2021高三数学北师大版(文)：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题含解析

C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]
2．不等式2x －y ＋6＞0表示的区域在直线2x －y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方
D ．左下方
B [不等式2x －y ＋6＞0可化为y ＜2x ＋6，结合直线2x －y ＋6＝0的位置可知，选B.]
3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)
⎩⎨⎧ 200x ＋300y≤1 400
200x ＋100y≤900x≥0y≥0
[由题意知，x ，y 满足的关系式为
⎩⎨⎧
200x ＋300y≤1 400，
200x ＋100y≤900，x≥0，y≥0.
]
4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋3y≤3，
x －y≥1，
y≥0，
则z ＝x ＋y 的最大值为________．
3 [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z
＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .
作出直线y ＝－x ，并平移该直线，
当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取得最大值． 由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.]
域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
(1)不等式组⎩⎨⎧
2x ＋y －6≤0，
x ＋y －3≥0，
y≤2
表示的平面区域的面积为________．
(2)已知关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧
0≤x≤2，
x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0
所表示的平面区域的面积为
3，则实数k 的值为________．
(1)1 (2)1
2
[(1)不等式组⎩⎨⎧
2x ＋y －6≤0，
x ＋y －3≥0，
y≤2
表
示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求平面区域的面积．
求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝1
2
×(2－1)×2＝1.
(2)直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
则A (2,2k ＋2)，B (2,0)，C (0,2)，由题意知 12×2×(2k ＋2)＝3，解得k ＝12
.]
(1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；
(2)斜率型：形如z ＝
y －b
x －a
，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 实数x ，y 满足
⎩⎨⎧
x －y ＋1≤0，x≥0，y≤2.
(1)若z ＝y
x ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；
(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．
[解]
由⎩⎨⎧
x －y ＋1≤0，x≥0，y≤2，
作出可行域，
如图中阴影部分所示．
(1)z ＝y
x
表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率．
因此y
x 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即
z max 不存在)．
基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(1)若实数x ，y 满足约束条件
⎩⎨⎧
x ＋y≥1，x －y≥－1，3x －y≤3，
目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取
值范围是( )
A ．[－6,2]
B ．(－6,2)
C ．[－3,1]
D ．(－3,1)
(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧
x ＋3y －3≥0，
2x －y －3≤0，
x －my ＋1≥0，
其中m ＞0，且x ＋y 的最
大值为9，则实数m ＝________.
(1)B (2)1 [(1)作出约束条件所表示的平面区域，如图所示．
将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z 2，当－1＜－a
2＜
3时，直线y ＝－a 2x ＋z
2
的纵截距仅在点(1,0)处取得
最小值，即目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取得最小值，解得－6＜a ＜2，故选B.
(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，x ＋y 有最大值，此时x ＋y ＝9，由⎩⎨
⎧
x ＋y ＝9，2x －y －3＝0
得A (4,5)，将A (4,5)代入x －my
＋1＝0得4－5m ＋1＝0，解得m ＝1.]
当参数在目标函数中时，应把斜
率值的大小对最优解的影响作为解题突破口．
1.(20xx·北京高考)若x ，y 满足
⎩⎨⎧
x≤2，y≥－1，
4x －3y ＋1≥0，
则y －x 的最小值为________，最大值为________．
－3 1 [x ，y 满足的平面区域如图所示． 设z ＝y －x ， 则y ＝x ＋z .
把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图像可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2,3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.
当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.]
2．若实数x ，y
满足约束条件⎩⎨⎧
2x ＋y －4≤0，
x －2y －2≤0，
x －1≥0，
则
y －1
x
的最小值为________．
－3
2 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1
x 表示平面区域内的点与定点
P (0,1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－12连线
的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y －1x min ＝k PA ＝－1
2－11－0＝－32.]
3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －y ＋4≥0，
x≤2，
x ＋y ＋k≥0，
且z ＝x ＋3y 的最小值为2，
则常数k ＝________.
－2 [作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3
，结合图形可知当直线y ＝－13x ＋z 3
过点A 时，z 最小， 联立方程，得⎩⎨⎧ x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )，
此时z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解得k ＝－2.]
⊙考点3 线性规划的实际应用
解线性规划应用问题的一般步骤
(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．
(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．
(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．
(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．
(5)检验：根据结果，检验反馈．
B [设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎨⎧ 2x ＋3y≤480，
6x ＋y≤960，
x ，y∈N*，z ＝2x ＋y ，作出不等式组所表示的
可行域如图中阴影部分所示，
作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线
2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.]。