最新因式分解总复习课件教案资料
因式分解ppt讲义
整式乘法 整式乘法 因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右旳变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
Байду номын сангаас
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
阐明
• 本课是在学生学习了整式乘法旳基础上，研究对整 式旳一种变形即因式分解，是把一种多项式转化成 几种整式相乘旳形式，它与整式乘法是互逆变形旳 关系．
你能发觉这两组等式之间 旳联络和区别吗? 它们旳左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
a2-2ab+b2=(a-b)2
十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项), 二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后旳和是否等于一次项.
x2 px q
x
a
x
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
一般环节与注意点
1 一般环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最终是重新整顿再分解.
注意： 1、要分解到不能再分为止，括号内合并同 类项后注意把数字因数提出来。
2、因式分解旳成果是连乘式。 3、因式分解旳成果里没有中括号。
《因式分解》复习课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
(完整版)因式分解复习教案(教师版)
(A)( a- 2)( m2+m)
(B)( a- 2)(m2- m)
(C) m(a- 2)(m- 1)
2．多项式 x( y 3) x 3 (3 y) 的分解因式结果（
）
(D) m(a- 2)( m+ 1)
A． ( y 3)( x x 3 ) B ． ( y 3)( x x3 ) C ． x( y 3)(1 x 2 ) D ． x( y 3)(1 x)
例： ( 1)（ b－a）2+a （a－b） +b （b－a） ( 2)（ a+b －c）（a－ b+c） + （ b－a+c ）·（b－a－c）
（3） a( a b) 3 2a2 (b a)2 2ab(b a)
练习：
1．把多项式 m2(a- 2)+ m(2- a)分解因式等于（
）
1
（若同时含奇数次和偶数
例如：
1． 多项式 - 3ab 6abx 9aby 的公因式是 _________
2．多项式 8a3b 2c 16a2b3 24ab2c 分解因式时，应提取的公因式是（
）
A． 4ab2c
B． 8ab3
C． 2ab3
D． 24a3b3 c
3. x(m n) 2 y(n m) 4 ( m n) 3 的公因式是 __________
， 右边是
。
针对练习 ：下列选项，哪一个是分解因式（
） (学生自主完成此题，并指出错在哪里 )
A ． x 2 9 6x ( x 3)( x 3) 6x B. (x 5)( x 2) x 2 3x 10
C. x2 8 x 16 ( x 4) 2
D. 5x2 y 5x x y
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
2024年中考数学一轮复习：因式分解的相关概念及基本方法 课件
7.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正 方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形 的阴影部分的面积，验证公式是 a2_-_b_2=__(a_+_b_)(a-b)..
b
b
b
b
a
bb a-b
a
a
a
8．把下列各式因式分解： (1)2m(a－b)－3n(b－a)； (2)16x2－64； (3)－4a2＋24a－36. 解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n)．
完全 平方 公式
a2＋2ab＋b2＝__(_a_＋__b_)2___ a2－2ab＋b2＝__(a__－__b_)2___
一提(提取公因式)；二套(套公式 法)；一直分解到不能分解为止
回归教材
教材母题 北师大版八下 P57 例 4
把下列各式分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy.
考点2: 因式分解的相关概念及基本方法
公 因 式
定 义
一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这 个多项式各项的公因式
提 取
定 义
一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以 把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因 式的乘积形式，即 ma＋mb＋mc＝m_(_a_＋__b_＋__c_)_
公 因 式 法
3.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是_(_x_y_－__1_)2_． 4.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝ ___2_0____． 5.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为____9____． 6.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝ _－__6_或__0__．
＝－(x－2y)2.
中考变式
因式分解复习教案新部编本PPT课件
（因式分解）复习
定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系 互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
3、用完全平方分式因式分解：
(1)a2－4a＋4 (2)a2－12ab＋36b2 (3)25x2＋10xy＋y2 (4)16a4＋8a2＋1 (5) (m＋n)2－4(m＋n)＋4 (6) 16a4－40a2＋25
4、用十字相乘法因式分解
1、x2 4x 3
3、y 2 7 y 12
2、a 2 7a 10 4、q 2 6q 8
(5)x 2 4 12 y 9 y 2 (6)a 2 a b2 b
6、因式分解综合：
（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y （3）a2(x－y)－b2(x－y) （4）a4－16 （5）81x4－72x2y2＋16y4 （6）(a2＋b2)2－4a2b2 （7） (x y)2 2(x y) 1 （8）a4－2a2b2＋b4 （9）－2xy－x2－y2 （10）3ax2＋6axy＋3ay2
（5）已知 x2 2x y2 10 y 26 0 ，
求（1）x+2y的平方根（2）2y+2x的立方根
第四章-因式分解(复习课)教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版
第四章因式分解（复习课）教学设计
【教学目标】
1.进一步理解因式分解的概念和意义，了解因式分解和整式乘法的关系——方向相反的恒等变形；
2.复习提公因式法、公式法因式分解的过程，会综合运用提公因式法、公式法分解因式；
【教学重点】综合运用提公因式法、公式法分解因式.
【教学难点】根据题目的结构特点，选择合理的方法进行因式分解.
【教学思路】情境导入→知识回顾→例题讲解→练习巩固→中考链接→小结→作业布置
【教学过程】
环节一：情境导入
环节三：例题讲解
1.本单元复习题。
因式分解复习课教案5篇
因式分解复习课教案5篇第一篇：因式分解复习课教案因式分解复习课教学设计大邑外国语学校晏春霞中考目标：因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数等恒等变形中有直接应用。
教学重点及难点：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法，并能熟练运用。
教学过程：一、中考知识梳理：1、什么叫做因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式（恒等变形）2、分解因式的基本方法：（1）、提（提取公因式法）；（2）、用（运用公式法、十字相乘法）；（3）、分组（分组分解法）二、中考题型例析：1、因式分解的识别下列各式由左边到右边的恒等变形中，是分解因式的是（）①（x+y）(x-y)=(x-y)（x+y）②a（x＋y）＝ax＋ay③x2－4x＋4＝x（x－4）＋4 ④x2－4＝（x＋2）（x－2）⑤x2－x＋＝x2（1－）2、灵活进行因式分解题型一：直接提公因式(1)-12x3z+18x4y(2)3x(a-b)+2y(b-a)题型二：直接用公式(1)x2-9y2(2)4x2+2x+ 题型三：先提公因式再套公式（1）2x2-8（2）-a3+a2b-ab2（3）a2b+2ab+b（4）x4y2-6x2y2-27y2题型四：先分组再套公式（1）x2-y2-3x-3y（2）16+8xy-16x2-y2 题型五：把代数式作为一个整体（1）（a+b）3-4(a+b)（2）(x+y)2-4(x+y-1)3、因式分解与分式的联系(1)当x2-4x+1=0时，求-（1+）的值（2）当x取何值式，分时有意义。
（3）当x取何值式，分时的值为零。
4、因式分解与方程的联系(1)解下列方程:x2-4x-12=0(2)若2x3-x2-5x+k有一个因式x-2,求k的值三、全国各地中考题型1、（2012呼和浩特，4，3分）下列各因式分解正确的是（）A.–x2+(–2)2=(x–2)(x+2)B.x2+2x–1=(x–1)2C.4x2–4x+1=(2x–1)2D.x2–4x=2(x+2)(x–2)2、（2011江苏省无锡市，3，3′）分解因式的结果是（）A．B.x2+1C．D．3、（2012北京，9，4）分解因式：．4、（2012福州，11，4分，）分解因式：x2-16=.5、（2011山东省潍坊市，题号13，分值3）分解因式：6、若是一个完全平方式，则m的值是7、若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=8、当x取何值式，分时的值为零9、当x取何值式，分时有意义10、化简（1+）÷11若x3+5x2+7x+a有一个因式x+1,求a的值12、已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足：a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状。
因式分解复习课课件和学案
因式分解复习课课件和学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2因式分解复习课一.想一想：下列各式从左到右的变形中，哪些是因式分解为什么（1）bc ac b a c -=-)(（2）2222)(b ab a b a ++=+（3）))((22b a b a b a -+=-（4）222)1)(1(1y x x y x +-+=+-概括：把一个多项式写成几个整式乘积的形式叫做把这个多项式因式分解，因式分解是整式乘法的逆变形。
二．做一做：因式分解1．（1）221625y x - （2）322344ab b a b a ++ （3）1+++b a ab （4）1522--x x（5）m m m -+-1)1(2因式分解五步曲：先看有无功因式再看能否套公式十字相乘试一试分组分解要合适因式分解要彻底。
2．小试牛刀：（1）1642-x （2）42242b b a a +- （3）22)(4)(9b a b a --+ （4）2223y xy x +- （5）1222-+-b b a3B CAa cb 三．用一用1．计算：2299101-2．求值（1）当2,3==+xy y x ，求22xy y x +的值（2）已知：054222=+-++b a b a ，求3422-+b a 的值3．已知：a,b,c 是△ABC 的三边长，且满足02322=-+-c b b c a b a ，试判断三角形的形状.思考和感悟：因式分解不可怕,简化计算需要它,条件求值应用它,数学问题想到它.我们真的喜欢它小试牛刀： （1）已知：a,b,c 是△ABC 的三边长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，尝试判断三角形的形状.C A ac b4（2）已知：x.y 为任意有理数， 22y x M +=，xy N 2=，你能确定M ，N 的大小吗为什么教后感。
因式分解综合复习ppt课件
分解因式综合复习
1
知识点1：什么叫因式分解？ 把一个多项式写成几个整式的乘积的方式，叫做把这个多项式分解因式．
例 以下变形能否是因式分解.
A ( x 1)( x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x(x2 2) 1
C 2 x 2 2 y2 2( x 2 y2 ),
2
D x 2 x(1 )
x
2
E 18a3bc=3a2b·6ac
知识点2：分解因式与多项式乘法关系
mambmc
m(abc)
a2 b2 因 式 分 解 (ab)(ab)
a22abb2 整 式 乘 法 (a b ) 2
a22abb2
(a b)2
3.普通步骤 〔1〕确定应提取的公因式；
〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式。
5
例1 用提公因式法将以下各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
x3
(2)3x(a-b)+2y(b-a)
+ (b-a)
=3x(a-b)-2y(a-b) - (a-b)
=(a(-ab-)b()3x-2y) 把以下各式分解因式： 〔 x －y〕3 － 〔 x －y〕
(2)4p(1-q)3+2(q-1)2
6
因式分解的根本方法二:运用公式法 1 熟记公式及其特点 〔1〕平方差公式,:a2-b2=(a+b)(a-b) 〔2〕完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2
因式分解复习PPT课件(华师大版)
1 9
（2） n4 n3 n(53 (xn 1)1(5) x 1)
3
3
（3） ab a3b 2a2b
（4）p2aab(11a2 p21a)a
（5）maxb(1ya2 )2 x y
m x y2 (x y)
1.甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了a，分解结果是 (x+1)(x+16).请你分析一下a、b的值分别为多少， 并写出正确的分解过程.
13.5.3因式分解复习
想想： 什么叫整式乘法？什么又叫因式分解？
下列各式从左到右的变形 中是因式分解的是（ C）
A、 a x y ax ay
B、 x2 9 y (x 3)(x 3) y
C、 x 2 8x 16 x 42
D、
x2
1
x(x
1) x
因式分解的三大方法
1.提公因式法； 2.平方差公式； 3.完全平方公式； 分解中的四个注意 ⑴有公因式的先提公因式； ⑵括号内要合并同类项； ⑶括号内首项系数要为正； ⑷括号内不能再分解；
因式分解的一般步骤：
第一步：先看多项式各项有无公因式， 如有公因式则要先提取公因式；
第二步：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式；
第三步：最后看各因式能否再分解， 如能分解，应分解到不能再分解为止。
提公因式法：
1.公因式确定
（1）系数：取各系数的最大公约数；
（2）字母：取各项相同的字母；
2.已知 x2 y 2 4x 8y 20 0 ，求
x y的值。
3.若n是正整数.试说明3n+2-4×3n+1+10×3n 能被7整除.
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因式分解
1 因式分解定义 2 提公因式法 3 公式法 4 十字相乘法 5 分组分解法
1
因式分解定义
1 因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多 项式的因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
注：必须分解到每个多项式因式不能再分解为止.
1 因式分解定义
例1：判断下列各式从左到右哪些是因式分解? 为什么？
4
十字相乘法
4 十字相乘法
公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
1
a
1
b
例5：把下列各式分解因式
① X2-5x+6
1
-2
1
-3
解：原式=（x-2)(x-3)
② a2-a-2
1
1
1
-2
解：原式=(a+1)(a-2)
4 十字相乘法
练习：( 1 ) x 2 4 x 3 (2)x2 2 x 3
5 综合练习 1 .1 0 0 2 -2 1 0 0 9 9 2 2（. - 8 ）2 0 0（4 - 0 . 1 2 5 ）2 0 0 3 3 .2 2015 -2 0 0 6 2 0 0 4 4 .2 2015 -2 2014 5 .9 9 9 9 1 9 9 6 .2 .1 8 6 1 .2 3 7 1 .2 3 7 1 .1 8 6 7 .4 1 6 4 .2 4 .1 6 3 7 0 4 1 .6 2 1 8 .2 2 5 1 5 2 6 1 3 2
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9
2
提公因式法
2 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
C、x2＋4xy＋y2
D、 y2 －4xy＋4 x2
例5：1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
2 . 已 知 a b 5 ,a b9,则 a 2 b 2_ _ _ 4
3 公式法
练习： 1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（
）
2．将下列各式因式分解：
(1)x2+2x+1；
(2)4a2+4a+1；
3．将下列各式分解因式：
(1)x2-12xy+36y2；
(2)a2-14ab+49b2；
(3)16a4+24a2b2+9b4；
(4)49a2-112ab+64b2．
4 . 若 x y 1 与 x 2 8 x 1 6 互 为 相 反 数 ， 求 x 2 2 x y y 2 的 值
2 提公因式法
练习题：1.分解因式 p（y－x）－q（y－x） 2：找出下列各多项式中各项的 相同因式：
（1）2ab2+ 4abc （2）-m2n3 -3n2m3 （3）2x（x+y）+6x2（x+y）2
3 . 若 m n 1 , 则 （ m - n ） 2 2 m 2 n 的 值 是 _ _ _ _ _ _
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例2：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(y-x)(p+q)
4 . 若 a + b 2 ,a b 1 , 则 a 2 b a b 2 的 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _
3
公式法
3 公式法
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积 的形式，达到分解因式目的。这#43;b)(a-b) 特征：两项、异号、平方形式
3 公式法 练习1．把下列各式因式分解： (1)(m +n)2-n2； (2)169(a-b)2-196(a+ b)2； (3)(2x+y)2-(x+2y)2； (4)(a+ b+c)2-(a+b-c)2； (5)4(2p+3q)2 -(3p-q)2； (6)(x2+y2)2-x2y2． 2．分解因式： (1)81a4-b4； (2)8y4-2y2； (3)3ax2-3ay4； (4)m4-1．
3 . 已 知 a b = 2 ， 求 a 2 b 2 4 b 的 值
3 公式法 a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab＋ b2 ＝（a－b）2 特征：三项、两数平方的和加上（或减去）两数乘积的2倍
例4：下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2＋x＋2y2
B、 x2 ＋4x－4
2
(3)x x 1 2 (4)x2 7 x 6
2
(5)x 4 x 2 1
5
分组分解法
5 分组分解法
分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去 1、分组后可以提公因式 2、分组后可以运用公式
例6：把下列各式分解因式
① 3x+x2-y2-3y
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y) =(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
特征：三项、两数平方的和加 上（或减去）两数乘积的2倍
3 公式法
a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] 特征：两项、异号、平方形式
例3：1.分解因式 x2－（2y）2
解： x2－（2y）2 =（x＋2y）（x－2y）
2 . 已 知 m , n 互 为 相 反 数 ， 且 ( m + 2 ) 2 ( n 2 ) 2 4 , 求 m , n 的 值
② x2-2x-4y2+1
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)
5 分组分解法
1.已知a2b24a6b130,求a,b的值 2.若x22y22xy4y40,求xy的值。 3.已知a2b2 10a8b41，求a,b的值。
5 综合练习
1、对下列多项式进行因式分解： (1)x4-9x2； (2)-5x3+5x2+10x； (3)(a+b)(c-d)-2(a+b)·(c+d)； (4)(a-b)(a-c)+(b-a)·(b-c)； (5)8x2-2y2； (6)x5-x3； (7)9(x+y)2-(x-y)2； (8)4b2c2-(b2+c2-a2)2； (9)(x2+4)2-16x2； (10)m2(m+n)2-n2(m-n)2； (11)2a2(a+b)2-3(a+b)3．