新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，
且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．
1
3
B ．
32
C ．
12
D ．1
2．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ）
A ．1
B C ．2
D ．3
3．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左
焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范
围为，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）
A ．
B ．[1 , 2]
C ．[4 8]，
D ．
4．P 是椭圆22
1169
x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k
的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25
5．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线
2219
x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若
126
MF F π
∠=
，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ）
A ．
1
2 B C 1 D 1
7．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若
1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A ．
2
B ．
3
C D 8．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B
两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（ ）
A ．4
B C ．D ．2
9．已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22183
x y +=有相同的焦点，则a =（ ）
A B ．C ．2
D ．4
10．已知双曲线22
22:1(0,0),,x y C a b A B a b
-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P
是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积
为定值2，则双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2
D 11．12,F F 为双曲线2214
x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ︒
∠=，则
12F PF △的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
12．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111
AB BC CA
k k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．2p
二、填空题
13．12F F 、分别为椭圆2
214
x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且
1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________
14．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线
:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0
OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________. 15．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为
1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率
()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.
16．如图，圆O 与离心率为()2222:10x y T a b a b +=>>相切于点()0,1M ，过
点M 引两条互相垂直的直线1l ，2l ，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）．若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d ，2d ，则2
2
12d d +的最大值是__________．
17．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则
PF
PA
的最小值为 ________. 18．已知抛物线2
1:8
C y x =
的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23
MN MF →
→
=时，NOF 的面积是______
19．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，已知两个顶点A 、D 为双曲线W 的两个焦点，其余四个顶点都在双曲线上，则双曲线W 的离心率为________________；
20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为
()4,2，则PB PF +的最小值为________．
三、解答题
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率6e =，一条准线方程为36
x （1）求椭圆C 的方程；
（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，
GOH 315
，求OG 的斜率. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B 3
AB 与圆22
4
:5
O x y +=
相切. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()22
2210x y
a b a b
+=>>的离心率为12，以
椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 （1）求a ，b 的值；
（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得0AP BQ AQ BP ⋅+⋅=，问点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
24．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0-线y x m =-+交椭圆于不同的两点A 、B . （1）求椭圆M 的方程；
（2）设点()2,2C -，是否存在实数m ，使得ABC 的面积为1？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.
25．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
1
2
，其中一个顶点是抛物线
2x =-的焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．
26．已知P 是椭圆2
2:18
x C y +=上的动点.
（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线PA 的斜率；
（2）若Q 是圆2
2
1
:(1)49
D x y ++=
上的动点，求PQ 的最小值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】
解：由3
2
c e a ==，得22222
34c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为222
44x y b +=，
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，
把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222
2
24444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①
②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴
1212121241
4()422
y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为
1
2
． 故选：C ． 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．
2．D
解析：D 【解析】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF
+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三
点共线时PA PD +最小，为213-
-=（），故选D. 3．C
解析：C 【分析】 由题可求得2
12
12
22
ABF AF F BF F c
S
S
S
=+=
，2
2
2
2ABF EAB
EBF EAF S S
S
S
a =++=，
即可得出2a
AB c
=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】
设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，
2
12
12
112121121211
sin sin 22
ABF AF F BF F S
S
S
AF F F AF F BF F F BF F =+=
⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222
c
AF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 又22222111
222
ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
()2211
4222
AB BF AF a a =
++=⨯=, 222
c AB a
∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8a
c
⋅∈，
即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.
【点睛】
本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2a
AB c
=可求解. 4．D
解析：D 【分析】
设(),P x y ，根据标准方程求得2
71616
k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】
因为椭圆方程为椭圆22
1169
x y +=，所以4,7a c =
设(),P x y ， 则()
()
2
2
2
22
127·
771616
k PF PF x y x y x ==-+-+-
,
又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.
5．C
解析：C 【分析】
根据中位线性质得到22111
()22
OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】
如图所示：延长1F H 交2PF 于B
12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，
在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，
⇒2211
1()322
OH BF PF PF a ==-==
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将21
2
OH BF =
是解题的关键. 6．B
解析：B 【分析】
先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求
出12,F M MF ，再根据定义1
22FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】
如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P
+=，
因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，
12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin
6c P F F c π=∠，解得
12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2
π
，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的
中垂线，
故1
21223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=， 故2322c c a +=，即)
31c a =，故离心率31
31
c e a -=
==
+ 故选：B. 【点睛】
求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法： （1）直接法：由a ，c 直接计算离心率c
e a
=
； （2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和c
e a
=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.
7．D
解析：D 【分析】
利用1F PQ 为等边三角形可得2
1222b PF PF a
==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消
去b 后可得()
222
32a c a -=，从而可得离心率.
【详解】
不妨设椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .
令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故22b
PF a
=，
1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即2
1222b PF PF a
==，
由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a
⨯
=，即()222
32a c a -=， 故2
13e =
，解得e =
故选：D. 【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．
8．A
解析：A 【分析】
由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关
系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积
121
1||2
OAB
OAF
OFB
S
S
S
y y =+=
⨯⨯-，代入计算可得选项． 【详解】
由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l
的方程为1)y
x =
-，即1x =+，联立得2
4
1
y x
x ⎧=⎪⎨
=+⎪⎩，化简得240.y --=，设11
22(,),(,),A x y B x y 则1212
4.y y y y +==-
， 所以
1211
1||422
OAB
OAF
OFB
S
S
S
y y =+=
⨯⨯-===， 故选：A ． 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.
9．C
解析：C
【分析】
先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ． 【详解】
椭圆22
183
x y +=
的半焦距为c
∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．
故选：C ． 【点睛】
晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．
10．B
解析：B 【分析】
设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2
可求得2
2b a
，从而可得离心率c e a =．
【详解】
根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则2222
22221,1m n k t a b a b -=-=，
,PA PB t n t n
k k k m k m
-+=
=-+， 所以22
22
PA PB t n t n t n
k k k m k m k m
-+-⋅=
⋅==-+-22
2
22222222
(1)(1)t n b t n a
a a
b b
-==+-+，所以双曲线
的离心率c e a === 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．
11．B
解析：B 【分析】
先求出双曲线的a,b,c ，再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =，再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】
由2214x y -=-得标准方程为2214
x y -=得221,4a b ==，2145c ∴=+
=c ∴= 故12
Rt PF F 中，(
)
2
222121212
12
121222=2F F PF PF PF PF
PF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩
128PF PF ∴=
所以1211
8422
S PF PF =⋅=⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了双曲线的定义和几何性质，考查了直角三角形的边长关系和面积公式，属于中档题.
12．A
解析：A 【解析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(
,0)2
p F ∵0FA FB FC ++
= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222
p p p
x y x y x y -
+-+-= ∴1230y y y ++=
∵2221212121211
()122AB y y x x y y p k y y y y p
--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，
311
2CA y y k p +=. ∴
3231123212()111
02222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p
+++++++=++== 故选A.
二、填空题
13．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简
1
【分析】
由题意知12124,
F P PF F F +==124
3
F P
PF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.
【详解】
因为12F F 、分别为椭圆2
214
x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，
所以12124,F P PF F F +==
则由余弦定理得，2
22
12
12122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，
()
2
121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，
即1212163F P
PF =-‖， 所以1243
F P
PF =‖， 故12PF F ∆的面积
121sin 602
S F P PF ︒=
⋅‖=
设12F PF ∆的内切圆半径为r ，
则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅=
=
+|，
解得1r =
-
故答案为：13
- 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.
14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故
解析：
2
【分析】
取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22
()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则
12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，
122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.
【详解】 如图，
取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22
()0OP OF PF +⋅=，
所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.
因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.
由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.
在12Rt PF F 中，由勾股定理得
2221122||||PF PF F F +=， 即()2
42240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.
故双曲线C 的离心率为10
2
c a =
. 10【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三
解析：32,53⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案.
【详解】
设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()22
2210,0x y m n m n
-=>>，
因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形， 即在椭圆中有1221
122222PF PF a
PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨
==⎪⎩①；同理，在双曲线中有
222PF c m =-②，
由①②可知，2a c m =-，
因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫
=∈∈ ⎪⎝⎭
，且
12
11
1222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. 故答案为：32,53⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.
16．【分析】首先根据题意求出椭圆的标准方程设根据勾股定理和得到再利用二次函数的性质即可得到最大值【详解】由题知：解得椭圆设因为则又因为即所以因为所以当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭 解析：
163
【分析】
首先根据题意求出椭圆的标准方程，设()00,P x y ，根据勾股定理和12l l ⊥得到
()2
2
22
012201PM
x d y d ==+-+，再利用二次函数的性质即可得到最大值.
【详解】
由题知：222
1c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得2a =，1b =，椭圆22:14x
T y +=.
设()00,P x y ，因为12l l ⊥，则()2
2
22
012201PM
x d y d ==+-+
又因为2
20014
x y +=，即220044x y =-.
所以()2
2
2
22
1
2
0001161=33434d d y y y ⎛⎫=+--++ ⎪⎝
⎭+-. 因为011y -≤≤，所以当031y =-时，22
12d d +取得最大值为
163
. 故答案为：163
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的综合应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
17．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线
解析：
2
【分析】
过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求
PF
PA
最小，转化为sin PM
PAM PA
=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

【详解】
由题意可得，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过P 做PM 垂直于准线，M 为垂足，如图所示。

由抛物线定义可得PF PM =，则
sin ,PF PM
PAM PA PA
==∠PAM ∠为锐角，故当PAM ∠最小时，PF PA 最小，即当PA 与
抛物线相切时，
PF
PA
最小。

设直线PA 斜率为k ，所以直线PA 的方程为(1)y k x =+，与抛物线联立2(1)
4y k x y x =+⎧⎨=⎩
可得
2222(24)0k x k x k -++=，因为相切，所以方程只有一个实根，故
2222(24)40k k k ∆=--⨯⨯=，解得21k =，1k =±，不妨令1k =，此时
45PAx ∠=︒，45PAM ∠=︒，所以
sin 452
PF PM PA PA ==︒=。

故答案为
2
【点睛】
本题考查抛物线的定义，图形的几何性质，难点在于分析出当PA 与抛物线相切时，
PAM ∠最小，再联立方程求解即可，属中档题。

18．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线 解析：
43
3
【分析】
由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23
MN MF →
→
=，可得N 在M ，F 之
间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得
3
tan FMN '∠=
，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．
【详解】
由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-， 设NN '垂直于准线交于N '，如图，
由抛物线的性质可得NN NF '=，
因为23
MN MF →
→
=，可得N 在M ，F 之间，
所以22MN NF NN '==，所以1
sin 2
NN FMN MN ''∠==， 所以3tan FMN '∠=
， 即直线MF 的斜率为
3
3
，所以直线MF 的方程为323y x =+，
将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：2
83160x --=，解得3x =或43
x
（舍）， 所以114343
||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．
19．【分析】利用余弦定理求得由双曲线的定义可得的值由此求出的值【详解】解：设正六边形的边长为1中心为以所在直线为轴以为原点建立直角坐标系则在中由余弦定理得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的 31
【分析】
利用余弦定理求得AE ，由双曲线的定义可得2a AE DE =- 的值，由此求出e 的值． 【详解】
解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，
则1c =，
在AEF ∆中，由余弦定理得222
12cos120112()32
AE AF EF AF EF =+-︒=+--=，
3AE ∴=，231a AE DE =-=-，
31
2
a -∴=
， 1
31
31
2
c e a
∴=
==+-， 故答案为：31+．
【点睛】
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，计算
2a AE DE =- 的值是解题的关键．
20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5
【分析】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知
PF PD =，进而把问题转化为
求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】
设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知
PF PD =，
所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时
PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题
21．（1）22193x y += （2）3k =3
k =
【分析】
（1）由离心率可得
6c a =236a c ，结合222b a c =-可得答案.
（2）设直线OG 的方程为y kx =，则0k >，可得出点G 的坐标，求出OG 的长度，由
OG OH ⊥，则1
OH
k k
=-
，从而可得OH 的长度,由1315
25
GOH
S OH OG =⨯⨯=
建立方程可得答案. 【详解】 （1）由离心率6
c e a ==
， 一条准线方程为36x =
236
a c
两式相乘可得2366
3c a a a c ⨯=
==，所以6c
则222963b a c =-=-=
所以椭圆C 的方程为：22
193
x y +=
（2）由G 在第一象限，设直线OG 的方程为y kx =，则0k >
由2219
3y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩，得22931x k =+，则2
2
2
931k y k =+
所以OG == 由OG OH ⊥，则1OH
k k =-
，所以OH ==所以
2
11922
GOH
S
OH OG =⨯⨯=⨯=
化简得4231030k k -+=，解得23k =或2
13
k =
所以直线OG 的斜率为
k =k =【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据三角形面积求直线斜率，解答本题的关键是设出直
线OG 的方程为y kx =
，表示出OG =
OH =
的长度，由
125
GOH
S
OH OG =⨯⨯=
建立方程，属于中档题. 22．（1）2
214
x y +=；（2）是定值，定值为2.
【分析】
（1
）由题意可得==,a b 的值，进而可得椭圆的方程； （2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】
（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=
，所以⎧=⎪⎪=
2a =，
1b =，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=，
（2）证明：设()()2
2
000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.
因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--，令0x =，得0
022
M y y x =-
-， 从而0
02112
M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=
+令0y =，得001
N x
x y =--，从而0
0221
N x AN x y =-=+
-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛
⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
‖ ()22
000000000000000000444842244222222
x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.
所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】
关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.
23．（1）2a =
，b =2）直线Q 恒在定直线2
3
x =上. 【分析】
（1）利用椭圆,,a b c 关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果； （2）根据四点的位置关系可知
AP BP AQ
BQ
=
，由此可得()00,Q x y 中12
012
2y y y y y =
+，将直
线AB 方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得0y ，代入直线方程可知032
x =恒成立，由此可确定结论. 【详解】
（1）以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭
圆短轴的端点，
222121
2232
a b c c e a a b ab ⎧
⎪=+⎪
⎪
∴==⎨⎪⎪⨯⨯==⎪⎩，解得：2a =，3b =.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，
AP BQ AP BQ ⋅=-⋅，AQ BP AQ BP ⋅=⋅， 0AP BQ AQ BP ∴-⋅+⋅=，即
AP BP AQ
BQ
=，
即1210020y y y y y y -=--，整理可得：12
012
2y y y y y =+， 设直线AB ：6x ty =+，
联立直线AB 与椭圆：22
143
6x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()22
3436960t y ty +++=， 12212
236349634t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩
，21201221922163436334y y t y t y y t t +∴=
==-+-+， Q 在线段AB 上，则001626633x ty t t ⎛⎫
=+=⋅-
+= ⎪
⎝⎭
， ∴点Q 恒在定直线2
3
x =
上.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线.
.
24．（1）2214x y +=；（2
）存在，且=m 【分析】
（1）由已知条件求出a 的值，结合离心率可求得c 的值，再由a 、b 、c 的关系可求得b
的值，由此可求得椭圆M 的方程；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，求出点C 到直线AB 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出关于实数m 的等式，解出m 的值，并验证是否满足0∆>，由此可得出结论. 【详解】
（1）由于椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的一个顶点坐标为()2,0-，则2a =，
又因为该椭圆的离心率为
c a =
c =
1b ∴=， 因此，椭圆M 的方程为2
214
x y +=；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，
联立22
14y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2258440x mx m -+-=， ()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->
，解得m <<
由韦达定理可得1285m x x +=，21244
5
m x x -=，
由弦长公式可得
12AB x x =-=
==，
点C 到直线AB
的距离为d =，
所以，ABC
的面积为
11122ABC
S AB d =⋅===△， 整理可得4
2
420250m m -+=，即(
)
2
2
25
0m -=，可得25
2
m =
，满足0∆>.
因此，存在=m ABC 的面积为1. 【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.
25．（1）22
143
x y +=；（2）122y x =-+，3(1,)2M .
【分析】
（1
）由抛物线2x =-
的焦点为(0，
得b =1
2
c a =，从而可求出a ，得椭圆方程；
（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0∆=可求解． 【详解】
（1
）由抛物线2x =-
的焦点为(0，
，它是椭圆的一个顶点，则b = 又12c e a ==，所以222
1
4
a b a -=，解得2a =． ∴椭圆方程为22
143
x y +=；
（2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．此时不满足M 在第一象限.
过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由22
143
1(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪-=-⎩
得222(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，
∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ∆=--+--=-+=，12
k =-， 此时121x x ==，1232
y y ==，即3(1,)2M ．
直线方程为11(2)2y x -=--，即1
22
y x =-+． 切线方程为122
y x =-+，切点3(1,)2M ．
【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆的切线，解答本题的关键是分切线的斜率存在和不存在进行讨论，过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-,由方程联立，其0∆=求解,属于中档题. 26．（1）14-；（2
）
1
7
. 【分析】
（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；
（2
）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案. 【详解】
（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，
因为A ，P 两点都在C 上，所以2
2112222
18
1
8
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=， 因为21122x x +=⨯=，211
212
y y +=⨯=， 所以21211
4
PA y y k x x -=
=--. （2
）设(,)(P x y x -≤≤，则2
218
x y +=，圆心(1,0)D -，
则2
22
2
2
2
786
||(1)(1)18877
x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭，
当8
7
x
时，PD
=
. 因为圆D
17
=. 所以PD
的最小值为11777
-=
. 【点睛】
解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所
在斜率为k ，则（1）椭圆22
221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b
-=中，
2
020y b k x a
⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属
中档题.。