2011年北大自主招生联考数学试题及解答
2011年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学和理科数学整编卷详细解析(精品回顾)
绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞） （2）复数212i i-=+（A ）i（B ）-i（C ）（D ）4355i--4355i -+（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A)(B) (C) (1,0)(1,)2π(1,2π-(D)(1，)π（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA ；○1回归往日精品，再现今日辉煌AF·AG=AD·AE○2③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③（6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是（A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 (7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) (C)10 (D) （8）设,，,.记为平行四边形()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为()N t（A ） （B ） {}9,10,11{}9,10,12（C ） （D ） {}9,11,12{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
４ｓｉｎ２Ｃｃｏｓ２Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｃ≤ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ＝
的方程．
｛ｙ＝２ｘ２ －２ｘ－１，
解法 ２ 联 立 方 程 组
消去 ｙ＝－５ｘ２ ＋２ｘ＋３．
２ ０１１×｜ｘ－２ ０１１１｜＝｜ｘ－１｜＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２１｜）＋
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜）＋ … ＋
（｜ｘ－２ ０１１１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜＋ … ＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＝
（｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２０１ １１｜）＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
其２ 个交点为Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ）、Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）．代入点 Ａ 的坐
标
得
烄ｙ１ 烅 烆ｙ１
＝２ｘ１２ －２ｘ１ －１， ＝－５ｘ２１ ＋２ｘ１ ＋３．
① ②
①×５＋②×２ 得 ７ｙ１ ＝－６ｘ１ ＋１，即 ６ｘ１ ＋７ｙ１ －１
＝０．同理得 ６ｘ２ ＋７ｙ２ －１＝０．
所以，两交点 Ａ、Ｂ 都在直线６ｘ＋７ｙ－１＝０ 上，
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋ …
（※）
其中共有（１＋２＋３＋ … ＋２ ０１１）÷２＝５０３×２ ０１１
解法２ 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则３＝ａ７ ＝ ａ３ ＋４ｄ＝－１３＋４ｄ，解得ｄ＝４＞０，则通项
ａｎ＝ａ３ ＋（ｎ－３）ｄ＝４ｎ－２５． 令 ａｎ ＝４ｎ－２５＜０，得 正 整 数 ｎ≤６，则
ａ１ ＜ａ２ ＜…＜ａ５ ＜ａ６ ＜０＜ａ７ ＜…， Ｓ１ ＞Ｓ２ ＞…＞Ｓ５ ＞Ｓ６ ＜Ｓ７ ＜Ｓ８ ＜…． 所以，数列Ｓ１ ，Ｓ２ ，…中的第 ６ 项最小，最小值为
2011北约自主招生文科数学试题
2011北约自主招生文科数学试题1、（三函\解几）已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
2、（解几\方程）求过抛物线Y=2X^2-2X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。
3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。
问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。
4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。
5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。
2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。
当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。
3、常规题。
先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。
4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。
5、尚未解出。
数论问题对高中文科生来说还是难了一点……面试题1、最刁钻的问题：火车开车前为什么会先退一步然后再前进？在采访了物理老师之后，得出的结论是：通常情况下,火车各节车厢之间的挂钩拉得很紧,牵引力必须克服整列火车与铁轨的最大静摩擦力才能启动。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷) 文 (精校版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
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第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
2011年北京大学保送生考试数学试题赏析
Ｇ（
ｘ １ ＋ｘ ２ ＋ｘ ３ ， ３
ｙ １ ＋ｙ ２ ＋ｙ ３ ）＝ Ｇ（ ） ， 而 ０， ０ ３ ） ， 故 Ｂ Ｃ 的外心 为 Ｏ（ ０， ０ △Ａ ， 为正三角形 Ａ Ｂ Ｃ △
０．
２ ２ 从而 ４ ｘ ４ ｘ ｐ －４ ｑ）＜ ０， ｐ － １ ＝－ （ ２ ≤－ （ ， 故ｘ ４ ｘ ． ｑ）＜ ０， １ ＜０ ２ ＜０ 因此 ， ｘ ｘ ． ｐ ＝－ （ ｑ ＝ｘ １ ＋ｘ ２） １ ２ ＞０ ＞ ０， ， ， 综合以上情况可得 ： 问题得证 ． ｐ ≥ ０ｑ ≥ ０ 点评 此题研究的其实是复合方程问题 ， 一 般解决的方法 是 代 数 法 ， 此法对恒等变形的要求 还有数 形 结 合 的 思 想 方 法 也 是 解 决 这 类 题 较高 ， 目的很好工具 ， 有时更显 得 形 象 直 观 ． 在历年的名 这种 题 型 出 现 比 较 多 ， 以下两 校自主招生试题中 ， 例供同学们参考 ： （ 已知 １． ２ ０ ０ ８年上海交通大学自主招生试题 ） （ ） ， 函数 ｆ（ 且ｆ（ ｘ） ｘ２ ＋ ｂ ｘ＋ ｃ ａ ≠０ ｘ） ＝ａ ＝ｘ 无 ］＝ ｘ 是否有实数根 ？ 实根 ， 试判断 ｆ［ 证明你 ｘ） ｆ（
２ ａ ， ） ， 设切线与 ｘ 轴的交点为 Ｑ ， 则得 Ｑ（ ０ ｘ ０ ２ ａ ｃ＋ ２ Ｆ１Ｑ ｘ ｃ ｘ０ ＋ａ ｅ ｘ０ ＋ａ ０ ∴ ＝ ２ ＝ ２ ＝ Ｆ２Ｑ ｅ ｘ０ －ａ ａ ｃ ｘ０ －ａ ｃ－ ｘ ０ Ｐ Ｆ１ ， ＝ Ｐ Ｆ２ 又由三角形内角平分线定理逆定理知 ， Ｐ Ｑ平
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(解析版)
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
55
(D) 4 3 i 55
【解析】： i 2 1 2i
(i 2)(1 2i) (1 2i)(1 2i)
i 2i2 2 4i 1 4i2
i 2(1) 2 1 4(1)
4i
i
，选
A。
（3）如果 log 1 x log 1 y 0 ，那么 (
2
2
（A） y x 1 (B) x y 1
（6）执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 P 值为( )
(A)2
(B)3 (C)4 (D)5
【答案】C
第 1页 （共 7页）
【解析】执行三次循环，S 1 A 2 成立， p 11 2 ，S 1 1 1 1 3 ，S 3 A 2
P 22
2
成立， p 2 1 3 ， S 3 1 3 1 11 ， S 11 A 2 成立， p 3 1 4
y
2x ，则 b
.
【答案】2
第 2页 （共 7页）
【解析】：由
x2
y2 b2
1得渐近线的方程为 x2
y2 b2
0y
bx
即
y
bx ，由一条渐近线的方程
为 y 2x 得b 2
（11）已知向量 a ( 3,1),b (0 1), c (k, 3) 。若 a 2b 与 c ，共线，则 k =
2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
5
答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
2011年北京大学数学分析试题解答
2011年北京大学研究生入学考试数学分析试题解答SCIbird说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。
因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。
其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。
试题后的评注是个人对试题的看法。
1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。
证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。
不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。
任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。
记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。
由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。
由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=：采用反证法。
假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=−+⊂，使得在U 上满足()f x c <，特别地12()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=.评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。
印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。
实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。
特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。
北大自主招生试题及答案
北大自主招生试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是北京大学的校训？A. 厚德载物，自强不息B. 博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之C. 学高为师，身正为范D. 求实创新，厚德博学答案：A2. 北大自主招生主要考查学生的哪些方面？A. 学术成绩B. 创新能力C. 综合素质D. 以上都是答案：D3. 北大自主招生的面试环节通常包括哪些内容？A. 个人陈述B. 专业问题讨论C. 团队合作能力测试D. 以上都是答案：D4. 以下哪个不是北大自主招生的选拔标准？A. 学术潜力B. 社会活动经历C. 家庭背景D. 领导力答案：C5. 北大自主招生的笔试部分主要包括哪些科目？A. 语文、数学、英语B. 物理、化学、生物C. 政治、历史、地理D. 以上都不是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）6. 请简述北大自主招生的选拔流程。
答案：北大自主招生的选拔流程通常包括网上报名、材料审核、笔试、面试等环节。
首先，学生需要在规定的时间内完成网上报名，并提交相关材料。
然后，学校会对提交的材料进行审核，筛选出符合条件的考生。
接下来，通过材料审核的考生需要参加笔试，笔试成绩达到一定标准的考生才有资格进入面试环节。
最后，学校根据考生的笔试和面试表现，综合评定，选拔出优秀的学生。
7. 请列举北京大学的三个主要特色。
答案：北京大学的三个主要特色包括：（1）深厚的历史文化底蕴，作为中国最早的国立大学，北大有着百年的历史，培养了众多杰出人才；（2）强大的学术研究能力，北大在多个学科领域具有国际领先的研究水平；（3）开放包容的校园文化，北大鼓励学生自由探索，尊重多元文化，培养学生的国际视野。
8. 请简述参加北大自主招生的优势。
答案：参加北大自主招生的优势主要包括：（1）有机会获得降分录取的机会，对于有特长或特殊才能的学生来说，自主招生是一条进入北大的捷径；（2）可以展示自己的综合素质和特长，自主招生不仅考查学生的学术成绩，更注重学生的创新能力、领导力等综合素质；（3）提前接触北大的学术氛围和校园文化，通过自主招生的选拔过程，学生可以更深入地了解北大，为自己的未来规划提供参考。
2011年高考北京市数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 （A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]PM P a =⇒∈-，选C 。
（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π-(C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。
2011年高考北京卷理科数学解析版
2011年高考(北京卷)理科数学解析版第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若P M P = ，则a 的取值范围是 A. (,1]-∞- B. [1,)+∞ C. [1,1]- D. (,1]-∞- [1,)+∞ 【命题意图】本题考查一元二次不等式解法、集合运算，是简单题.【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]P M P a =⇒∈- ，选C 。
2.复数i 212i-=+ A. iB. i -C. 43i 55-- D. 43i 55-+ 【命题意图】本题考查复数的运算,是简单题.【解析】：i 212ii -=+，选A 。
3.在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是A. (1,)2πB. (1,)2π-C. (1,0)D. (1,)π【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化，是简单题.【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。
4.执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为 A. 3- B. 12-C. 13D. 2【命题意图】本题考查程序框图，是简单题.【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
5.如图，AD 、AE 、BC 分别与圆O 切于点D 、E 、F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论： ①CA BC AB AE AD ++=+； ②AE AD AG AF ⋅=⋅； ③ADG AFB ∽△△.其中正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【命题意图】本题考查集合选讲的相关知识，是容易题.【解析】：①正确。
由条件可知，BD=BF ，CF=CE ，可得CA BC AB AE AD ++=+。
2011年北约数学试题
2011年北约自主招生数学试题1、已知平行四边形两边长分别是3和5，一条对角线是6．求另一条对角线的长度．2、求过抛物线22221,523y x x y x x =--=-++两交点的直线方程．3、等差数列1237,,13, 3..n a a a a n S ⋅⋅⋅=-=满足这个数列的前项和为数列12,⋅⋅⋅S S 中哪一项最小？并求出这个最小值．4、在2,60.ABC a b c C ∆+≥∠≤中，如果证明5、是否存在四个正实数，它们两两乘积分别是2，3，5，6，10，16．6、设12C C 和是平面上两个不重合的固定圆周．设C 是该平面上的一个动圆，它与12C C 和均相 切．问：C 的圆心轨迹是何种曲线？证明你的结论．7、求12120111.x x x -+-+⋅⋅⋅+-的最小值2【参考答案】1、解答：设平行四边形为ABCD ，且6,3,5===AC BC AB ，易得：51cos -=∠ABC ，所以151cos =∠BAC ，24,321515322592==⨯⨯⨯-+=BD BD ． 2、解答：设两条抛物线额交点为),(),,(2211y x B y x A ，联立两条抛物线的方程⎩⎨⎧++-=--=32512222x x y x x y ，消去2x 得：167+-=x y ，B A ,两点的坐标均满足这个方程，所以直线AB 的方程为0176=-+y x ．3、解答：方法一：因为公差4437=-=a a d ，所以03,01,21761>=<-=-=a a a ，所以6S 最小，最小值666-=S ； 方法二：8234232322222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n n n S n ，当6=n 时，n S 的最小值为666-=S ． 4、解答：方法一、在ABC ∆中，由余弦定理得： 21848233222cos 22222222=≥-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+=ab ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，因为函数x y cos =在),0(π上单调递减，所以3π≤C ． 方法二、依题意得：2cos 2sin 42cos 2sin 2sin 2sin sin B A B A B A B A C B A ++≥-+⇔≥+， 212cos ≤+B A ，因为函数x y cos =在),0(π上单调递减，所以33232πππ≤⇒≥+⇒≥+C B A B A ． 5、解答：假设存在满足题意的四个正实数d c b a ,,,，且假定d c b a <<<<0，依题意得：16,10,3,2====cd bd ac ab ，由前两个式子得32=c b ，由后两个式子得85=c b ，矛盾，所以不存在满足题意的四个数．6、解答：设⊙1C 的半径为1r ，⊙2C 的半径为2r ，⊙C 的半径为r ，且假定21r r ≥．（1）当21r r =时，①若⊙1C 与⊙2C 外离，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是21C C 的中垂线；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r +的双曲线； ②若⊙1C 与⊙2C 外切，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是21C C 的中垂线（除去21C C 的中点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是直线21C C （除去21C C 的中点）； ③若⊙1C 与⊙2C 相交，此时⊙C 必与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切，点C 的轨迹是两圆公共弦在圆外部分的两条射线．（2）当21r r >时，①若⊙1C 与⊙2C 外离，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r -的双曲线；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r +的双曲线；②若⊙1C 与⊙2C 外切，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r -的双曲线（除去⊙1C 与⊙2C 的切点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是直线21C C （除去点21,C C 及⊙1C 与⊙2C 的切点这三个点）；③若⊙1C 与⊙2C 相交，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，实轴长为21r r -的双曲线（除去⊙1C 与⊙2C 的两个交点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r +的椭圆（除去⊙1C 与⊙2C 的两个交点）；④若⊙1C 与⊙2C 内切，当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均外切或均内切时，点C 的轨迹是直线21C C （除去⊙1C 与⊙2C 的切点）；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 一个外切一个内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r +的椭圆（除去⊙1C 与⊙2C 的两个切点）；⑤若⊙1C 内含⊙2C ，且不同心，当⊙C 与⊙1C 内切、与⊙2C 外切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r +的椭圆；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均内切时，点C 的轨迹是以21,C C 为焦点，长轴长为21r r -的椭圆；⑥若⊙1C 内含⊙2C ，且同心，当⊙C 与⊙1C 内切、与⊙2C 外切时，点C 的轨迹是以1C 为圆心，半径为221r r +的圆；当⊙C 与⊙1C 、⊙2C 均内切时，点C 的轨迹是以1C 为圆心，半径为221r r -的圆． 7、解答：首先设12n a a a ≤≤≤，12()||||||n f x x a x a x a =-+-++-．由绝对值的最高理论知， n 为奇数时，当12n x a +=时，()f x 有最小值；n 为偶数时，当122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦任何值时，()f x 有最小值． 于是分解之，20111111111()|1|||||||||||||||2233320112011f x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-++-++-个， 共有： 201220111+2+2011==20230662⨯个断点（包括多重）． 设123456111,,,23a a a a a a ======202306612011a =． 因为202306610115332=． 现在求1011533a 和1011534a 的值．设10115331a t =，则121011533t +++≥， 1211011533t +++-<．可得1422t =．且1011533101153411422a a ==，故11422x =时，()f x 的值最小．111111491()112114221423120111832.142214221422142214231422711f =-+-⨯++-⨯+⨯-++⨯-=。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
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即证｛一（口Ｉ＋口２＋ｂＩ＋６２）一（口ｌ＋ｄ２＋口，＋
ａ 口ｌ ａ 口２
２丁＋口，
２丁一口＇
【百１８９】＋１＝１３分，而北方最高分的最大值为６＋ｎ
万方数据
１４
中’？善ｉ：．７（２００ｓ年第２期・高中版）
南方球队内部比赛总得分ＣⅢ２
，１２
・解题研究・
＝１３６，
一ｌ＝１１分＜１３分，
．・．
冠军在南方队
北方球队内部比赛总得分ｃ２＝２８，
北方胜南方得分＝３０—２８＝２， 北方球队最高得分＝７＋２＝９， 因为９×１７＝１５３＜２７０， 所以南方球队中至少有一支得分超过９分． 冠军在南方球队中．综上所述，冠军是一支南方 球队． 点评这道试题要注意突破口的选择，也需要 耐心和比较强的推理、分析能力． ５．（理科）０一ｘｙｚ坐标系内ｘｏｙ平面系内０≤，，≤ ２一石２绕），轴旋转一周构成一个不透光立体在点 （１，０，１）设置一光源，在ｘｏｙ平面内有一以原点为圆 心的圆ｃ被光照到的长度为２霄，求曲线Ｃ上未被照 到的长度．
ｃ：＋。＋ｎ（肛＋９）≥召，ｃ：≤Ａ，
即３ｎ２—２２ｎ一３６。＜０．
‘．・
’Ｂ＝９Ａ，
．・．ｃ：＋９＋ｎ（，ｌ＋９）≥Ｂ＝９Ａ１＞９ｃ：，
（１）
，’２
又总分为乞Ⅲ有１０Ｉ乞小钴厶（１）得厅＝６或８．
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞ （2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+162(C)48(D)16322+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a =. （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =. （11）已知向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。
2011北约自主招生数学题及解答
2011北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。
∎2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。
解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，∴6x+7y-1=0为所求。
∎3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为Sn，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
解：d=a7-a37-3=164=4，∴a1=-21，Sn=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。
∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。
解：ab≤(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=1 2，所以C≤60°。
∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存在四个正实数分别为a<b<c<d，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a2bc=6，∴a=1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存在。
或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存在。
∎6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
解：设两定圆⊙C1，⊙C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。
⑴当r1=r2①⊙C1与⊙C2相交时a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦；b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1-R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。
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()()
1132，(123x +的交点的直线方程()()1132得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩252x x -++
解析：因为222cos 2a b c C ab +-=222
22a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()22314
22a b ab ab +-= 3124
22ab ab ab
⋅-≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线；
所以211212CC CC r r C C -=+<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的双曲线；
21121212点、实轴长为12r r -的双曲线；
所以211212CC CC r r C C -=+=或211212CC CC r r C C +=+=，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；
所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线（圆1C 、2C 的交点除外）；
21121212实轴长为12r r +的椭圆（圆1C 、2C 的交点除外）；
所以211212CC CC r r C C -=-=或2112CC CC r r +=-，
所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；
（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆（两圆1C 、2C 的交点除外）；
（ⅰ）若C 与1C ，2C 都内切，则11CC r r =-，22CC r r =-，所以211212CC CC r r C C +=->，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的椭圆；
（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆。
7.求()121 (20111)
=-+-++-的最小值。
f x x x x。