导函数的介值定理即布达定理(老黄学高数第142讲)

证明：若函数f在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)=k，
f’+(a)·f’-(b)>0，则在(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=k. 证：不妨设f’+(a)>0，f’-(b)>0，即
由极限保号性质，分别有正数δ1, δ2<(b-a)/2，使得
当x∈U+⁰(a,δ1)时，
>0，即f(x)>k；
老黄学高数
第142讲 布达定理 即导函数的介值定理
区间上连续函数的介值性定理
设函数f在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)≠f(b). 若μ为介于f(a)与f(b)之间的任意实数 (f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b))，则至少存在一点x0∈(a,b)， 使得f(x0)=μ. 即[f(a),f(b)](或[f(b),f(a)])⊂f([a,b]).
且f’(x)=2xsin -
=0.
但 f’(x)= -
不存在.
∴f’(x)在[a,b]上不一定连续.
证：设F(x)=f(x)-kx，则F(x)在[a,b]上可导， 且F’+(a)·F’-(b)=(f’+(a)-k)(f’-(b)-k)<0. ∴存在点ξ∈(a,b)，使得F’(ξ)=f’(ξ)-k=0.
即f’(ξ)=k.
若函数f在[a,b]上可导, f’(x)在[a,b]上连续吗？ 如果连续，请证明；如果不连续，请举出反例. 解：不一定成立. 如, 函数f(x)=x2sin 在R上的任何闭区间[a,b]上可导,
当x∈U-⁰(b,δ2)时，
>0，即f(x)<k；
取x1∈U+⁰(a,δ1), x2∈U-⁰(b,δ2), x1<x2, 则f(x1)>k,f(x2)<k.
∵f在[x1, x2]⊂[a,b]上连续，由介值定理知： 至少存在一点ξ∈(x1, x2)⊂(a,b)，使f(ξ)=k.
达布定理：若函数f在[a,b]上可导，且f’+(a)≠f’-(b)， k为介于f’+(a),f’-(b)之间任一实数，则 至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=k. (导函数的介值定理)