吉林省长市第五中学高二数学上学期第三学程质量检测试

2015－2016学年度高二年级上学期第三学程质量检测
数学试卷（理）
考试时间：100分钟 满分：120分
一、选择题：（共12小题，每小题4分）
1、圆4)2()1(2
2
=-++x x 的圆心坐标和半径是（ ）
A ．（1,2） ,2
B ．（1，-2）, 2
C ．（-1,2）,4
D ．（-1,2），2
2．给定空间中的直线l 及平面α，则“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不必要也不充分条件 3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－6
C ．32
D ．2
3
4．下列说法中，正确的是( ).
A ．数据 5，4，4，3，5，2 的众数是 4
B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C ．数据 2，3，4，5 的标准差是数据 4，6，8，10 的标准差的一半
D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
5．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：
(第5题)
根据上图可得这100名学生中体重在(56.5，64.5)的学生人数是( ).
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
6．直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为 （ ）
A ．
51 B ．5
2
C ．55
D ．552
7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）
F D 1
C 1B 1
A 1
D
C
E
B
A
A ．-1
B ．
23
C ．
32
D ．4
8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2
＋y 2
＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )
A. 3
B. 2
C.3或－ 3
D.2和－ 2 9．已知21,F F 分别是双曲线的左右焦点，以双曲线右支上任意一点P 为圆心，1PF 为半径的圆与以2
F 为圆心、
2121
F F 为半径的圆内切，则双曲线两条渐近线的倾斜角分别为 （ ） A ．ππ43,4 B ．ππ32,3 C ．ππ65,6 D ．ππ12
7
,125
10．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的
值为( )．
A ．－207
B ．207
C ．
2
1
D ．不存在
11．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,分别 是棱1,DD BC 上的点，如果⊥E B 1平面ABF ，则CE 与DF 长度之和为 （ ） A ．1 B ．2
3 C. 2 D. 23
12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( )
A ．(2,0)或(4,6)
B ．(2,0)或(6,4)
C ．(4,6)
D ．(0,2) 二、填空题：（共4小题，每小题4分）
13．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7．现去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 ， ．
14．直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2
－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________．
15．已知5432
()5101051f x x x x x x =+++++,当2x =时，用秦九韶算法求2v =______________．
16．已知抛物线y x =2
上三点C B A ,,，且()BC AB A ⊥-,1,1，当点B 移动时，点C 的横坐标的取
值范围是
三、解答题：（共5小题，共56分）
17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－3
4
，
(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
18、 (10分) 求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上的圆的方程。

19、为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后
画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？ （3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的众数、中位数和平均数是多少？
20．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边PCD ∆所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，
M BC ,22=为BC 的中点。

（1）证明：PM AM ⊥；（2）求锐二面角D AM P --的大小。

21、(本小题满分12分)设j i R y x ,,,∈分别为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单位向量，
i x a =j y )2(++，j y i x b )2(-+=，且8=+b a ，
（1）求点()y x M ,的轨迹方程C ；(2)过点()3,0作直线l 与曲线C 交于B A ,两点，设OB OA OP +=，
O 为坐标原点，是否存在这样的直线l 使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，
说明理由。

D
C
M
B
A P
2015-2016学年度高二年级上学期第三学程质量检测
理科数学答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 答案
二、填空题：
13、14、
14、16、
三、解答题：
17、
18、
19、
20、
D
C
M
P
长春市第五中学
长春市田家炳实验中学
21、
2015-2016学年度高二年级上学期第三学程质量检测 理科数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
C
B
C
C
D
D
C
B
B
A
A
二、填空题：（每小题4分，共16分） 13、9.5，0.016． 14、4 5 15、24 16、]([)+∞-∞-,13,Y
三、解答题：（17、18题每题10分，19、20、21题每题12分，共56分）
17、[解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－3
4(x ＋2)整理得
3x ＋4y －14＝0.
(2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0， d ＝|3×－2＋4×5＋n|32＋42
＝3，
解得n ＝1或－29.
∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.
18、解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，
即4
,23x y x =⎧⎨
=-⎩
得圆心为(4,5)，1910r =+=22(4)(5)10x y ∴-+-=
19、（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）答案见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）补充如下： ① S=S*i
②i>99 ……4分 WHILE 循环程序如下： S=i i=1
WHILE i <=99 S=S*i i=i+2 WEND PRINT S
END ……7分 （Ⅱ）流程图如左图
长 春 市 第 五 中 学
长春市田家炳实验中学
……
20．(本小题满分12分)的
解：（1）以D为坐标原点，,
DA DC所在
直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直
角坐标系-
D xyz，依题意，
可得()(()())
0,0,00,10,2,0
D P C A M
，，，，，
()0
PM AM PM AM
∴==∴⋅=
uuu r uuu r uuu r uuu r
，，，，
,
PM AM AM PM
∴⊥∴⊥
u u u r u u u r
（2）设()
=,,,
n x y z
r
且n⊥
r
平面PAM，则
=0+=0
,,
+2=0
=0
n PM y z
y x
n AM
⎧⎧
⋅
⎪⎪
⎨⎨
⋅⎪⎪
⎪⎩⎩
⎩
r uuu r
r uuu r即，取=1,=
y n
∴
r
,取()
=0,0,1
m
u r
显然m⊥
u r
平面ABCD,cos=
n m
n m
θ
⋅
∴
r u r
r u r
∴锐二面角D
AM
P-
-的大小0
45.
21、(本小题满分12分)
解：（18
=
+，从几何意义上可得点M到()2,01F和()2,02-
F的距离之和为8，即点M的轨迹
为以1F 和2F 为焦点，4=a 的椭圆，因此12,22
==b c ，因此轨迹方程116
12:
2
2=+y x C （2）因为l 过y 轴上的点()3,0，若直线l 是y 轴，则B A ,两点是椭圆的顶点，
所以=+=,∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾，故直线l 的斜率存在，设l 的方程为()()22111,,,,3y x B y x A kx y +=，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=116
1232
2y x kx y ，消y ，得()021183422=-++kx x k ， 此时()()
()021344182
2
>-+-=∆k k ，恒成立，且2213418k k x x +-
=+，2
213421
k
x x +-=因为+=，所以四边形OAPB 是平行四边形，若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则
OB OA ⊥，即0,02121=+∴=⋅y y x x
即(
)()()
09341833421109312
22212
12
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⇒=++++k k k k k x x k x
x k
得1652
=k ，∴45±
=k ，故存在直线34
5
:+±
=x y l ，使得四边形OAPB 是矩形。