云南省昆明市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析

昆明市2018-2019学年高二期末质量检测
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
{}=11,=1,0,1,2A x x B -<≤-，则A B =I （ ）
A. {}-101，
， B. {}1,0- C. {}0,1 D. {}1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据交集的定义，即可求出结果。

【详解】{}0,1A B =I ，故选C 。

【点睛】本题主要考查交集的运算。

2.
21i
i
=-（ ） A. 1i + B. 1i -+
C. 1i --
D. 1i -
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法可得计算结果
【详解】
()()()
2121111i i i i i i i ⨯+==-+--+，故选B. 【点睛】本题考查复数的
除法，属于基础题.
3.已知向量()1,,a x =r ()2,4b =-r
，()
//a a b -r r r ，则x =（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 3
D. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出a b -v v
的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出x .
【详解】(3,4)a b x -=-v v
Q 由()
//a a b -r r r 得，1(4)30x x ⨯--=
解得2x =-，故选A 。

【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示。

4.已知双曲线22
:1164
x y C -=，则C 的渐近线方程为（ ）
A.
0y ±=
B. 0x ±=
C. 20x y ±=
D. 20x y ±=
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的性质，即可求出。

【详解】令22
0164
x y -=，即有20x y ±=
双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=，故选C 。

【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。

5.()5
12x -展开式中的3x 系数为（ ） A. 40
B. 40-
C. 80
D. 80-
【答案】D 【解析】 【分析】
由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。

【详解】()5
12x -展开式的通项公式是155(2)(2)r r r r r
r T C x C x +=-=⋅-⋅
令3r =，所以3x 系数为33
5(2)80C -=-，故选D 。

【点睛】本题主要考查如何求二项式定理的展开式中某一项的系数。

6.古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着,,A B C 三根金铜石细柱，其中细柱A 上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A 柱上现有3个金盘（如图），将A 柱上的金盘全部移到B 柱上，至少需要移动次数为（ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
【答案】B 【解析】 【分析】
设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a ，则121n n a a -=+，利用该递推关系可求至少需要移动次数.
【详解】设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a . 要把最下面的第n 个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的1n -个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动1n a -次.
把第n 个金盘移到另一个柱子上后，再把1n -个金盘移到该柱子上，故又至少移动1n a -次，
所以121n n a a -=+，
11a =，故23a =，37a =，故选B.
【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.
7.函数2x y e e =-的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()00f >可得正确的选项.
【详解】设()2
x
f x e e =-，()2
010f e =->，A ，C ，D 均是错误的，选B .
【点睛】本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.
8.设,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. ,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ B. ,,m n αβαβ⊥⊥⊂，则m n ⊥ C. ,,αβm αn
β^烫，则m n ⊥
D. //,,αβm αn β烫，则//m n
【答案】A 【解析】 【分析】
依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.
【详解】直线,m n 所在的方向向量分别记为,a b r r
，则它们分别为αβ，的法向量，
因αβ⊥，故a b ⊥r r
，从而有m n ⊥，A 正确.
B 、
C 中,m n 可能平行，故B 、C 错，
D 中,m n 平行、异面、相交都有可能，故D 错. 综上，选A.
【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.
9.设随机变量()2,X B p :，若()5
19
P X ≥=，则()E X =（ ） A.
23
B.
13
C. 2
D. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对立事件的概率公式，先求出p ，再依二项分布的期望公式求出结果 【详解】()511(0)9P X P X ≥=-==Q ，4(0)9
P X ∴== 即2
4(1)9p -=
，所以13
p =，()2
23E X p ==，故选A 。

【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键。

10.设1
211
,ln 3,3
e
a e
b
c π===，则下列正确的是（ ）
A. a c b >>
B. c a b >>
C. c b a >>
D. a b c >>
【答案】B 【解析】 【分析】
依据ln y x =的单调性即可得出,,a b c 的大小关系。

【详解】
8
ln
1ln 2ln 33ln 22ln 3ln19ln 2ln 30
323666
b -=-=-==<=Q 而113
0,0e a e c π=>>= ，所以b 最小。

又111ln ln 2e
a e e ==< ，1
211
ln ln ln 22
c ππ==>，
所以ln ln c a >，即有c a >，因此c a b >>，故选B 。

【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。

11.在平行四边形ABCD 中，
3
BAD π∠=，点E 在AB 边上，1
12
AD AE AB ==
=，将ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线A E '与直线BF 共面 B. 12
BF =
C. A EC 'V 可以是直角三角形
D. A C DE '⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
（1）通过证明,,,A E B F '是否共面，来判断直线A E '与直线BF 是否共面； （2）取特殊位置，证明1
2
BF =
是否成立；（3）寻找A EC 'V 可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明'A C DE ⊥能否成立。

【详解】，
如图，因为,,,B C E A '四点不共面，所以E ⊄面A BC '，故直线'A E 与直线BF 不共面；
ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，位置不定，当面A DE '⊥面BCDE ，此时1
2
BF ≠
；
取DE 中点，连接,A G CG '，则A G DE '⊥，若有A C DE '⊥，则DE ⊥面A CG ' 即有DE CG ⊥，在Rt DGC ∆中，1
2,,602
CD DG CDE ο==
∠=明显不可能，故不符合； 在A EC 'V 中，1A E '=
,CE =
2AC =>，所以当2A C '=时，A EC 'V 可以是直角三角形；
【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力。

12.已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，且()f x 在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上为单调函数，下述四个结论： ①满足条件的ω取值有2个 ②3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
为函数()f x 的一个对称中心 ③()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
④()f x 在()0,π上有一个极大值点和一个极小值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②③
C. ①②④
D. ①②③
【答案】D 【解析】 【分析】
依照题意找出ω的限制条件，确定ω，得到函数()f x 的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确。

【详解】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=
对称，所以
3+k 42
ππ
ωπ= 41()0,32k k Z ω=+>∈，又()f x 在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上为单调函数，24π
πω
∴≤，即2ω≤，
所以23
ω=或2ω=，即()2
sin 3f x x =或()sin 2f x x =
所以总有3(
)02
f π
=，故①②正确； 由()2sin
3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在,08π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故③正确； 当(0,)x π∈时，()2
sin
3
f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确； 综上，所有正确结论的编号是①②③。

【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在等差数列{}n a 中，47a =，2818a a +=，则公差d =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质可得5a ，从而54d a a =-．
【详解】因为2818a a +=，故59a =，所以54972d a a =-=-=，填2． 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）()
1,1,2,,2
k n k n n a a S k n +-+=
=L 且()2121n n S n a -=- ；
（3）2
n S An Bn =+且n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.
14.函数()ln 2f x x x =-的图象在点()()
1,1P f 处的切线方程为__________． 【答案】10x y ++= 【解析】 【分析】
求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。

【详解】1
()2f x x
'=
-Q ，(1)1k f '∴==-，又(1)2f =- 所以切线方程为(2)(1)(1)y x --=--，即10x y ++=。

【点睛】本题主要考查函数图像在某点处的切线方程求法。

15.已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则
(
)
PA PB PC +⋅=u u u v u u u v u u u v
__________．
【答案】2- 【解析】 【分析】
先用中点公式的向量式求出PA PB +u u u v u u u v
，再用数量积的定义求出()
PA PB PC +⋅u u u v u u u v u u u v 的值。

【详解】2PA PB PO +=u u u v u u u v u u u v
Q ，()
2211cos1802PA PB PC PO PC ο∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
【点睛】本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义。

16.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，()0,0O ，()3,1P ，斜率为1-的直线与C 相交于,A B
两点，若直线OP 平分线段AB ，则C 的离心率等于__________．
【答案】3
【解析】 【分析】
利用点差法求出2
2b a
-的值后可得离心率的值．
【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222
1122
222211x y x y a b a b +=+=，，
故2222
1212
220
x x y y a b --+=即()()()()1212121222
0x x x x y y y y a b -+-++=，
因为P 为AB
的中点，故
()()122212260y y a x x b -⨯+=-⨯即
22
31
0a b -=， 所以()2
2
2
3a a c =-即2223c a =，故6
e =，填63
．
【点睛】圆锥曲线中的
离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．另外，与弦的中点有关的问题，可用点差法求解．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：m ），其中不大于1.50（单位：m ）的植株高度茎叶图如图所示.
(1)求植株高度频率分布直方图中,,a b c 的值；
(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.
【答案】（1）0.5,1, 1.5a b c ===；（2）1.60. 【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算,,a b c . （2）利用组中值可计算植株高度的平均值.
【详解】（1）由茎叶图知，5101001000.5,1
0.10.1
a b ====.
由频率分布直方图知
0.50.5 1.451 1.553 1.654⨯+⨯+⨯+⨯0.130.140.11c +⨯+⨯+⨯=，
所以 1.5c =.
（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值
()1.350.5 1.451 1.553 1.654 1.75 1.50.1 1.60⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.
18.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 1sin 2
A
A =-. (1)求A ；
(2)若2
B π
=
，且b =D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求ACD V 的面积.
【答案】（1）3
A π
=（2【解析】 【分析】
（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于sin
2A 的方程，求出sin 2
A
即可求出角A （2）根据角平分线定义先求出BAD ∠，再依锐角三角函数的定义求出AD ，最后依据三角形面积公式求出。

【详解】（1）解：因为2
12sin 1sin 22A A -=-，所以22sin sin 022
A A
-=， 即sin
12sin 022A A ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
.
因为()0,A π∈，所以sin 02
A ≠，解得1sin 22A =.
所以
26A π=或526
A π
=（舍去）, 因此,3
A π
=
.
（2）因为3
A π
=
，2
B π
=
，所以6
C π
=
，因为b =AB =
又因为AD 为的角BAC ∠平分线，所以6
BAD π
∠=，
在Rt ABD △中，所以cos AB
BAD AD
∠=，所以2AD =，
所以111
sin 2222
ADC
S AD AC DAC =⋅∠=⨯⨯=V 【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。

19.已知等比数列{}n a 的前n 项和1
2n n S λ+=+，其中λ为常数.
（1）求λ；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）2λ=- （2）()11222
n n n n T ++=+-
【解析】 【分析】
（1）利用1n n n a S S -=-求出当2n ≥时{}n a 的通项，根据{}n a 为等比数列得到1a 的值后可得2λ=- .
（2）利用分组求和法可求{}n n a b +的前n 项和n T .
【详解】（1）因为12n n S λ+=+，
当1n =时，114a S λ==+，当2n ≥时，12n
n S λ-=+， 所以11222n n n
n n n a S S +-=-=-=，
因为数列{}n a 是等比数列，所以2n
n a =对1n =也成立，
所以42λ+=，即2λ=-.
（2）由（
1）可得2n
n a =，
因为2log n n b a =，所以2log 2n
n b n ==，
所以n T ()
()(
)()232121222212312
2
n n n n n -+=++++++++⋅⋅⋅+=
+-L ，
即()11222
n n n n T ++=
+-.
【点睛】（1）数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系是11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这
个关系式实现n a 与n S 之间的相互转化.
（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，3
BAD π∠=
，
2AB =，27PC =，,E F 分别是棱,PC AB 的中点.
（1）证明：//EF 平面PAD ； （2）求二面角P BD A --的余弦值. 【答案】（1）见解析（257
【解析】 【分析】
（1）依据线面平行的判定定理，在面PAD 中寻找一条直线与EF 平行，即可由线面平行的判定定理证出；
(2)建系，分别求出平面PBD，平面ABD的法向量，根据二面角的计算公式即可求出二面角P BD A
--的余弦值。

【详解】（1）证明：如图，取PD中点为G，连结,
EG AG，
则
11
//,,//,
22
EG CD EG CD AF CD AF CD
==，
所以EG与AF平行与且相等，所以四边形AGEF是平行四边形，
所以//,
EF AG AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以//
EF平面PAD.
（2）令AC BD O
=
I，因为E是PC中点，所以OE⊥平面ABCD，
以O为原点，,,
OA OB OE所在直线分别为,,
x y z轴，建立空间直角坐标系，
在菱形ABCD中，2,60
AB BAD︒
=∠=，
所以，2,23
BD AC
==Rt PAC
△中，
224
PA PC AC
-=，则
()
3,0,0
A，)
3,,0,4
P，
()
0,1,0
B，()
0,1,0
D-，()
0,2,0
DB=
u u u r
，()
3,1,4
DP=
u u u v
设平面PBD的法向量为()
,,
n x y z
=
r
，
所以
20
340
y
x y z
=
⎧⎪
++=
，所以可取(4,0,3
n=-
v
，
又因平面ABD的法向量()
0,0,1
m=
u r
，
所以
57
cos,
m n
m n
m n
⋅
==
v v
v v
v v.
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角P BD A
--57
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法，常见求二面角的方法有定义法，三垂线法，坐标法。

21.已知抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点A C ∈，A 在l 上的射影为B ，
且ABF ∆是边长为4的正三角形. （1）求p ；
（2）过点F 作两条相互垂直的直线121,,l l l 与C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,M N 两点，设
POQ ∆的面积为1,S MON ∆的面积为2S （O 为坐标原点），求22
12S S +的最小值.
【答案】（1）2；（2）16. 【解析】 【分析】
（1）设准线与轴的交点为点H ，利用解直角三角形可得2HF p == .
（2）直线()1:10l y kx k =+≠，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于k 的关
系式表示21S ，同理可用关于k 的关系式表示22S ，最后用基本不等式可求22
12S S +的最小值.
【详解】（1）解：设准线与轴
交点为点H ，连结,,AF AB BF ， 因为ABF ∆是正三角形，且4BA AF BF ===， 在BHF ∆中，90,30,4BHF FBH BF ︒
︒
∠=∠==， 所以2HF p ==.
（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线()1:10l y kx k =+≠，由()1知2
:4C x y =，
联立方程：241
x y
y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得2440x kx --=.
因为216160k ∆=+>，所以12124,4x x k x x +==-， 所以()
241PQ k ==+，
又原点O 到直线1l 的距离为d =
所以(
)2
2
141S k
=+，同理22
2
141S
k ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 所以()
22
2
2122
21141418416S S k
k k k ⎛
⎫⎛⎫+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，当且仅当1k =±时取等号.
故22
12S S +的最小值为16.
【点睛】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.
22.已知函数()2
ln ,f x ax x a R =-∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当*
n N ∈时，证明：()()2
222
2222
12342ln 1123n e n n
++++⋅⋅⋅+>+. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；
（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。

【详解】（1）解：因为()()1
'20f x ax x x
=->， ①当0a ≤时，总有()'0f x <，
所以()f x 在()0,∞+上单调递减.，无增区间；
②当0a >时，令1
20ax x -
>，解得x >
故x >
()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增.，
同理1
20ax x -<时，有()'0f x <，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减.
（2）由（1）知当0a >时，(
)2
min
1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 若()min 0f x =，则
111ln 0222a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时，1
2a e
=， 因为()()min 0f x f x ≥=，所以()2
1ln 02f x x x e
=
-≥， 当*n N ∈时，取1n x n +=，有()2
2112ln n n e n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
,
所以()()()()()2
222
222212342ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln 123n e n n n
+⎡⎤+++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅++-⎣⎦ 故()
()2
222
222
2
12342ln 1123
n e n n
++++⋅⋅⋅+
>+.
【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。