苏教版(2019)必修第一册 7-2-1任意角的三角函数(1) 课件(27张)

cosα＝
|OM | |OP|
x r
OM
x
tanα＝||OMMP||
y x
问题情境
问题3：当点P在终边上的位置改变时，上述三个值会随之 变化吗？
△OMP∽ △OM'P'
y
sinα＝
|MP| |OP|
|M P| |OP|
cosα＝
|OM | |OP|
|OM | |OP|
tanα＝||OMMP||
|M P| |OM |
(1)cos250o
(2)tan(－672o)
(4)cos 16
5
(5)sin( 4 )
3
(3)sin( )
4
(6)tan(17 )
8
2、根据下列三角函数值的符号，确定θ所在象限。 (1)sinθ＜0且tanθ＞0； (2)cosθ·tanθ＜0。
变式拓展
判断下列各式的符号 (1)sin 145o·cos(－210o)； (2)sin 3·cos 4·tan 5。
P(x，y) P(x，y)
O M M x
结论：当点P在终边上的位置改变时，三角函数值 不会随之变化。
数学探究
1、我们已经知道了锐角α的三角函数定义，
记r＝|OP| ＝ x2 y2
y
sinα＝
y r
P(x，y)
cosα＝
x r
tanα＝
y x
OM
x
怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？
数学建构
角α的正弦、余弦和正切值。
题后反思： 若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
数学练习
2、对于下表中角α，计算sinα，cosα，tanα的值。
0
1 2
2 2
3 2
1
3 2
2 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1
3 2
2 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 2
1 2
0
数学建构
3、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
|
k
2
，k
Z
数学建构
4、正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号
y
y
y
O x
sinα
O
x
cosα
O x
tanα
－－ －－ － －
记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
数学应用 类型二 三角函数值符号的判断
(3)比值 y (x0) 叫做α的正切(tangent)，M
O
x
x
记作tanα，即tanα＝
y。
x
说明：任意角α的三角函数值仅与α 有关，与点P在终边 上的位置无关。
数学建构
2、关于任意角三角函数定义的几点说明 (1)依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯 一确定的正弦值、余弦值与之相对应，当 2k
解：(1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0 (2)∵π2＜3＜π＜4＜32π＜5＜2π，
∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，
∴sin3·cos4·tan5＞0
(4)这里提到的角α是“任意角”，当β＝2kπ＋α(k∈Z) 时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是 终边相同的角的三角函数值都是相等的。
数学应用 类型一 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1、已知α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和 正切值。
数学练习
1、如图，已知α的终边与单位圆的交点是 P( 1， 3 ) ，求 22
问题情境
问题1：初中时学习过锐角α的正弦、余弦、和正切是如何
定义的？
y
在Rt△ABC中，
b
sinα＝
c a
cosα＝
c
b
tanα＝
a
cb
a
x
问题情境
问题2：在直角坐标系中，锐角OP| ＝ x2 y2
sinα＝
|MP| |OP|
y r
P(x，y)
变式拓展
2、在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上， 求sin α－3cos α＋tan α的值。
当角 α 的终边在射线 y＝－34x(x<0)上时， 取终边上一点 P′(－4，3)， 所以点 P′到坐标原点的距离 r＝|OP′|＝5， 所以 sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45， tan α＝xy＝－34＝－34
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1 综上所述，2sin α＋cos α＝±1
变式拓展
2、在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上， 求sin α－3cos α＋tan α的值。
解：当角 α 的终边在射线 y＝－34x(x>0)上时， 取终边上一点 P(4，－3)， 所以点 P 到坐标原点的距离 r＝|OP|＝5， 所以 sin α＝yr＝－53＝－35，cos α＝xr＝45， tan α＝xy＝－34 所以 sin α－3cos α＋tan α＝－35－152－34＝－145
所以 sin α－3cos α＋tan α＝35－3×－54－34＝35＋152－34＝94
综上，sin α－3cos α＋tan α 的值为－145或94。
数学探究
2、根据三角函数的定义，能否得到正弦函数、余弦函数 及正切函数各自的定义域(弧度制)？
3、怎样确定正弦函数、余弦函数及正切函数的函数值在 各象限的符号？
13
22 1
0
3 3
1
3
3
1
3 3
0
3 3
3
3 3
3
0
题后反思： 若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点坐 标，然后再利用定义求三角函数值。
数学应用 类型一 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例2、已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos sin θ，tan θ。
θ＝
10 10
x，求
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，
由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9 .
又∵cos θ＝ 1100x，∴
x＝ x2＋9
1100x
∵x≠0，∴x＝±1，当 x＝1 时，P(1，3)，
此时 sin θ＝3 1010，tan θ＝31＝3 当 x＝－1 时，P(－1，3)，
此时 sin θ＝3 1010，tan θ＝－31＝－3
1、任意角三角函数的定义
设角α为一个任意角，P(x，y)是其终边上任意一点，点
P与原点O的距离|OP| ＝r＝ x2 y2 ＞0，我们规定：
(1)比值 y 叫做α的正弦(sine)，
y
r
记作sinα，即sinα＝
y
；
r
(2)比记值作crxo叫sα，做即α的co余sα弦＝(crxos；ine)，
P(x，y)
课堂检测
课本第170页练习第1、2、3、4、5、6题。
课堂小结
1、任意角三角函数的定义
设角α为一个任意角，P(x，y)是其终边上任意一点，点
P与原点O的距离|OP| ＝r＝ x2 y2 ＞0，我们规定：
(1)比值 y 叫做α的正弦(sine)，
y
r
记作sinα，即sinα＝
y
；
r
(2)比记值作crxo叫sα，做即α的co余sα弦＝(crxos；ine)，
例3、判断下列正弦、余弦、正切值的符号。
(1)sin 7
12
(2)cos(－465o)
(3)tan11
3
教后反思
角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的 关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函 数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正 切，四余弦。
数学练习
1、判断下列三角函数值的符号
y
y
y
O x
sinα
O
x
cosα
O x
tanα
－－ －－ － －
记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
题后反思
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为
r(r>0)，则sin
α＝
y r
，cos
α＝
x r
，
tan
α＝
y； x
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问 题的实际情况对参数进行分类讨论。
变式拓展
1、已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α 的值； 解：r＝ －3a 2＋ 4a 2＝5|a| ①若 a >0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－5a3a＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1 ②若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限， sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－－35aa＝35，
P(x，y)
(3)比值 y (x0) 叫做α的正切(tangent)，M
O
x
x
记作tanα，即tanα＝
y。
x
说明：任意角α的三角函数值仅与α 有关，与点P在终边 上的位置无关。
课堂小结
2、正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
|
k
2
，k
Z
课堂小结
3、正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号
2
(k Z) 时，它有唯一的正切值与之相对应，因此sinα，
cosα，tanα这三个对应法则都是以α为自变量的函数，
分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数，以
上三种函数统称为三角函数；
(2)正弦函数、余弦函数和正切函数都是以角为自变量， 以比值为函数值的函数；
数学建构
2、关于任意角三角函数定义的几点说明 (3) sinα不是sin与α 的乘积，而是一个比值，三角函数 的记号是一个整体，离开自变量的“sin”、“cos” “tan”是没有意义的；