的变换为(
A.a=8a1
)
B.a=8a1+2 C.a=8a1-2 D.a=6a1
错解选A或B或D
以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?
错因分析区间[0,1]长度为1,区间[a,b]的长度为b-a,所以先把[0,1]内的
随机数;(3)选定B1格,拖动至B100,则在B1~B100的数都是[2,6]上的均匀随
机数.
第五页，编辑于星期日：一点 二十七分。
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4.做一做1:判断题
(1)根据几何概型试验,用计算机或计算器产生均匀随机数统计试
1
验次数N和事件A发生的次数N1,得到的值 是P
(A)的精确值. ( )