2013～2019年高考文科数学试题分类汇编第6章数列第1节等差数列与等比数列

第六章 数列
第1节 等差数列与等比数列
题型70 等差、等比数列的通项及基本量的求解
1. (2013安徽文7)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，134S a =，22a =-，则9a =( ).
A. 6
B. 4
C.
2- D. 2
1.分析 借助等差数列前n 项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到9
a 的值. 【试题解析】 由等差数列性质及前n 项和公式，得()
1
8
8
82
a a S +=
()36344a a a =+=，所以6
0a =.
又7
2a =-，所以公差2d =-，所以9
7
26a a d =+=-.故选A.
2.(2013辽宁文14)已知等比数列
{}n a 是递增数列，n
S
是
{}n a 的前n 项和.若1
3
a a
，是方
程2540x x -+=的两个根，则6S = .
2.解析：因为1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列
{}n a 是递增的等比数列，所
以11a =，34a =，2q =，所以6
6126312
S -=
=-. 3. (2013四川文16)在等比数列
{}n a 中，2
12a
a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列
{}n a 的首项、公比及前n 项和.
3．分析 由已知列出两个含1a 和q 的方程并求解，再借助等比数列求和公式得n S ． 【试题解析】设该数列的公比为q ．
由已知，得112
1112,43,a q a a q a a q -=⎧⎨=+⎩所以()1212,430,
a q q q ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得11,
3.a q =⎧⎨=⎩(1q =舍去) 故首项11a =，公比3q =.所以数列的前n 项和31
2
n n S -=.
4. (2013山东文20)设等差数列{}n a 的前n 项和为n
S
，且424S S =，221n n a a =+.
(1)求数列
{}n a 的通项公式；
(2)设数列
{}n b 满足1
2121
12
n n n b b b a
a a ++⋅⋅⋅+=-，n *∈Ν，求数列{}n
b 的前n 项和n T ． 4.分析 (1)由于已知
{}n a 是等差数列，因此可考虑用基本量1
,a d 表示已知等式，进而求
出{}n a 的通项公式.(2)先求出n
n
b a ，进而求出{}n b 的通项公式，再用错位相减法求{}n b 的
前n 项和.
【试题解析】(1)设等差数列
{}n a 的前项为1
a
，公差为d .
由424S S =，221n
n a a =+，得()()111
14684,
21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨
+-=+-+⎪⎩ 解得11,
2.
a d =⎧⎨
=⎩因此*21,n a n n =-∈N .
(2)由已知*12
12
1
1,2
n n n b b b n a a a +++
=-∈N ， 当1n =时，
1112
b a =； 当2n ≥时，111111=222n n n n
n b a -⎛⎫=--- ⎪
⎝⎭.所以*
1,2n n n b n a =∈N . 由(1)知*21,n a n n =-∈N ，所以*21=,2
n n n b n -∈N .
所以2313521
2222n n
n T -=
++++
. 231113232122222
n n n n n T +--=++++. 两式相减，得2311122
2212222
22n n n n T +-⎛⎫=++++
- ⎪⎝⎭113121
222
n n n -+-=--，所以2332n n
n T +=-
. 5.(2013浙江19)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知1
10a
=，且1a ，
222a +，35a 成等比数列. (1)求d ，n a ； (2)若0d <，求
123 .n a a a a +++⋯+
5.分析 (1)用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ， 进而根据等差数列的通项公式写出n a .(2)根据(1)及0d <确定数列的通项公式，确定n a
的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论. 解析(1)由题意得，()2
132522a a a ⋅=+，由110a =，
{}n a 为公差为d 的等差数列得，
2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()
*11n a n n =-+∈N 或
()*46n a n n =+∈N .(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S .
因为0d <，由(1)得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a +++
+=
2121
22
n S n n =-+；
当12n ≥时，212311121
211022
n n a a a a S S n n +++
+=-+=
-+. 综上所述，123n a a a a +++
+22121
,11,22
121110,12.22
n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨
⎪-+⎪⎩≤≥ 6.(2014重庆文2)在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =( ).
A.5
B.8
C.10
D.14
7.(2014江苏7)在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ．
8.(2014新课标Ⅰ文17)(本小题满分12分)
已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根.
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. 9. (2014山东文19)(本小题满分12分)
在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设()12
n n n b a +=，记()12341n
n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .
10.(2014福建文17)(本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.
(1)求n a ； (2)设3log n
n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
11.(2014浙江文19)已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，
2336S S ⋅=.
(1)求d 及n S ；
(2)求,m k (
)*
,m k ∈N
的值，使得1265m
m m m k a
a a a +++++++=.
12.(2015北京文5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为( ). A.3 B. 4
C.5
D.6
12.【试题解析】解法一:执行程序框图，
13322a =⨯=，1k =，3124a =<−−→否
313224a =⨯=，2k =，3144a =<−−→否
313428a =⨯=，3k =，3184a =<−−→否
3138216a =⨯=，4k =，31164
a =<−−→是
输出4k =.故选B.
解法二：由算法图知a 是一个以3为首项，1
2为公比的等比数列，即13()2
k k a =，解得4k =. 13.(2015全国文7)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =( ). A.
172 B. 192
C.10
D.12
13.【试题解析】 解法一：由844S S =，1d =，知()()118814418144122a a --⎡
⎤+⨯=+⨯⎢⎥⎣⎦
，
解得112a =
.所以()10119
101122
a =+-⨯=.故选B. 解法二：由844S S =，即()()1814442a a a a +=⨯+，可得8142a a a =+. 又公差1d =，所以817a a =+，即427a =，解得47
2
a =. 则10419
62
a a =+=
.故选B. 14.(2015全国1文13)在数列{}n a 中，
112,2n n a a a +==，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n = .
14.【试题解析】由12n n a a +=，得
1
2n n
a a +=，即数列{}n a 是公比为2的等比数列. ()()11212126112
n n n a q S q
--=
=
=--，得6n =.
15.(2015全国Ⅱ文9)已知等比数列{}n a 满足4
1
1=
a ，()35441a a a =-，则=2a ( ). A.2 B.1 C.
21 D.8
1 15.【试题解析】由等比数列的性质得2354a a a =，即()2
4441a a =-，则42a = .所以有
34
1
8a q a =
=， 所以2q =.故211
2
a a q ==
.故选C. 16.(2015陕西文13)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的 首项为________.
16.【试题解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=， 所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =， 又121n n n a a a a ++=+，所以15a =.
17.(2016江苏8)已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2
123a a +=-，510S =，则9a 的
值是 .
17.20【试题解析】 设公差为d ，则由题意可得()2
1113
51010
a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则
948320a =-+⨯=.
18.(2016全国甲文17)等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=.
(1)求
{}n a 的通项公式；
(2)设[]n
n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，
[]2.62=.
18.【试题解析】(1)3415712542106a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得11
25a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，所以
()2231155
n n a n +=+
-=
(*
n ∈N ). (2)[]121079111555b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L []1317192123355555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
111223334424+++++++++=.
19.(2017江苏9)等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，663
4
S =，则8a = ．
19.【试题解析】 解法一：由题意等比数列公比不为1，由()()3136
16171416314a q S q a q S q ⎧-=
=⎪-⎪
⎨-⎪
==⎪-⎩，因此
36
3
19S q S =+=，得2q =． 又3123S a a a =++(
)2
117174a q q
a
=++==
，得114
a =，所以78132a a q ==．故填32．
解法二(由分段和关系)：由题意3363374634
S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以3
8q =，即2q =．下同解法
一．
20.(2017全国1文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.
20.【试题解析】 (1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
则2112
311126
S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2
131q q q ++=-+， 整理得()2
20q +=，因此2q =-，所以12a =-， 数列{}n a 的通项公式为()2n
n a =-．
(2)由(1)知()()()
()212212123n
n n
S ⎡⎤
-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣
⎦--，
因此()()+12
1222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=-
-----=⎣
⎦⎣⎦
()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣
⎦()41223n
n S ⎡⎤=---=⎣⎦．
所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．
21.(2017全国2文17)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11a =-，11b =，222a b +=.
(1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； (2)若321T =，求3S .
21.【试题解析】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q ≠.
由等差数列、等比数列的通项公式可得2
12
125
d q d q -++=⎧⎨-++=⎩，解得1
2
d q =⎧⎨
=⎩，
故{}n b 的通项公式为12n n b -=.
(2)由(1)及已知得2
122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩
，解得41q d =⎧⎨=-⎩或5
8q d =-⎧⎨=⎩. 所以31336S a d =+=-或313321S a d =+=.
22.(2017北京文15)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，
245b b a =．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求和：13521n b b b b -+++
+．
22【试题解析】 (1)设{}n a 的公差为d ， 10311=+++d d ，所以2=d ，所以
1(1)21n a a n d n =+-
=-()*n ∈N . （2）设{}n b 的公比为q ，24b b ⋅=5a ⇒93=qq ，所以32=q ，所以{}2-1n b 是以11=b 为首项，
2
3q =为公比的等比数列，所以1352-11(13)31
132
n n n b b b b ⋅--==
-＋＋＋＋. 2018年
1.(2018全国Ⅰ文17)(12分)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=
． (1)求123b b b ，
，； (2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式． 【试题解析】 (1)由条件可得a n +1=
2(1)
n n a n
+． 将n =1代入，得a 2=4a 1，而a 1=1，所以a 2=4． 将n =2代入，得a 3=3a 2，所以a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．
(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
理由：由条件可得121n n
a a n n
+=
+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得
12n n
a n
-=，所以a n =n ·
2n -1． 2.(2018全国Ⅱ文17)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．
【试题解析】(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得11
3315
7a d a +=-⎧⎨=-⎩，解得2d =，
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．
(2)由(1)得22
8(4)16n S n n n =-=--．
所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．
3.(2018全国Ⅲ文17)(12分)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． (1)求{}n a 的通项公式；
(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【试题解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由已知得424q q =，解得0q =(舍去)，2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． (2)若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n
n S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．
若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．
4.(2018北京文5) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ).
(C)
(D)
【试题解析】因为每一个单音与前一个单音频率比
为，所
以()*
1
2,
n n
a n n
-
=≥∈N，
又
1
a f
=
，则
7
7
81
a a q f
===.故选D.
5.(2018北京文15)设{}n a是等差数列，且123
ln2,5ln2
a a a
=+=.
(1)求{}n a的通项公式；
(2)求12
e e e n a
a a
+++.
解析(1)设等差数列{}
n
a的公差为d，
因为
23
5ln2
a a
+=，所以
1
235ln2
a d
+=，
又
1
ln2
a=，所以ln2
d=.所以
1
(1)ln2
n
a a n d n
=+-=.
(2)由(1)知ln2
n
a n
=，
因为ln2ln2
e e e=2
n
n
a n n
==，所以{e}n a是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以2
12
ln2ln2ln2
e e e e e e n
n
a
a a
+++=+++2
=222n
+++1
=22
n+-.
所以12
e e e n a
a a
+++1
=22
n+-.
6.(2018上海6)记等差数列{}n a的前几项和为n S，若30
a=，
67
14
a a
+=，则7
S=.
【试题解析】由题意得671
31
21114
20
a a a d
a a d
+=+=
⎧
⎨
=+=
⎩
，解得2
d=，所以
4
2
a=，
74
714
S a
==.
2019年
1.(2019全国Ⅰ文14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若
13
3
1
4
a S
==
，，则S4=___________．【试题解析】由题意可得，(
)33
12
3
11
1
11
a q q
S q q
q q
--
===++=
--
1
2
=-
.
所以()4
4141115211812a q S q
⎛⎫-- ⎪
-⎝⎭=
=
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. 2. (2019全国Ⅰ文18)记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． (1)若34a =，求{}n a 的通项公式；
(2)若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围． 解析(1)设
{}n a 的公差为d ．
由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-． 因此
{}n a 的通项公式为102n a n =-．
(2)由(1)得14a d =-，故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=
. 由10a >知0d <，故n n S a …
等价于2
11100n n -+…，解得110n ≤≤． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟．
3.(2019全国Ⅱ文18)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 解析(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得
22416q q =+，即2280q q --=.
解得2q =-(舍去)或q =4.
因此{}n a 的通项公式为121
242n n n a --=⨯=.
(2)由(1)得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n ++
+-=.
4.(2019全国Ⅲ文6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则
a 3= A ． 16
B ． 8
C ．4
D ． 2
【试题解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，
有()
4142
111
115134a q q
a q a q a ⎧-⎪=⎨-⎪=+⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩. 所以2
324a ==. 故选C ． 5. (2019全国Ⅲ文14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则
10S =___________.
【试题解析】 在等差数列
{}n a 中，由35a =，713a =，得
73135
2734a a d --=
==-，
所以
132541
a a d =-=-=，则
10109
10121002S ⨯=⨯+
⨯=．
6.(2019北京文16)设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． (Ⅰ)求{a n }的通项公式；
(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 解析(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ． 因为110a =-，
所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列，
所以()()()2
3248106a a a +=++，即2
(22)(43)d d d -+=-+．
化简得2440d d -+=，解得2d =． 所以(
)*
1(1) 212n a a n d n n =+-=-∈N
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，212n a n =-，且
60a =．
所以，当7n …时，0n a >；当6n …时，0n a …． 所以，n S 的最小值为5630S S ==-．
7.(2019天津文18)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，
23b a = ，3243b a =+.
(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)设数列{}n c 满足2
1,,,
n n n c b n ⎧⎪
=⎨
⎪⎩奇偶为数为数求()*
112222n n
a c a c a c n N ++
+∈.
解析(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q 依题意，得
2
3323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33
d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n n
n b -=⨯=. 所以，{}n a 的通项公式为3n a n =()n *∈N ，{}n b 的通项公式 为3n
n b =()
n *∈N .
(Ⅱ)112222n n a c a c a c ++⋯+
()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++
()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤
=⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦
()2123613233n n n =+⨯+⨯+
+⨯
1213233n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯. ① 2331313233n T n +=⨯+⨯+
+⨯， ②
②-①得，()12
3
1
1
313(21)33
23333..33
13
.2
n n n
n n n n T n n +++--+=----+=
-⨯=-
+⨯-， 故()121334
n n n T +-+=
.
所以，()12
2
112222213336332
n n n n n a c a c a c n T n +-+++
=+=+⨯
()22*(21)369
2
n n n n N +-++=∈. 8.(2019江苏8)已知数列*
{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若
25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .
【试题解析】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则1111()(4)70
989272
a d a d a d a d ++++=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． 所以818786(5)152162
d
S a ⨯=+=⨯-+⨯=.
题型71 等差、等比数列的求和问题的拓展
1.(2013广东文11) 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则
1234a a a a +++= ．
1.分析 由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式1234a a a a +++求值.也 可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.
【试题解析】 方法一：()()()2
3
1234112121215a a a a +++=+⨯-+⨯-+⨯-=. 方法二：因为12341234a a a a a a a a +++=+++，数列{}
n a 是首项为1，公比为2的
等比数列，故所求代数式的值为
4
121512
-=-. 2.(2015安徽理13) 已知在数列{}n a 中，11a =，()11
22
n n a a n -=+…，则数列{}n a 的 前9项和等于 .
2.【试题解析】由题意可得112n n a a --=，又11a =，所以{}n a 是以1为首项，1
2
为公差的等差数列，
所以()()*11
112,22
n n a n n n +=+-⨯
=∈N ….又11a =满足上式，所以()*1
2
n n a n +=
∈N ， 所以95a =.所以()9159272
S +⨯=
=.
2018年
1.(2018浙江10)设等比数列{}n a 的通项公式为()1
*
n n a q
n +=∈N ，前n 项和为n
S
.若
1
1
lim
2n n n S a →∞+=，则q =____________.
【试题解析】根据等比数列通项公式1
n n a q -=可得，11a =，公比为q .
(1)当1q =时，1n a =，n S n =，则lim
1
n n
→∞=+∞，故不符合题意； (2)当1q ≠时，()1
11
lim 111lim lim lim 111n n n n n n n n n n q S q q a q q q q →∞→∞→∞→∞+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---.
①当1q >时，1lim 11n n q →∞⎛⎫
-→- ⎪⎝⎭
，即
1112q -=-，解得3q =； ②当1q <时，1lim 1n n q →∞⎛⎫
-→+∞ ⎪⎝⎭
，则11lim 2n n n S a →∞+≠，故不符合题意. 综上所述，3q =.
题型72 等差、等比数列的性质及其应用
1. (2013辽宁文4 )下面是关于公差>0d 的等差数列{}n a 的四个命题：
1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；
3:p 数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；
其中的真命题为
A. 12p p ，
B. 34p p ，
C. 23p p ，
D. 14p p ， 1.分析 根据等差数列的性质判定.
【试题解析】因为0d >，所以1n n a a +>，所以1p 是真命题．因为1n n +>，但是n a 的符号不知道，所以2p 是假命题.同理3p 是假命题．
由13(1)340n n a n d a nd d +++--=>，所以4p 是真命题．故选D.
2.(2013江西文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树 的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n *
∈Ν)等于 .
2.【试题解析】 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和 ()()11121222112
n n n n a q S q
+--=
==---.由122100n +-≥，得12102n +≥.由于67264,2128==，
则17n +≥，即6n ≥.
3.(2013江苏14) 在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a ，则满足
n n a a a a a a 2121>+++
的最大正整数n 的值为 .
3.分析 首先由已知条件求出{}n a 的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的
两边求出，用n 表示，得到关于n 的不等式，然后对不等式进行转化，求得n 的取值范围并 进行估算和验证，从而得到n 的最大值.
【试题解析】 设{}n a 的公比为()0q q >，则由已知可得()4121
,2
13,2
a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩
于是()()121
121
32211232n n n a a a -++
+==--，()()112
2
12
1
1232n
n n n n n n a a a a q
--⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
由1212
n n a a a a a a ++
+>可得()()
12
11212
3232n
n n n -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
>，整理得2111
522
212
n n n
-+->.
由2111
522
22
n n n
-+>可得2111
522
n n n -
+>
，即21310
0n n -+<， n <，即12n =，可以验证当12n =时满足1212
n n a a a a a a ++
+>，13n ≥时不满足1212
n n a a a a a a ++
+>，故n 的最大
值为12.
4.(2013重庆文12) 若29a b c ，，，，成等差数列，则c a -= . 4.分析 利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解. 【试题解析】 由题意得该等差数列的公差927514d -=
=-，所以7
22
c a
d -==. 5. (2013陕西文17)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.
(1)若{}n a 是等差数列，推导n S 的计算公式；
(2)若111a q =≠，，且对所有正整数n ，有11n
n q S q
-=-.判断{}n a 是否为等比数列，并证明
你的结论.
5.分析 利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行. 【试题解析】 (1)方法一：设{}n a 的公差为d ，则
12n n S a a a =++…+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦.
又()()1n n n n S a a d a n d =+-+⋅⋅⋅+--⎡⎤⎣⎦，所以()12n n S n a a =+，所以()
12
n n n a a S +=． 方法二：设{}n a 的公差为d ，则
()1211n n S a a a a a d =++=+++…+()11a n d ⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦．
又11n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+()()11112a n d a n d a =+-++-+⋅⋅⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以
()()1122121n S a n d a n d =+-++-+
⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112121a n d na n n d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，
所以()
112
n n n S na d -=+
. (2){}n a 是等比数列.证明如下：
因为11n n q S q -=-，所以1111111n n n n n q q a S S q q +++--=-=---()11n
n q q q q
-==-． 因为11a =，0q ≠，所以当1n ≥时，有11n
n n n a q q a q
+-==.
因此，{}n a 是首项为1且公比为()0q q ≠的等比数列． 6.(2014辽宁文9)设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12
n
a a 为递减数列，则( )
A ．0d >
B ．0d <
C ．10a d >
D ． 10a d < 7.(2014陕西文8)原命题为“若
1
2
n n n a a a n ++<∈+N ，，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ).
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假 8. (2014广东文13)等比数列
{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则
2122332425log log log log log a a a a a ++++=________.
9.(2014江西文13)在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大值，则d 的取值范围是 . 10.(2014陕西文16)(本小题满分12分)
ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.
(1)若c b a ，，成等差数列，求证：()C A C A +=+sin 2sin sin ； (2)若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值.
11.(2015广东文13)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-
则b = ．
11.【试题解析】因为三个正数a ，b ，
c 成等比数列，所以(2
551b ac ==+-=.
因为0b >，所以1b =.
12.(2015全国Ⅱ文5) 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( ). A.5 B.7 C.9 D.11 12.【试题解析】由已知1353a a a ++=，则333a =，31a =. 又因为()153
53552=5=522
a a a S a +⨯== .故选A. 13.(2017
江苏
19)对于给定的正整数k
，若数列
{}
n a 满足
111+n k n
k
n n
n k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
2n k n a k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． (1)证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；
(2)若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 13.【试题解析】 (1)因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-，
从而当4n …
时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++- ()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，
所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”． (2)由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，
因此，当3n …
时，21124n n n n n a a a a a --+++++= ① 当4n …
时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++= ② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥ ③
()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥ ④
将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …
， 所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．
在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-，
在①中，取3n =，则124534
a a a a a +++=，所以312a a d '=-，从而数列{}n a 是等差数列．
评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考． (2015南通基地密卷7第20题)设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在
*k ∈N ，使得2
2n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．
(1)若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；
(2)若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列． 【试题解析】 (1)由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，
且公比1
3
8212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，所以4
12212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．
(2)由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为t ， 由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；
2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α；
则
431311a t a α==，431725a t a α==，4
32139
a t a α==， 所以123ααα==，不妨令123αααα===，则4
3t α=．
所以()321
1
3211
k k k a a a α----==
，()2311
2
2
3
315111
k k k k k a a a t a a α
α
α
---
---====，
所以1
31
3
2
3
3
39111
k k k k k a a a t a a αα
α
--
--====，
综上1
1
n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．
题型73 判断或证明数列是等差、等比数列
1.(2014江苏20)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得
n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．
(1)若数列{}n a 的前n 项和2n n S = (
)*
n ∈N
，求证：{}n
a 是“H 数列”；
(2)设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； (3)求证：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得
n n n a b c =+()
*n ∈N 成立．
2.(2015广东文19)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*
n ∈N ．已知11a =，232a =
，35
4
a =， 且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． (1)求4a 的值； (2)求证：112n n a a +⎧
⎫
-
⎨⎬⎩⎭
为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式．
2.【试题解析】(1)当2n =时，4231458S S S S +=+， 即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+
++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得478a =.
(2)因为211458n n n n S S S S ++-+=+(2n …)，
所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2n …)，
即2144n n n a a a +++=(2n …)，亦即()2114222n n n n a a a a n +++-=-…， 则()2111112222n n n n a a a a n +++⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
…. 当1n =时，3221111222a a a a ⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
，满足上式. 故数列112n n a a +⎧
⎫-
⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为1
2
的等比数列. (3)由(2)可得1
11122n n n a a -+⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，即
11
41122n n n n
a a ++-=⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
所以数列12n n
a ⎧⎫⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬⎛⎫⎪⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
是以1212a =为首项，4为公差的等差数列， 所以()2144212n
n a n n =+-⨯=-⎛⎫
⎪⎝⎭
，即()1
1214222n
n n n a n --⎛⎫
=-⨯= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 的通项公式是()*
1
212
n n n a n --=
∈N . 3.(2015湖南文19)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =， 且()
*1133,n n n a S S n +-=-+∈N . (1)证明：23n n a a +=； (2)求n S .
3.解析(1)由条件，对任意*
n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+，因而对任意*
,2n n ∈N …
，有1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即()
*232,n n a a n n +=∈N …，
又121,2a a ==，所以()3121121333333a S S a a a a =-+=-++==，故对一切*
n ∈N ，
23n n a a +=.
(2)由(I)知，0n a ≠，所以
2
3n n
a a +=，于是数列{}21n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列{}2n a 是首项22a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯， 于是()()21221321242.........n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++=
()()()()1
1
1
33113...3213...3313 (32)
n n n n ----+++++++=+++=
，
从而2122n n n S S a -=-()1331232
n n --=
-⨯()23
5312
n -=
⨯-， 综上所述，()()*3
*2
2353121,23312,2n n n n k k S n k k -⎧⎛⎫⨯-=+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫⎪-=∈ ⎪⎪⎝
⎭⎩N N .
4.(2015湖南文21)函数()()e cos [0,)x f x a x x =∈+∞，记n x 为
()f x 的从小到大的第
n ()
*n ∈N 个极值点.
(1)证明：数列
(){}n
f x 是等比数列；
(2)若对一切()*,n n n x f x ∈N …恒成立，求a 的取值范围. 4.解析(1)(
)π'e cos e sin e cos 4x
x
x f x a x a x x ⎛
⎫=-=
+ ⎪⎝
⎭，
令()'0f x =，由0x …
，得πππ42x m +=-，即*3π
π4
x m m =-∈N ， 若πππ2π2π242k x k -
<+<+，即3ππ
2π2π44k x k -<<+，则πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭；
若ππ3π2π2π242k x k +
<+<+
，即π5π
2π2π44k x k +<<+，则πcos 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 因此，在区间()3π1π,π4m m ⎛
⎫--
⎪⎝
⎭与3πππ,π44m m ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
上，()'f x 的符号总相反，
于是当*3ππ4x m m =-
∈N 时，()f x 取得极值，所以*3π
π,4
n n x n =-∈N ， 此时，()(
)3π
3πππ14
43πe
cos π1e
42n n n n f x a n a -
-+⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
，易知()0n f x ≠， 而
()
()
(
)()
3π
1π2
4
1π1e e 2
n n n n f x f x +-++-==-是常数， 故数列(){}n f
x 是首项为()π
41e f x =，公比为πe -的等比数列. (2)对一切*
n ∈
N 恒成立，即3π43πe 4n n ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
⎛
⎫-
⎪⎝⎭…恒成立，亦即
3π4e
3π
4n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭…恒成立
(因为0a >).
设()()e 0t
g t t t
=>，则()()2
e 1't t g t t -=，令()'0g t =得1t =， 当01t <<时，()'0g t <，所以()g t 在区间()0,1上单调递减； 当1t
>时，()'0g t >，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递增；
因为()0,1n x ∈，且当2n …
时，()11,,n n n x x x +∈+∞<， 所以()()(){}12min
π5πmin ,min ,44n g x g x g x g g ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎣⎦
⎝⎭⎝⎭⎩⎭
π
4
π4e 4πg ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
因此()*
,n n n x
f x ∈N 刦恒成立，当且仅当π4
4e πa ，解得π
4e 4
a -
…， 故实数a 的取值范围是π4e ,4-⎫
+∞⎪⎪
⎣⎭
. 5.(2016浙江文8)如图所示，点列
{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且
1n n A A +=*122,,n n n n A A A A n +++≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表
示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为
1n n n A B B +△的面积，则(
).
•••
A .{}n S 是等差数列 B.{}
2
n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}
2n d 是等差数列
5.A 【试题解析】 设点n A 到对面直线的距离为n h ，则1
1
2
n n n n +
S h B B =.由题目中条件可知
1n n B B +的长度为定值，则121
2
n n S h B B =.那么我们需要知道n h 的关系式，过点1A 作垂直
得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那11tan n n h h A A θ
=+⋅，其中θ为两条线的夹角，那么11121(tan )2
n n S h A A B B θ=+⋅，由题目中条件知
112n n n n A A A A +++=，则()1121n A A n A A =-.所()112121
1tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣
⎦，其中θ为定值，所以n S 为等差数列.故选A.
6.(2017全国1文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知22S =，36S =-. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.
6.【试题解析】 (1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
则2112
311126
S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2
131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+， 整理得()2
20q +=，因此2q =-，所以12a =-，数列{}n a 的通项公式为()2n
n a =-．
(2)由(1)知()()()
()212212123n
n n
S ⎡⎤
-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣
⎦--，
因此()()+12
1222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=-
-----=⎣
⎦⎣⎦
()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣
⎦()41223n
n S ⎡⎤=---=⎣⎦．
所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．
2018年
17．(12分)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=
．
(1)求123b b b ，
，； (2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．
17．【试题解析】 (1)由条件可得a n +1=
2(1)
n n a n
+． 将n =1代入，得a 2=4a 1，而a 1=1，所以a 2=4． 将n =2代入，得a 3=3a 2，所以a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．
(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 理由：由条件可得121n n
a a n n
+=
+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得12n n
a n
-=，所以a n =n ·
2n -1．。