高中数学第一章计数原理1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质练习含解析新人教A版选修2

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、选择题
1．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( )
A ．第4项
B ．第4、5两项
C ．第5项
D ．第3、4两项 【答案】 B
【解析】 (x －y )n
的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项． 2．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A ．210
B ．120
C ．461
D ．416 【答案】 A
【解析】 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.
T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210.
3．设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】 A
【解析】 ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.
4．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2
n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k ＋…＋(－1)n C n n ＝( ) A ．2n
B ．0
C ．－1
D ．1
【答案】 D
【解析】 原式＝(2－1)n ＝1，故选D. 5.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4项的系数是( ) A ．16
B ．70
C ．560
D ．1120 【答案】 D
【解析】 考查二项式定理的展开式．
]设第r ＋1项含有x 4，则T r ＋1＝C r 8(x 2)
8－r (2x －1)r ＝C r 8·2r ·x 16－3r ， ∴16－3r ＝4，即r ＝4，所以x 4项的系数为C 4824＝1120.
6．(2－x )8展开式中不含．．x 4
项的系数的和为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】 B
【解析】 (2－x )8的通项式为T r ＋1＝C r 82
8－r (－x )r ＝(－1)r ·28－r C r 8x r 2，则x 4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x 4项的系数之和为0，故选B.
二、填空题
7．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)． 【答案】 5 10
【解析】 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)
5－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.
8．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
【答案】 2n －1 32
【解析】 用不完全归纳法，猜想得出．
三、解答题
9．设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )．
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值．
(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值．
(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值．
【解析】 (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)
2010＝1① (2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010②
与①式联立，①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－320102
. (3)∵T r ＋1＝C r 2010·1
2010－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2010·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)．
∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，
所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝3
2010.
10．求(1＋x －2x 2)5展开式中含x 4的项．
【解析】 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，
则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x
r －k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k . 令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .
∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝3k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4k ＝0. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5
＝(1－x )5·(1＋2x )5
， 则展开式中含x 4的项为 C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－
x )4·C 0
5·(2x )0＝－15x 4. 精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。