课时讲练通2018版高中数学选修1-1课时提升作业(二十五) 3.4 生活中的优化问题举例

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课时提升作业(二十五)
生活中的优化问题举例
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-错误！未找到引用源。

x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
【解析】选C.y′=-x2+81,令导数y′=-x2+81>0,解得0<x<9;令导数y′=-x2+81<0,解得x>9,
在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+∞)上是减函数,所以在x=9处取极大值,也是最大值.
2.圆柱形金属饮料罐的体积一定,要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径比为( )
A.2∶1
B.1∶2
C.1∶4
D.4∶1
【解题指南】设出高及底面半径,当饮料罐用料最省时,用体积表示出高及半径后求比值.
【解析】选A.
设圆柱形饮料罐的高为h,底面半径为R,
则表面积S=2πRh+2πR2.由V=πR2h,
得h=错误！未找到引用源。

,则S(R)=2πR错误！未找到引用源。

+2πR2
=错误！未找到引用源。

+2πR2,令S′(R)=-错误！未找到引用源。

+4πR=0, 解得R=错误！未找到引用源。

,
从而h=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

,
即h=2R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值,当饮料罐的高与底面直径相等,即h∶R=2∶1时所用材料最省.
3.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等
于( )
A.错误！未找到引用源。

R
B.错误！未找到引用源。

R
C.错误！未找到引用源。

R
D.错误！未找到引用源。

R 【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,
则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-错误！未找到引用源。

h2(0<h<2R).
所以圆柱的体积为V(h)=πr2h=πh错误！未找到引用源。

=πR2h-错误！未找到引用源。

πh3(0<h<2R).
求导数,得V′(h)=πR2-错误！未找到引用源。

πh2
=π错误！未找到引用源。

,
所以0<h<错误！未找到引用源。

时,V′(h)>0;错误！未找到引用源。

<h<2R时,V′(h)<0,
由此可得:V(h)在区间错误！未找到引用源。

上是增函数;在区间错误！未找到引用源。

上是减函数,所以当h=错误！未找到引用源。

时,V(h)取得最大值. 4.(2015·益阳高二检测)某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)=x2错误！未找到引用源。

(0<x<60),则当箱子的体积最大时,箱子底面边长为( )
A.30
B.40
C.50
D.60
【解题指南】V(x)是三次函数,其最值问题可用求导法.
【解析】选 B.V′(x)=-错误！未找到引用源。

x2+60x=-错误！未找到引用源。

x(x-40),
因为0<x<60,所以当0<x<40时,V′(x)>0,此时V(x)单调递增;当40<x<60时, V′(x)<0,此时V(x)单调递减所以x=40是V(x)的极大值,即当箱子的体积最大时,箱子底面边长为40.
5.用长为90cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为( )
A.8cm
B.9cm
C.10cm
D.12cm
【解析】选C.设容器的高为xcm,容器的体积为V(x)cm3,
则V(x)=(90-2x)(48-2x)x
=4x3-276x2+4320x(0<x<24),
因为V′(x)=12x2-552x+4320,
由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),
因为当0<x<10时,V′(x)>0,当10<x<24时,V′(x)<0,
所以当x=10时,V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值,
所以容器高x=10cm时,容器体积V(x)最大.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为.
【解析】设圆柱底面半径为R,高为H,圆柱轴截面的周长l为定值,
则4R+2H=l,所以H=错误！未找到引用源。

-2R,
所以V=SH=πR2H=πR2(错误！未找到引用源。

=πR2错误！未找到引用源。

-2πR3,
则V′=πR l-6πR2,
令V′=0,可得πR l-6πR2=0,
所以πR(l-6R)=0,
l,
所以l-6R=0,所以R=错误！未找到引用源。

6
当R<错误！未找到引用源。

时V′>0,R>错误！未找到引用源。

时,V′<0,故当R=错误！未找到引用源。

时,V取极大值.
故当R=错误！未找到引用源。

时,圆柱体积有最大值,圆柱体积的最大值是:V=πR2错误！未找到引用源。

-2πR3=错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

7.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度
x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=错误！未找到引用源。

x3-错误！未找到引用源。

x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.
【解析】当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了错误！未找到引用源。

小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

x2+错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

(0<x ≤120),
h′(x)=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

(0<x≤120).
令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25升.
答案:80
【补偿训练】甲乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为错误！未找到引用源。

v3元.为使全程运输成本最小,汽车应以速度行驶.
【解析】设全程运输成本为y元,由题意,得
y=错误！未找到引用源。

=240错误！未找到引用源。

,v>0,
y′=240错误！未找到引用源。

.
令y′=0,得v=80.当v>80时,y′>0;
当0<v<80时,y′<0.所以v=80时,y min=720.
答案:80km/h
8.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+错误！未找到引用源。

x3(万元),已知产品单价的平
方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为件时总利润最大.
【解析】设产品单价为p,则有p2=错误！未找到引用源。

,将x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=错误！未找到引用源。

.
设总利润为L,L=L(x)
=错误！未找到引用源。

x-错误！未找到引用源。

(x>0),
即L(x)=错误！未找到引用源。

x-1200-错误！未找到引用源。

x3,
L′(x)=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

,
令L′(x)=0,即错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=0,得x=25,
因为x=25是函数L(x)在(0,+∞)上唯一的极值点,且是极大值点,从而是最大值点.
答案:25
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·泰安高二检测)某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,每台机器
产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2l nx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数.
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少? 【解析】(1)由题意得,所获得的利润为y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12).
(2)由(1)知,y′=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

当4≤x<6时,y′>0,函数在[4,6]上为增函数;当6<x≤12时,y′<0,函数在[6,12]上为减函数,
所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元)
答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-78万元.
【补偿训练】某厂家拟对一商品举行促销活动,当该商品的售价为x元时,全年的促销费用为12(15-2x)(x-4)万元;根据以往的销售经验,实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+错误！未找到引用源。

万件,其中4<x<7.5,a为常数.当该商品的售价为6元时,年销售量为49万件.
(1)求出a的值.
(2)若每件该商品的成本为4元时,写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x 元之间的关系.
(3)当该商品售价为多少元时,使厂家销售该商品所获年利润最大.
【解析】(1)由已知:当x=6元时,t=49万件,
所以49=12(6-8)2+错误！未找到引用源。

,所以a=2.
(2)因为y=(x-4)·t-[12(15-2x)(x-4)]
所以y=(x-4)·错误！未找到引用源。

-12(15-2x)(x-4)
=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2
=12(x-4)(x-7)2+2(4<x<7.5).
(3)y′=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),
令y′=0得x=7或x=5.
列表如下
故当x=5时,y最大=50,
故该商品售价为5元时厂家销售该商品所获年利润最大.
【误区警示】实际问题的求解不要忽视作答.
10.(2015·桂林高二检测)用长为18m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为2∶1,那么高为多少时容器的体积最大?并求出它的最大体积.
【解析】设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为(4.5-3x)m.
由错误！未找到引用源。

解得0<x<错误！未找到引用源。

,
故长方体的体积为
V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3错误！未找到引用源。

,从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x),
令V′(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),
当0<x<1时,V′(x)>0;
当1<x<错误！未找到引用源。

时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值,
从而最大体积为V(1)=9×12-6×13=3(m3),
此时容器的高为4.5-3=1.5(m).
因此,容器高为1.5m时容器的体积最大,最大体积为3m3.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.如图所示,半径为2的☉M切直线AB于点O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB.旋转过程中,OC交☉M于点P.记∠PMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是下图中的( )
【解析】选A.由所给的图示可得,当0<x≤π时,弓形PnO的面积为S=f(x)=
S扇形PnO-S△MPO=2x-2sinx,其导数为f′(x)=2-2cosx,由余弦函数的性质知,此值越来越大,即f(x)的图象上升得越来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增加率为0,由此可以排除D,故选A.
2.将边长为1m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=错误！未找到引用源。

,则S的最小值是( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解题指南】设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形周长、梯形面积后代入求最值.
【解析】选A.设剪成的小正三角形的边长为x,则S=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

(0<x<1).
设S(x)=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

,则
S′(x)=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

.
由S′(x)=0,0<x<1,得x=错误！未找到引用源。

,
当x∈错误！未找到引用源。

时,S′(x)<0,S(x)单调递减;当x∈错误！未找到引用源。

时,S′(x)>0,S(x)单调递增;
故当x=错误！未找到引用源。

时,S的最小值是错误！未找到引用源。

.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0<t ≤30,t∈Z)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出(如前10天的平均售出为错误！未找到引用源。

)的月饼最少为.
【解析】记g(t)=错误！未找到引用源。

=t+错误！未找到引用源。

+10(0<t≤30,t ∈Z),
g′(t)=1-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
令g′(t)>0,得t>2错误！未找到引用源。

,令g′(t)<0,得0<t<2错误！未找到引用源。

,
所以函数g(t)在区间(0,2错误！未找到引用源。

)上单调递减,在区间(2错误！未找到引用源。

,10)上单调递增,
又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,
所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.
答案:17个
4.有一杠杆,在它的一端距支点1m处挂一个49kg的物体,同时加力于杆的此端
使杆保持水平平衡.若杠杆本身每米重2kg,则所加的力最小时杠杆的长度是.
【解析】设杠杆长为xm,则根据题意和力的平衡关系,得
xF(x)=49×1+2x×错误！未找到引用源。

,即F(x)=错误！未找到引用源。

+x(x>0). 令F′(x)=-错误！未找到引用源。

+1=错误！未找到引用源。

=0(x>0),得惟一的极值点x=7;
因为最省力的杠杆长确实存在,所以当杠杆长为7m时最省力.
答案:7m
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=错误！未找到引用源。

+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求m的值.
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
【解析】(1)因为x=4时,y=21,
代入关系式y=错误！未找到引用源。

+4(x-6)2,
得错误！未找到引用源。

+16=21,解得m=10.
(2)由(1)可知,套题每日的销售量y=错误！未找到引用源。

+4(x-6)2,
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)=(x-2)错误！未找到引用源。

=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6), 从而f′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6),
令f′(x)=0,得x=错误！未找到引用源。

,或x=6(舍去)且在错误！未找到引用源。

上,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;在错误！未找到引用源。

上,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
所以x=错误！未找到引用源。

是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x=错误！未找到引用源。

≈3.3时,函数f(x)取得最大值.
故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.
6.(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C 的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直线分别为y,x轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=错误！未找到引用源。

(其中a,b为常数)模型.
(1)求a,b的值.
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
【解析】(1)由题意知,M点的坐标为(5,40),N点的坐标为(20,2.5),代入曲线C 的方程y=错误！未找到引用源。

可得:错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

(2)①由(1)知曲线C的方程为y=错误！未找到引用源。

(5≤x≤20),y′=-错误！未找到引用源。

,所以y′|x=t=-错误！未找到引用源。

即为l的斜率.又当x=t 时,y=错误！未找到引用源。

,所以P点的坐标为错误！未找到引用源。

,所以l 的方程为y-错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

(x-t).令x=0,得y=错误！未找到引用源。

;令y=0,得x=错误！未找到引用源。

t.所以f(t)=错误！未找到引用源。

,其中5≤t≤20;
②由①知f(t)=错误！未找到引用源。

,其中5≤t≤20.令g(t)=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=
错误！未找到引用源。

t2+错误！未找到引用源。

,所以g′(t)=错误！未找到引用源。

t-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

.因为5≤t≤20,令g′(t)<0,得5≤t<10错误！未找到引用源。

;令g′(t)=0,得t=10错误！未找到引用源。

;g′(t)>0,得10错误！未找到引用源。

<t≤20.所以g(t)在区间[5,10错误！未找到引用源。

)单调递减,在(10错误！未找到引用源。

,20]单调递增.所以g(10
错误！未找到引用源。

)=675是g(t)的极小值,也是最小值.所以当t=10错误！未找到引用源。

时f(t)取得最小值,最小值为f(10错误！未找到引用源。

)=15错误！未找到引用源。

.
【补偿训练】新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000
万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①f(x)=错误！未找到引用源。

+2;②f(x)=4l gx-2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:
当x∈[10,1000]时,
①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤错误！未找到引用源。

恒成立,
(2)①对于函数模型f(x)=错误！未找到引用源。

+2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)≥1显然恒成立,
而若使函数f(x)=错误！未找到引用源。

+2≤错误！未找到引用源。

在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤错误！未找到引用源。

不恒成立.
故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型f(x)=4lgx-2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恒成立.
设g(x)=4lgx-2-错误！未找到引用源。

,则g′(x)=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

.
当x≥10时,g′(x)=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

≤错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

<0,
所以g(x)在[10,1000]上是减函数,
从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-错误！未找到引用源。

≤0,即4lgx-2≤错误！未找到引用源。

,所以f(x)≤错误！未找到引用源。

恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
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