密云区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

优选高中模拟试卷
密云区三中 2018-2019 学年上学期高二数学12 月月考试题含分析
班级 __________姓名__________分数__________
一、选择题
1．在ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是，，，BH 为 AC 边上的高，BH 5 ，若
20aBC 15bCA 12cAB 0 ，则H到AB边的距离为（）
A ．2B．3 C.1D．4 2．以下图象中，不可以作为函数y=f （x）的图象的是（）
A．B．C．
D．
3．已知
2x
( x
，则方程
f [ f ( x)] 2
的根的个数是（）
f ( x)0)
| log 2 x | ( x0)
A．3个B．4 个C．5 个D．6 个
4．已知双曲线﹣=1（ a＞ 0，b＞ 0）的渐近线与圆（ x﹣ 2）2+y 2=1 相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
5．设定义域为（ 0， +∞）的单一函数f（ x），对随意的x∈（ 0， +∞），都有 f[f （ x）﹣ lnx]=e+1 ，若 x0是方程 f （ x）﹣ f ′（ x）=e 的一个解，则 x0可能存在的区间是（）
﹣1﹣1
D．（1， e）
A ．（ 0， 1）
B ．（ e， 1）C．（ 0，e）
6．已知直线x﹣ y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y 2+2x﹣ 4y+7=0 订交于 A ，B 两点，且?=4，则实数 a 的值为（）
A．或﹣B．或3 C ．或 5D．3 或5
7．已知会合 P={x| ﹣ 1＜x＜ b， b∈N} ， Q={x|x2﹣ 3x＜ 0， x∈Z} ，若 P∩Q≠? ，则 b 的最小值等于（）
A ．0
B ． 1C． 2D． 3
8．以下各组函数中，表示同一函数的是（）
x2
B、f ( x)x 1与 f ( x)2
A 、f (x) x 与f ( x)(x 1)
x
C、f ( x)x 与 f ( x) 3 x3
D、f ( x)x 与 f ( x) ( x ) 2
9．已知复数z 知足 z?i=2 ﹣ i， i 为虚数单位，则z= （）
A ．﹣ 1﹣ 2i B．﹣ 1+2i C． 1﹣ 2i D ．1+2i
10．某公司为了监控产质量量，从产品流转平均的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这类抽样
方法是（）
A ．抽签法
B ．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法
11．已知 a=5，b=log 2， c=log 5，则（）
A ．b＞ c＞ a B． a＞ b＞ c C． a＞ c＞ b D． b＞ a＞ c
12．函数 y=（ x2﹣ 5x+6 ）的单一减区间为（）
A ．（，+∞）B．（ 3， +∞）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，2）
二、填空题
x－
x
）为偶函数，则a＝ ________．
13．已知 f（x）＝ x（ e ＋ ae
14．在（ x2﹣）9的二项睁开式中，常数项的值为．
15．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x ，则实数 m 等于．
16．设复数 z 知足 z（ 2﹣3i） =6+4i （ i 为虚数单位），则 z 的模为．
17．抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过 F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A，则 AF 的长为．
18．某校开设9 门课程供学生选修，此中A ， B， C3 门课因为上课时间同样，至多项选
择 1 门，若学校规定每位
学生选修4 门，则不一样选修方案共
有种．
三、解答题
19．已知函数 f（ x）=cosx（ sinx+cosx ）﹣．
（ 1）若 0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（ 2）求函数 f （ x）的最小正周期及单一递加区间．
20．（本小题满分12 分）
如图ABC 中，已知点D在 BC 边上，且AD AC
22
3 2，BD3．0 ，sin BAC， AB
3
（Ⅰ）求AD 的长；
（Ⅱ）求 cosC ．
2222
21．在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 C1：（ x+3） +（ y﹣1） =4 和圆 C2：（ x﹣ 4） +（ y﹣ 5） =4
（ 1）若直线 l 过点 A （ 4， 0），且被圆 C1截得的弦长为 2，求直线 l 的方程
（ 2）设 P 为平面上的点，知足：存在过点 P 的无量多对相互垂直的直线l 1和 l 2，它们分别与圆C1和 C2订交，且直线 l 1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等，求全部知足条件的点P 的坐标．
22．已知函数f (x)(x k)e x（k R ）．
（ 1）求f (x)的单一区间和极值；
（ 2）求f (x)在x1,2 上的最小值．
（ 3）设g(x) f (x) f '( x) ，若对k 3 , 5及 x0,1 有g( x)恒成立，务实数的取值范围．
22
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中， AD ∥ BC， AB ⊥AD ， AB ⊥ PA， BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD ，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面 PAC ；
（Ⅱ）若直线PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为，求二面角 A ﹣ PC﹣ D 的平面角的余弦值．24．（本小题满分12 分）
已知函数 f ( x)2x1
知足： a12
1
（ n N ）. x
，数列 a n， a n 1 f
a n
（ 1）求数列a n的通项公式；
（ 2）设数列a n的前 n 项和为 S n，求数列1
的前 n 项和 T n. S n
【命题企图】此题主要考察等差数列的观点，通项公式的求法，裂项乞降公式，以及运算求解能力.
密云区三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含分析（参照答案）
一、选择题
1．【答案】 D
【分析】
考点： 1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理 .
【方法点睛】此题主要考察向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数目积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
OA OB BA ，这是一个易错点，两个向量的和OA OB2OD （D点是AB的中点）,此外，要选好基底向量，如此题就要灵巧使用向量AB, AC ，当波及到向量数目积时，要记熟向量数目积的公式、坐标公式、几
何意义等 .
2．【答案】 B
【分析】解：依据函数的定义可知，对应定义域内的随意变量x 只好有独一的 y 与 x 对应，选项 B 中，当 x ＞ 0 时，有两个不一样的 y 和 x 对应，因此不知足y 值的独一性．
因此 B 不可以作为函数图象．
应选 B．
【评论】此题主要考察函数图象的辨别，利用函数的定义是解决此题的重点，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内 x 的随意性， x 对应 y 值的独一性．
3．【答案】 C
【分析】由 f [ f (x)] 2 ，设f（A）=2,则f（x）=A,则log2x2，则A=4或A=1
，作出 f （ x）的图像，由
1
4
时 3 个根， A=4 时有两个交点，因此 f [ f ( x)] 2 的根的个数是 5 个。

数型联合，当 A=
4
4．【答案】 D
【分析】解：双曲线﹣=1 （a＞ 0， b＞0）的渐近线方程为y= ± x，即x±y=0．
依据圆（ x﹣ 2）2+y2=1 的圆心（ 2， 0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴=，
，可得 e=．
故此双曲线的离心率为：．
应选 D．
【评论】此题考察点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的重点．
5．【答案】D
【分析】解：由题意知： f （ x）﹣ lnx 为常数，令f（ x）﹣ lnx=k （常数），则f（x） =lnx+k ．
由 f[f （ x）﹣ lnx]=e+1 ，得 f （ k） =e+1 ，又 f （ k）=lnk+k=e+1 ，
因此 f （ x）=lnx+e ，
f′（ x）=，x＞0．
∴ f（ x）﹣ f ′（ x）=lnx ﹣+e，
令 g（x） =lnx ﹣ +﹣e=lnx ﹣， x∈（ 0， +∞）
可判断： g（ x）=lnx ﹣， x∈（ 0， +∞）上单一递加，
g（ 1）=﹣ 1， g（e） =1﹣＞0，
∴x0∈（ 1，e）， g（ x0） =0，
∴x0是方程 f（ x）﹣ f ′（ x）=e 的一个解，则 x0可能存在的区间是（ 1， e）
应选： D．
【评论】此题考察了函数的单一性，零点的判断，结构思想，属于中档题．
6．【答案】 C
【分析】解：圆 x2+y2+2x﹣ 4y+7=0 ，可化为（ x+）2+（y﹣2）2=8．
∵? =4，∴2 ?2 cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=，
∴∠ACB=60 °
∴圆心到直线的距离为，
∴=，
∴a=或5．
应选： C．
7．【答案】 C
2 【分析】解：会合 P={x| ﹣ 1＜ x＜b， b∈N} ，Q={x|x ﹣ 3x＜ 0，
x∈Z}={1 ， 2} ，P∩Q≠? ，可得 b 的最小值为： 2．
【评论】此题考察会合的基本运算，交集的意义，是基础题．
8．【答案】 C
【分析】
试题剖析：假如两个函数为同一函数，一定知足以下两点：①定义域同样，②对应法例同样。

选项 A 中两个函数定义域不一样，选项 B 中两个函数对应法例不一样，选项 D 中两个函数定义域不一样。

应选C。

考点：同一函数的判断。

9．【答案】 A
【分析】解：由 z?i=2 ﹣ i 得，，
应选 A
10．【答案】 C
【分析】解：由题意知，这个抽样是在传递带上每隔10 分钟抽取一产品，是一个拥有同样间隔的抽样，而且
整体的个数比许多，
∴ 是系统抽样法，
应选： C．
【评论】此题考察了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样采纳哪一种抽样形式，
要依据题目所给的整体状况来决定，若整体个数较少，可采纳抽签法，若整体个数许多且个体各部分差别不大，可
采纳系统抽样，若整体的个体差别较大，可采纳分层抽样．属于基础题．
11．【答案】 C
【分析】解：∵ a=5＞1，b=log2＜log5=c＜ 0，
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∴a＞ c＞ b．
应选： C．
12．【答案】 B
【分析】解：令 t=x 2﹣ 5x+6= （ x﹣2）（ x﹣3）＞ 0，可得 x＜2，或 x＞3，
故函数 y=（ x2﹣ 5x+6 ）的定义域为（﹣∞， 2）∪ （ 3， +∞）．
此题即求函数t 在定义域（﹣∞， 2）∪（ 3，+∞）上的增区间．
联合二次函数的性质可得，函数t 在（﹣∞，2）∪（ 3，+∞）上的增区间为（ 3， +∞），应选 B．
二、填空题
13．【答案】
【分析】分析：∵ f（x）是偶函数，∴ f（－ x）＝ f（ x）恒成立，
即（－ x）（ e－x＋ ae x）＝ x（ e x＋ ae－x），∴a（ e x＋e－x）＝
－（ e x＋ e－x），∴a＝－ 1.
答案：－ 1
14．【答案】84．
【分析】解：（x29
的二项睁开式的通项公式为
T r+1 = 1 r x18﹣3r
，﹣）?（﹣）?
令 18﹣ 3r=0 ，求得 r=6 ，可得常数项的值为 T7= ==84 ，
故答案为： 84．
【评论】此题主要考察二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，属于基础题．
15．【答案】4．
【分析】解：∵双曲线的渐近线方程为 y=x，
又已知一条渐近线方程为y=x ，∴=2，m=4，
故答案为 4．
【评论】此题考察双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=x，是解题的重点．
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16．【答案】2．
【分析】解：∵复数 z 知足 z（ 2﹣ 3i） =6+4i （ i 为虚数单位），
∴ z=，∴ |z|===2，
故答案为： 2．
【评论】此题主要考察复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，
属于基础题．
17．【答案】4．
【分析】解：由已知可得直线AF 的方程为y=（x﹣1），
联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣ 10x+3=0 ，解之得： x1=3， x2=（据题意应舍去），
由抛物线定义可得：AF=x 1+=3+1=4 ．
故答案为： 4．
【评论】此题考察直线与抛物线的地点关系，考察抛物线的定义，考察学生的计算能力，属于中档题．
18．【答案】75
【分析】计数原理的应用．
【专题】应用题；摆列组合．
【剖析】由题意分两类，能够从 A 、 B、 C 三门选一门，再从其余6门选 3 门，也能够从其余六门中选 4 门，依据分类计数加法获得结果．
【解答】解：由题意知此题需要分类来解，
第一类，若从 A 、 B、 C 三门选一门，再从其余6门选 3门，有 C313
C6 =60，
第二类，若从其余六门中选4门有 C64=15，
∴ 依据分类计数加法获得共有60+15=75 种不一样的方法．
故答案为： 75．
【评论】此题考察分类计数问题，考察摆列组合的实质应用，利用分类加法原理时，要注意依据同一范围分类，分类做到不重不漏．
三、解答题
19．【答案】
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【分析】解：（ 1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α） =cosα（ sinα+cosα）﹣，
=×（+）﹣
=．
（ 2） f（ x）=cosx（ sinx+cosx ）﹣．
2
=sinxcosx+cos x﹣
= sin2x+cos2x
=sin （ 2x+），
∴T==π，
由 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈ Z，
∴f（ x）的单一递加区间为[k π﹣，kπ+]， k∈ Z．
20．【答案】
【分析】（Ⅰ）因为 AD AC ，因此sin BAC sin BAD cos BAD ,
2
因此 cos
22
BAD． 3分
3
BD2AB2AD 22AB AD cos BAD
在 ABD 中，由余弦定理可知，
即 AD28AD 150 ,解之得 AD5或 AD3,因为 AB AD ,因此 AD3． 6 分
（Ⅱ）在ABD 中，由 cos BAD 22
BAD
1
3
可知 sin7 分
3
由正弦定理可知，
BD AB,
sin BAD sin ADB
因此 sin
AB sin BAD6 ADB
BD
9 分
3
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因为 ADBDACC C ，即 cosC 6
12 分
23
21．【答案】
【分析】
【剖析】（ 1）因为直线 l 过点 A （4， 0），故能够设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，依据半弦长、半径、弦心距知足勾股定理，我们能够求出弦心距，即圆心到直线的距离，获得一个对于
直线斜率 k 的方程，解方程求出 k值，代入即得直线 l 的方程．
（ 2）与（ 1）同样，我们能够设出过P 点的直线 l 1与 l2的点斜式方程，因为两直线斜率为1，且直线 l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆 C2截得的弦长相等，故我们能够获得一个对于直线斜率k 的方程，解方程求出 k 值，代入即得直线 l 1与 l 2的方程．
【解答】解：（ 1）因为直线 x=4 与圆 C1不订交；
∴直线 l 的斜率存在，设 l 方程为： y=k （ x﹣4）（ 1 分）
圆 C1的圆心到直线l 的距离为 d，∵ l 被⊙ C1截得的弦长为 2
∴ d==1（ 2 分）
d=从而 k（24k+7 ）=0 即 k=0 或 k= ﹣
∴直线 l 的方程为： y=0 或 7x+24y ﹣ 28=0（ 5 分）
（ 2）设点 P（ a， b）知足条件，
由题意剖析可得直线l 1、 l 2的斜率均存在且不为0，
不如设直线l1的方程为y﹣ b=k（ x﹣ a）， k≠0
则直线 l 2方程为： y﹣ b=﹣（x﹣a）（6分）
∵⊙ C1和⊙ C2的半径相等，及直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l 2被圆 C2截得的弦长相等，
∴⊙ C1的圆心到直线 l1的距离和圆 C2的圆心到直线 l 2的距离相等
即=（8分）
整理得 |1+3k+ak ﹣ b|=|5k+4﹣ a﹣ bk|
∴1+3k+ak ﹣ b=±（5k+4 ﹣ a﹣bk）即（ a+b﹣ 2） k=b﹣ a+3 或（ a﹣ b+8 ）k=a+b ﹣ 5
因 k 的取值有无量多个，因此或（10分）
解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点 P2（﹣，）（ 12 分）
22．【答案】（1）f(x) 的单一递加区间为(k1,) ，单一递减区间为 (, k1) ，
f ( x)极小值 f ( k 1)e k 1，无极大值；（2）k 2 时f ( x)最小值 f (1)(1k )e，2 k 3时
k 1 ，
k
3 时，
2 ；（ ） 2e
.
f ( x)最小值 f ( k 1) e
f ( x)最小值 f (2) (2 k )e
3
【分析】
（ 2）当 k 1 1，即 k 2 时， f (x) 在 1,2 上递加， ∴ f ( x)最小值
f (1) (1 k )e ； 当 k 1 2 ，即 k
3 时， f ( x) 在 1,2
上递减， ∴ f ( x)最小值
f (2)
(2 k)e 2 ；
当 1 k
1 2，即 2
k 3 时， f (x) 在 1, k 1 上递减，在 k 1,2 上递加，
∴ f (x)最小值 f (k 1)
e k 1 ．
（ 3） g (x) (2 x
2k 1)e x ，∴ g '(x) (2 x
2k 3)e x ，
3 由 g '( x) 0 ，得 x k
，
2
3 当 x k 时， g '( x) 0；
2 3 当 x
k
时， g '(x)
0 ，
2
∴g( x) 在 (
,k
3
) 上递减，在 (k
3 , ) 递加，
2
3
2
3)
k
故 g(x)最小值
g (k
2e
2 ，
2
3
3 , 5
0,1 ， ∴当 x
0,1 时， g( x)最小值 g( k
k 又∵ k
， ∴ k 3 3
)2e
2 ，
2 2
2
2
x
0,1
k
3
∴g( x)
对
恒成立等价于
g ( x)最小值2e
2
；
3
3 , 5
又 g(x)最小值
k
2e
2
对
k
恒成立．
2 2
k3
∴( 2e2 )min k ，故2e ．1
考点： 1、利用导数研究函数的单一性从而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类议论思想的应用.
【方法点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单一性从而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类议论思想
的应用 .属于难题 . 数学中常有的思想方法有：函数与方程的思想、分类议论思想、转变与划归思想、数形联合思想、建模思想等等，分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想
之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度.运用这类方法的重点是将题设条
件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望
同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.此题（ 2）就是依据这类思想议论函数单一区间的.
23．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）∵平面 PAB ⊥平面 ABCD ，平面 PAB ∩平面 ABCD=AB ， AB ⊥ PA
∴ PA⊥平面 ABCD
联合 AB ⊥AD ，可得
分别以 AB 、 AD 、 AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，成立空间直角坐标系o﹣ xyz，如下图
可得 A （ 0， 0， 0） D（ 0，2， 0）， E（ 2，1， 0）， C（ 2， 4，
0），P（ 0，0，λ）（λ＞0）
∴，，
得，，
∴DE⊥ AC 且 DE⊥ AP，
∵AC 、 AP 是平面 PAC 内的订交直线，∴ED⊥平面 PAC．
∵ED? 平面 PED∴平面 PED⊥平面 PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC 的一个法向量是，
设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为θ ，
则，解之
得λ =±2
∵ λ＞0，∴ λ =2，可得 P 的坐标为（ 0， 0，2）
设平面 PCD 的一个法向量为=（ x0， y0， z0），，
由，，获得，
令 x0=1，可得 y0=z0=﹣ 1，得=（1，﹣ 1，﹣ 1）
∴ cos ＜
，
由图形可得二面角
A ﹣PC ﹣D 的平面角是锐角，
∴ 二面角 A ﹣PC ﹣D 的平面角的余弦值为
．
【评论】此题在四棱锥中证明面面垂直，而且在线面所成角的正弦状况下求二面角 A ﹣ PC ﹣ D 的余弦值．着
重考察了线面垂直、 面面垂直的判断定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法， 属于中
档题．
24． 【答案】
【分析】 （ 1）∵ f ( x) 2x 1
1
f ( 1
) 2 a n .
x
2
，∴ a n 1
x
a n
即 a n 1 a n 2 ，因此数列 { a n } 是以首项为 2，公差为 2 的等差数列， ∴a n
a 1 ( n 1)d
2 2(n 1) 2n .
（5分）
（ 2）∵数列 { a n } 是等差数列，
∴S n
( a 1 a n ) n (2 2n)n
n(n 1) ，
2
2
∴
1
1 1 1 . （8 分） S n
n(n 1) n n 1
∴T n
1 1 1
1
S 1 S 2 S 3
S n
(1 1) (
1 1) (1 1
) (
1
n 1 ) 1 2 2 3
3
4
n
1
1
1
n
（12分）
n .
n 1 1。