人教版中学七年级数学下册期末综合复习(附答案)

人教版中学七年级数学下册期末综合复习（附答案）
一、选择题
1．下列各式中，没有平方根的是（）
A ．-22
B ．（-2）2
C ．-（-2）
D ．∣-2∣ 2．下列各组图形可以通过平移互相得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A ．()5,4
B ．()3,4-
C ．()2,3-
D ．()4,5-- 4．下列命题是假命题的是（ ）
A ．两个锐角的和是钝角
B ．两条直线相交成的角是直角，则两直线垂直
C ．两点确定一条直线
D ．三角形中至少有两个锐角
5．如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a ，b 中的直线b 上，已知155∠=︒，则2∠的度数为( )
A ．45︒
B ．35︒
C ．55︒
D ．25︒
6．小雪在作业本上做了四道题目：327-3；164；3819；2(6)--6，她做对了的题目有（ ）
A ．1道
B ．2道
C ．3道
D ．4道
7．如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，64BED ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）
A ．26︒
B ．32︒
C ．48︒
D ．54︒ 8．若点(1,3)++M k k 在x 轴上，则点M 的坐标为（ ）
A ．(4,0)
B ．(0,3)-
C ．(2,0)-
D ．(0,2)- 九、填空题
9．16的算术平方根是 _____．
十、填空题
10．已知点P （3，﹣1）关于x 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1﹣b ），则a ＝___，b ＝___．
十一、填空题
11．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠DAE ＝_____________°．
十二、填空题
12．如图，直线a ∥b ，直角三角形的直角顶点在直线b 上，已知∠1=48°，则∠2的度数是___度．
十三、填空题
13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A ＜∠B ，点D 为AB 边上一点且不与A 、B 重合，将△ACD 沿CD 翻折得到△ECD ，直线CE 与直线AB 相交于点F ．若∠A =α，当△DEF 为等腰三角形时，∠ACD =__________________．（用α的代数式表示∠ACD ）
十四、填空题
14．下列命题中，属于真命题的有______（填序号）：①互补的角是邻补角；②无理数是无限不循环小数；③同位角相等；④两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直；⑤如果236x =，那么6x =±．
十五、填空题
15．若P(2－a ，2a+3)到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是____________________． 十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，对于点(),P x y ，我们把点()1,1M y x -++叫做点P 的和谐点．已知点1A 的和谐点为2A ，点2A 的和谐点为3A ，点3A 的和谐点为4A ，……，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ．若点1A 的坐标为()2,4，则点2021A 的坐标为______． 十七、解答题
17．计算：
（1）3116+84-； （2）32|32|--．
十八、解答题
18．已知：215a ab +=，210b ab +=，1a b -=，求下列各式的值：
（1）a b +的值；
（2）22a b +的值．
十九、解答题
19．如图，已知EF ∥AD ，1 2.∠=∠试说明180.DGA BAC ∠+∠=︒请将下面的说明过程填写完整．
解：EF ∥AD ，(已知)
2∴∠=______.(______).
又12∠=∠，(已知)
13∴∠=∠，(______).
AB ∴∥______，(______)
180.(DGA BAC ∴∠+∠=︒______)
二十、解答题
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 经过平移得到三角形A 1B 1C 1，结合图形，完成下列问题：
（1）三角形ABC 先向左平移 个单位，再向 平移 个单位得到三角形A 1B 1C 1． （2）三角形ABC 内有一点P （x ，y ），则在三角形A 1B 1C 1内部的对应点P 1的坐标是 ．
（3）三角形ABC 的面积是 ．
二十一、解答题
21．已知a 是172-的整数部分，b 是173-的小数部分．
（1）求a ，b 的值；
（2）求()()32
4a b -++的平方根． 二十二、解答题
22．如图，用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是 ；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4:3，且面积为2360cm ？
二十三、解答题
23．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．
（1）如图1，求证：90A C ∠+∠=︒；
（2）如图2，过点B 作BD MA ⊥的延长线于点D ，求证：ABD C ∠=∠；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，且BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若AFC BCF ∠=∠，3BFC DBE ∠=∠，求EBC ∠的度数． 二十四、解答题
24．阅读下面材料：
小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，//,AB CD E 为,AB CD 之间一点，连接,,35,37BE DE B D ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．
她是这样做的：
过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以//.EF CD ①
所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠
即BED ∠=_ ； 1．小颖求得BED ∠的度数为__ ；
2．上述思路中的①的理由是__ ；
3．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：
已知：直线//,a b 点,A B 在直线a 上，点,C D 在直线b 上，连接,,AD BC BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠且,BE DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则BED ∠的度数为 ；(用含有,αβ的式子表示)．
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设,ABC ADC αβ∠=∠=，直接写出BED ∠的度数(用含有,αβ的式子表示)．
二十五、解答题
25．己知:如图①，直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上(A 、B 不与O 点重合)，点C 在射线ON 上且2OC =，过点C 作直线//l PQ .点D 在点C 的左边且3CD =
(1)直接写出的BCD ∆面积 ;
(2)如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交OC 于E ，交AC 于F ，试说明CEF CFE ∠=∠;
(3)如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在射线OQ 上运动，ACB ∠的平分线交DA 的延长线于点H ,在点B 运动过程中H ABC
∠∠的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围. 【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
把各数进行化简，再根据平方根的性质即可进行求解．
【详解】
解：A、-22=-4，是负数，负数没有平方根，故该选项符合题意；
B、（-2）2=4，是正数，正数有平方根，故该选项不符合题意；
C、-（-2）=2，是正数，正数有平方根，故该选项不符合题意；
D、∣-2∣=2，是正数，正数有平方根，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】
根据平移的定义逐项分析判断即可．
【详解】
解：A、不能通过平移得到，故本选项错误；
B、能通过平移得到，故本选项正确；
C、不能通过平移得到，故本选项错误；
D、不能通过平移得到，故
解析：B
【分析】
根据平移的定义逐项分析判断即可．
【详解】
解：A、不能通过平移得到，故本选项错误；
B、能通过平移得到，故本选项正确；
C、不能通过平移得到，故本选项错误；
D、不能通过平移得到，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，正确掌握平移的定义和性质是解题关键．
3．C
【分析】
根据各象限内点的坐标特征判断即可．
【详解】
由图可知，小手盖住的点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴(2，－3)符合．其余都不符合
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．
【分析】
选出假命题只要举出反例即可，两个锐角的和是钝角，反例：两个锐角分别是有20°、30°，和是50°，还是锐角，因此是假命题．
【详解】
A.两个锐角的和是钝角是假命题，如两个锐角分别是20°、30°，而它们的和是50°，还是锐角，不是钝角；
B.两条直线相交成的角是直角则两直线垂直是真命题；
C.两点确定一条直线是真命题；
D.三角形中至少有两个锐角是真命题．
故选: A
【点睛】
本题通过判断真假命题来考查了解各类知识的概念和意义，熟练掌握各类知识是解题的关键．
5．B
【分析】
先根据平行线的性质求出∠1的同位角，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可；
【详解】
∵直线a∥b，∠1=55°，
∴∠1=∠3=55°，
∵三角板的直角顶点放在b上，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°-55°=35°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等以及互余的两角，正确掌握知识点是解题的关键；
6．A
【分析】
依据立方根、平方根算术平方根的定义求解即可
【详解】
327
-=-3,故①正确16故②错误;
38133③错误2
-故④错误．
(6)
【点睛】
此题考查立方根，算术平方根和平方根，掌握运算法则是解题关键
7．B
【分析】
利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题．
【详解】
解：∵//AB CD ，64BED ∠=︒，BC 平分ABE ∠，
∴64ABE ∠=︒，11643222
ABC EBC ABE ∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∵//AB CD ，
∴32C ABC ∠=∠=︒，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．C
【分析】
点在轴上，则纵坐标为零，列式计算，得到 的值，从而代入横坐标得到点M 的坐标．
【详解】
解：∵在轴上
∴
∴
∴
∴点的坐标为
故选：C
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中，坐标
解析：C
【分析】
点(1,3)++M k k 在x 轴上，则纵坐标为零，列式计算，得到k 的值，从而代入横坐标得到点M 的坐标．
【详解】
解：∵(1,3)++M k k 在x 轴上
∴30k +=
∴3k =-
∴13+1=2k +=--
∴点M 的坐标为(2,0)-
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中，坐标轴上点的特征，根据知识点切入解题是关键．
九、填空题
9．2
【详解】
∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2.
【点睛】
这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去
解析：2
【详解】
∵，4的算术平方根是2，
∴ 2.
【点睛】
16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.
十、填空题
10．0
【分析】
根据题意结合关于x轴对称点的性质得出关于a，b的等式，进而求出答案．【详解】
解：∵点P（3，-1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），
∴a+b=3，1-b=1，
解析：0
【分析】
根据题意结合关于x轴对称点的性质得出关于a，b的等式，进而求出答案．
【详解】
解：∵点P（3，-1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），
∴a+b=3，1-b=1，
解得：a=3，b=0，
故答案为：3，0．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
十一、填空题
11．10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=1
解析：10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=1
2∠BAC=1
2
×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
十二、填空题
12．42
【分析】
利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵∠4=90°，∠1=48°，
∴∠3=90°-∠1=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°，
故答案为：42．
【点
解析：42
【分析】
利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵∠4=90°，∠1=48°，
∴∠3=90°-∠1=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°，
故答案为：42．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
十三、填空题
13．或或
【分析】
若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】
解：由翻折的性质可知，，
如图1，
当时，则，
，，
，
，
当时，为等腰三角形，
故答案
解析：
3
90
2
α
︒-或3
45
4
α
︒-或
3
90
4
α
︒-
【分析】
若DEF
∆为等腰三角形，则EDF Eα
∠=∠=，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】
解：由翻折的性质可知E Aα
∠=∠=，CDE ADC
∠=∠，
如图1，
当EF DF =时，则EDF E α∠=∠=，
EDF CDE CDB ∠=∠-∠，CDB A ACD ∠=∠+∠，
()ADC A ACD α∴=∠-∠+∠
1802()A ACD =︒-∠+∠
1802()ACD α=︒-+∠， 3902ACD α∴∠=︒-， ∴当3
902
ACD α∠=︒-时，DEF ∆为等腰三角形， 故答案为3902
α︒-． 当ED EF =时，18019022DEF EDF EFD α︒-∠∠=∠==︒-； 121802702
ADC EDF α∴∠=︒+∠=︒-， 11354
ADC α∴∠=︒-， 11801801354ACD A ADC a α∴∠=︒-∠-∠=︒--︒+，3454
α=︒-； DFE A ACF ∠=∠+∠，
DFE DEF ∴∠≠∠，
如图2，
当DE EF =时，12
EDF EFD α∠=∠=；
11801802ACF A EFD αα∴∠=︒-∠-∠=︒--，31802α=︒-， 139024
ACD ACF α∴∠=∠=︒-； ∴当3
902ACD α∠=︒-或3454α︒-或3904
α︒-时，DEF ∆为等腰三角形， 故答案为：3902
α︒-或3454α︒-或3904α︒-． 【点睛】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理．
十四、填空题
14．②④⑤
【分析】
根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可．
【详解】
解：①邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，故错误，是假命题；
②无理数是无限不循环小数，正确，是真命题；
③
解析：②④⑤
【分析】
根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可．
【详解】
解：①邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，故错误，是假命题；
②无理数是无限不循环小数，正确，是真命题；
③两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
④如图所示，直线a，b被直线c所截，且a//b，直线AB平分∠CAE，直线CD平分∠ACF，AB，CD相交于点G．求证：AB⊥CD．
证明：∵a//b，
∴∠CAE+∠ACF=180°．
又AB平分∠CAE，CD平分∠ACF，
所以∠1=1
2∠CAE，∠2=1
2
∠ACF．
所以∠1+∠2=1
2∠CAE+1
2
∠ACF
=1 2(∠CAE+∠ACF)=1
2
×180°=90°．
又∵△ACG的内角和为180°，
∴∠AGC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°，
∴AB⊥CD．
∴两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直，正确，是真命题；
⑤如果236
x=，那么6
x=±，正确，是真命题．
故答案为：②④⑤．
【点睛】
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
十五、填空题
15．（，）或（7，－7）.
【分析】
根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案.
【详解】
解：∵P(2－a ，2a+3)到两坐标轴的距离相等，
∴.
∴或，
解得或，
当时，P 点
解析：（73，73
）或（7，－7）. 【分析】
根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案.
【详解】
解：∵P (2－a ，2a +3)到两坐标轴的距离相等， ∴223a a -=+.
∴223a a -=+或2(23)a a -=-+， 解得13
a =-或5a =-， 当13
a =-时，P 点坐标为（73，73）； 当5a =-时，P 点坐标为（7，－7）. 故答案为（73，73
）或（7，－7）. 【点睛】
本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.
十六、填空题
16．【分析】
根据“和谐点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定点A2021的坐标即可．
【详解】
解：∵A1的坐标为（2，4），
∴A
2,4
解析：()
【分析】
根据“和谐点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定点A2021的坐标即可．
【详解】
解：∵A1的坐标为（2，4），
∴A2（−3，3），A3（−2，−2），A4（3，−1），A5（2，4），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505•••1，
∴点A2021的坐标与A1的坐标相同，为（2，4）．
2,4．
故答案为：()
【点睛】
本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“和谐点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
十七、解答题
17．（1）5；（2）4﹣．
【分析】
（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接去绝对值进而计算得出答案．
【详解】
（1）原式＝4+2﹣
＝5；
（2）原式＝3﹣（﹣）
＝3
；（2）
解析：（1）51
2
【分析】
（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接去绝对值进而计算得出答案．
【详解】
（1）原式＝4+2﹣1
2
；
＝51
2
（2）原式＝
＝
＝
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
十八、解答题
18．（1）±5；（2）13
【分析】
（1）将已知两式相减，再利用完全平方公式得到，可得结果；
（2）根据完全平方公式可得=，代入计算即可
【详解】
解：（1）∵①，②，
①+②得：，即，
∴；
（2）
解析：（1）±5；（2）13
【分析】
（1）将已知两式相减，再利用完全平方公式得到()2
25a b +=，可得结果；
（2）根据完全平方公式可得22a b +=()()2212a b a b ⎡⎤++-⎣⎦，代入计算即可 【详解】
解：（1）∵215a ab +=①，210b ab +=②，
①+②得：22225a b ab ++=，即()225a b +=，
∴5a b +=±；
（2）∵1a b -=，
∴22a b +=()()2212a b a b ⎡⎤++-⎣⎦=()221512
⎡⎤±+⎣⎦=13． 【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变式应用，熟练应用完全平方公式的变式进行计算是解决本题的关键．
十九、解答题
19．；两直线平行，同位角相等 ；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】
解：EF ∥AD ，（已知）
（两直线平行，同位角相等）
解析：3∠ ；两直线平行，同位角相等 ；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】 解：EF ∥AD ，（已知）
23∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）
又12∠=∠，（已知）
13∠∠∴=，（等量代换）
AB DG ∴∥，（内错角相等，两直线平行）
180DGA BAC ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：3∠ ；两直线平行，同位角相等 ；等量代换；DG ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）5，下，4；（2）（，）；（3）7．
【分析】
（1）根据题图直接判断即可；（2）由平移的性质：上加下减，左减右加解答即可；（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
【详解】
解：（1）根据题图
解析：（1）5，下，4；（2）（5x -，4y -）；（3）7．
【分析】
（1）根据题图直接判断即可；（2）由平移的性质：上加下减，左减右加解答即可；（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
【详解】
解：（1）根据题图可知，三角形ABC 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位得到三角形A 1B 1C 1；
故答案是：5，下，4；
（2）由平移的性质：上加下减，左减右加可知，三角形ABC 内有一点P （x ，y ），则在三角形A 1B 1C 1内部的对应点P 1的坐标是（5x -，4y -），
故答案是：（5x -，4y -）；
（3）11144142423162437222
ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=， 故答案是：7．
【点睛】
本题考查作图：平移变换，三角形的面积等知识，熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）a=2，b=；（2）±3
【分析】
（1）首先估算出的范围，从而得到和的范围，可得a ，b 值；
（2）将a ，b 的值代入计算，再求平方根即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，，
∴a=2，b
解析：（1）a =2，b 4；（2）±3
【分析】
（123的范围，可得a ，b 值； （2）将a ，b 的值代入计算，再求平方根即可．
【详解】
解：（1）∵< ∴45<，
∴
223<，132<<，
∴a =2，b 314-；
（2）()()32
4a b -++
=())23424++- =9
∴()()32
4a b -++的平方根为±3． 【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，平方根的定义，正确得出a ，b 的值是解题关键． 二十二、解答题
22．（1）；（2）无法裁出这样的长方形．
【分析】
（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解； （2）设长方形长为cm ，宽为cm ，根据题意列出方程，解方程比较4x 与20的大小
解析：（1）20；（2）无法裁出这样的长方形．
【分析】
（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；
（2）设长方形长为4x cm ，宽为3x cm ，根据题意列出方程，解方程比较4x 与20的大小即可．
【详解】
解：（1）由题意得，大正方形的面积为200+200=400cm 2，
∴cm ；
()2根据题意设长方形长为4x cm ，宽为3x cm ，
由题:
43360x x ⋅= 则230x =
0x
x ∴=
∴长为43020>
∴无法裁出这样的长方形.
【点睛】
本题考查了算术平方根，根据题意列出算式（方程）是解决此题的关键. 二十三、解答题
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；
（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可； （3）设∠DBE=a ，则∠BFC=3
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）︒=∠105EBC ．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到C BDA ∠=∠,然后结合AB BC ⊥即可证明； （2）过B 作//BH DM ，先说明ABD CBH ∠=∠，然后再说明//BH NC 得到CBH C ∠=∠，最后运用等量代换解答即可；
（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠C =2a ，∠FBC =12∠DBC =a +45°，根据三角形内角和可得∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，可得
∠AFC =∠BCF 的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC +∠NCF =180°，代入即可算出a 的度数，进而完成解答．
【详解】
（1）证明：∵//AM CN ，
∴C BDA ∠=∠，
∵AB BC ⊥于B ，
∴90B ∠=︒，
∴90A BDA ∠+∠=︒，
∴90A C ∠+∠=︒；
（2）证明：过B 作//BH DM ，
∵BD MA ⊥，
∴90ABD ABH ∠+∠=︒，
又∵AB BC ⊥，
∴90ABH CBH ∠+∠=︒，
∴ABD CBH ∠=∠，
∵//BH DM ，//AM CN
∴//BH NC ，
∴CBH C ∠=∠，
∴ABD C ∠=∠；
（3）设∠DBE =a ，则∠BFC =3a ，
∵BE 平分∠ABD ，
∴∠ABD =∠C =2a ，
又∵AB ⊥BC ，BF 平分∠DBC ，
∴∠DBC =∠ABD +∠ABC =2a +90，即：∠FBC =1
2∠DBC =a +45°
又∵∠BFC +∠FBC +∠BCF =180°，即：3a +a +45°+∠BCF =180°
∴∠BCF =135°-4a ，
∴∠AFC =∠BCF =135°-4a ，
又∵AM //CN ，
∴∠AFC +∠ NCF =180°，即：∠AFC +∠BCN +∠BCF =180°，
∴135°-4a +135°-4a +2a =180，解得a =15°，
∴∠ABE =15°，
∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键． 二十四、解答题
24．；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．
【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据B
解析：1.72；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）1122
αβ+；（2）1118022
αβ-+． 【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠求出11,22
ABE CDE αβ∠=∠=，过点E 作EF ∥AB ，根据平行线的性质求出∠BEF =12α，11801802
DEF CDE β∠=︒-∠=︒-，再利用周角求出答案．
【详解】
1、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以//.EF CD ①
所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠
即BED ∠=72；
故答案为：72；
2、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以EF ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；
3、（1）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠
∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，由1可得∠BED =BEF FED ABE CDE ∠+∠=∠+∠，
∴∠BED =1122
αβ+， 故答案为：1122
αβ+；
（2）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠ ∴1111,2222ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，则∠ABE =∠BEF =12
α， ∵//,AB CD
∴EF ∥CD ，
∴180CDE DEF ∠+∠=︒，
∴11801802
DEF CDE β∠=︒-∠=︒-， ∴11360360(180)22BED DEF BEF βα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=1118022
αβ-+．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推论，正确引出辅助线是解题的关键．
二十五、解答题
25．(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD 的高为OC ，所以S △BCD=CD•OC ，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠
解析：(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD 的高为OC ，所以S △BCD =12
CD •OC ，（2）利用∠CFE +∠CBF =90°，∠OBE +∠OEB =90°，求出∠CEF =∠CFE ．
（3）由∠ABC +∠ACB =2∠DAC ，∠H +∠HCA =∠DAC ，∠ACB =2∠HCA ，求出∠ABC =2∠H ，
即可得答案．
详解：（1）S △BCD =12CD •OC =12
×3×2=3． （2）如图②，∵AC ⊥BC ，∴∠BCF =90°，∴∠CFE +∠CBF =90°．∵直线MN ⊥直线PQ ，∴∠BOC =∠OBE +∠OEB =90°．∵BF 是∠CBA 的平分线，∴∠CBF =∠OBE ．∵∠CEF =∠OBE ，∴∠CFE +∠CBF =∠CEF +∠OBE ，∴∠CEF =∠CFE ．
（3）如图③，∵直线l ∥PQ ，∴∠ADC =∠PAD ．∵∠ADC =∠DAC
∴∠CAP =2∠DAC ．∵∠ABC +∠ACB =∠CAP ，
∴∠ABC +∠ACB =2∠DAC ．∵∠H +∠HCA =∠DAC ，∴∠ABC +∠ACB =2∠H +2∠HCA ∵CH 是，∠ACB 的平分线，∴∠ACB =2∠HCA ，∴∠ABC =2∠H ，∴H ABC ∠∠=12
．
点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解．。