2020-2021学年内蒙古赤峰二中高一上期末文科数学试卷

【最新】内蒙古赤峰二中高一上期末文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2
{4,21,}A a a =--，{5,1,9}B a a =--，且{9}A B =，则a 的值是（ ）
A ．3a =
B ．3a =-
C ．3a =±
D ．5a =或3a =± 2．01120角所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．若角α的终边经过点34
(,)55
P -，则sin tan αα⋅=（ ）
A ．1615
B ．1615-
C ．1516
D ．1516
-
4．函数22log (1)x
y x =++在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．在ABC ∆中，若1
tan 3
A =
，tan 2B =-，则角C 等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2
π
6．要得到函数cos 2y x =的图象，只需将cos(2)4
y x π
=+
的图象（ ）
A ．向左平移
8π
个单位长度 B ．向右平移8π
个单位长度
C ．向左平移4π
个单位长度
D ．向右平移4
π
个单位长度
7．若()tan()4
f x x π
=+，则（ ）
A ．(0)(1)(1)f f f >->
B ．(0)(1)(1)f f f >>-
C ．(1)(0)(1)f f f >>-
D ．(1)(0)(1)f f f ->>
8的是（ ）
A ．00sin15cos15
B ．2
2
cos sin 12
12
π
π
-
C ．00
1tan151tan15
+- D ．0
1cos302
+
9．三个数30.99，2log 0.6，3log π的大小关系为（ ）
A ．3
32log 0.99log 0.6π<<
B ．3
23log 0.6log 0.99π<< C ．3
230.99log 0.6log π<< D ．3
23log 0.60.99log π<<
10．设定义在区间(),b b -上的函数 ()1lg 12ax
f x x
+=-是奇函数 (),,2a b R a ∈≠-且，则b
a 的取值范围是（ ）
A.(
1,2⎤⎦ B.2,22⎡⎤
⎢⎥⎣ C.()1,2 D.()
0,2
11．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是（ ）
12．已知0x 是函数1
()21x
f x x
=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（ ）
A ．1()0f x <，()20f x <
B ．1()0f x <，()20f x >
C ．()10f x >，()20f x <
D ．()10f x >，()20f x >
二、填空题 13．求值：25sin
3
π
= ． 14．已知函数log (3)2(0,1)a y x a a =-+>≠的图象过定点A ，若点A 也在幂函数
()f x 的图象上，则(2)f = ．
15．若锐角,αβ
满足(1)(1)4αβ++=，则αβ+= ． 16．下列说法：
①扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角弧度数为2rad ； ②函数()2cos (sin cos )f x x x x =+
；
③若α是第三象限角，则sin
cos 2
2
sin
cos
2
2
y α
α
=
+的值为0或-2；
④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同； 其中正确的是 ．（写出所有正确答案）
三、解答题 17
．已知函数y =
的定义域为集合A ，集合{|10,*}B x ax a N =-<∈，集合12
{|log 1}C x x =>，C 是A B 的真子集，求
（1）A C ；
（2）a 的值．
18．sin()cos(10)tan(3)
2()5tan()sin()
2
f π
απααπαπ
παα---+=++．
（1）化简()f α； （2）若(0,
)2π
α∈，且1
sin()63
πα-=，求()f α的值．
19．已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=
．
（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间． 20．（1）已知2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，求cos sin cos sin αα
αα
+-的值；
（2）已知,αβ均为锐角，且cos()αβ+=sin()αβ-=2β． 21．函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
在它的某一个周期内的单调减区间是
511[
,]1212
ππ
． （1）求()f x 的解析式；
（2）将()y f x =的图象先向右平移
6
π
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88
x ππ∈，不等式|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围． 22．已知函数2
()||21f x ax x a =-+-，（a 为实常数）． （1）若1a =，求()f x 的单调区间；
（2）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．
参考答案
1．B 【解析】 试题分析：因为{9}A
B =，所以9A ∈，若219a -=，则5a =，此时{4,9,25}A =-，
{0,4,9}B =-，不合题意；若29a =，则3a =±，3a =-时，{4,7,9}A =--，{8,4,9}B =-，符合题意，3a =时，{4,5,9}A =-，B 中元素512a a -=-=-，不合题意，所以3a =-，故选B ．
考点：集合的运算，集合的概念． 2．A 【解析】
试题分析：1120336040︒=⨯︒+︒，角1120°与角40°的终边相同，而40°角是第一象限角，故1120是第一象限角．故选A ． 考点：任意角和弧度制． 3．A 【解析】
试题分析：由已知4sin 5α=-，3
cos 5α=，4
45tan 335
α-
==-，所以
4416
sin tan ()5315
αα⋅=-⨯-=．
考点：三角函数的定义． 4．C 【解析】
试题分析：因为函数2x
y =与2log (1)y x =+是增函数，所以22log (1)x
y x =++在区间
[0,1]上是增函数，因此122log (11)3y ++=最大＝，022log (01)1y =++=最小，所以和为
4．故选C ． 考点：函数的最值． 5．B 【解析】
试题分析：由已知
tan tan[()]tan()
C A B A B π=-+=-+12
tan tan 311tan tan 1(2)3
A B A B -+=-=---⨯-1=，所以4C π=，故选B ．
考点：两角和的正切公式． 6．B 【解析】
试题分析：∵cos 2cos(2)cos[2()]4484y x x x π
πππ==+-=-+，
∴将cos(2)4
y x π
=+的图象向右平移
8
π
个单位长度得到函数cos 2y x =的图象． 考点：三角函数图象的平移变换． 7．A 【解析】
试题分析：()tan()4f x x π
=+
在3(,)44
π
π-上是增函数，(1)(1)f f π=-，又311044
π
ππ-<-<-<<，所以(1)(1)(0)f f f π-<-<，故选A ． 考点：正切函数的的单调性． 8．C 【解析】
试题分析：00sin15cos1511sin 3024=
︒=，22
cos sin 1212
ππ
-cos 6π== 001tan151tan15+
-tan 45tan15tan 601tan 45tan15︒+︒
==︒=-︒︒
cos15=︒，故选C ． 考点：二倍角公式． 9．D 【解析】
试题分析：因为2log 0.60<，300.991<<，3log 1π>，所以3
23log 0.60.99log π<<．故
选D ．
考点：比较大小． 10．A
【解析】
试题分析：
定义在区间),(b b -上的函数x
ax
x f 211lg )(-+=是奇函数，0)()(=+-∴x f x f ；
∴0211lg 211lg =-+++-x ax x ax ；0)211211lg(=-+⨯+-∴x ax x ax ，222411x x a -=-∴；
2,2=∴-≠a a ，
x x x f 2121lg
)(-+=∴，令02121>-+x x ，可得2121<<-x ，2
1
0≤<∴b ，b a a ∴=,2 的取
值范围是；故选A.
考点：函数的奇偶性，对数函数指数函数的性质. 11．A 【解析】
试题分析：由图象知2T π>，即22a
π
π>，01a <<，又01b <<，所以log ()a y x b =+的图象只能是A ．
考点：()sin()f x A x ωϕ=+的图象，对数函数的图象．
【名师点睛】1．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋k （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）中的参数的确定方法：在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝2M m -，k ＝2
M m
+，ω由周期T 确定，即由
2π
ω
＝T 求出，φ由特殊点确定．
2．函数图象的平移：设0a >，函数()y f x a =+是由()y f x =向左平移a 个单位得到的；函数()y f x a =-是由()y f x =向右平移a 个单位得到的． 12．B 【分析】
转化0x 是函数1()21x
f x x
=+
-的一个零点为0x 是函数2x
y =与11y x =-的交点的横坐
标，画出函数图像，利用图像判断即可 【详解】
因为0x 是函数1()21x
f x x
=+
-的一个零点，则0x 是函数2x
y =与11y x =-的交点的横坐
标，画出函数图像，如图所示，
则当()101,x x ∈时，2x
y =在1
1y x =
-下方，即()10<f x ； 当()20,x x ∈+∞时，2x
y =在11
y x =-上方，即()20f x >，
故选：B 【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
13【解析】
试题分析：25sin
sin(8)sin 3332
ππππ=+==． 考点：诱导公式．
14 【解析】
试题分析：由31x -=得，4,2x y ==，即(4,2)A ，设()a
f x x =，则42a
=，12
a =
，
所以12
(2)2f ==
考点：对数函数的性质，幂函数的定义． 15．
3
π 【解析】
试题分析：由(1)(1)4αβ++=得1tan )3tan tan 4αβαβ++=，
所以tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=
=-,αβ都是锐角，所以3
π
αβ+=．
考点：两角和与差的正切公式．
【名师点睛】1．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T （α±β）可变形为： tan α±tan β＝tan （α±β）（1∓tanαtanβ）， tan αtan β＝1－
()tan tan tan αβαβ++＝()
tan tan tan αβ
αβ--－1．
2
．在求出角的三角函数值，如tan()αβ+=小，如本题中没有,αβ是锐角这个条件，则结论为,3
k k Z π
αβπ+=+∈，这是三角函数
求角时的易错点． 16．① 【解析】
试题分析：①设扇形的半径为r ，弧长为l ，则28
{14
2
l r lr +==，解得2
{4r l ==，所以其圆心角为
4
22
l r θ=
==（弧度）．①正确； ②2()2cos (sin cos )2sin cos 2cos sin 2cos 21
f x x x x x x x x x =+=+=+
+)14
x π
=++
1，②错；
③α是第三象限角，设322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，则3,224
k k k Z παπππ+<<+∈，所以
2α是第二象限角或第四象限角，当2α是第二象限角时，sin 0,cos 022αα><，当2
α
是
第四象限角时，sin 0,cos 022αα，所以sin
2sin 2α
与cos
2cos
2
α
中一个为1，一个为－1，它们的和为0，即0y =．③错； ④当6
π
α=
，56
π
β=
时，也有sin sin αβ=，此时,αβ的终边不相同．④错． 故填①．
考点：命题真假的判断．
【名师点睛】本题考查命题真假的判断，要求对每个命题进行正确的判断．在求三角函数的
最值时，一般要把函数化为一个函数的形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，再由正弦
函数的性质可得最大值；在求sin
cos 2
2
sin
cos
2
2
y α
α
=
+的值时，主要是正确确定角
2
α
的象限，从而确定函数值的符号，这里一定要记住各象限角三角函数的符号；由三角函数的定义，知当,αβ的终边相同或者终边关于y 轴对称时，它们的正弦值相等，即sin sin αβ=． 17．（1）(,)1
02
；（2）1． 【解析】
试题分析：（1）明确集合A ，C 的元素，由交集定义可得；（2）求出集合B ，及A
B ，由
真子集的定义可得a 的不等式11
2
a >，由a 是正整数可得结论． 试题解析：（1）由题意(0,)A =+∞，1(0,)2C =，∴1
(0,)2
A C =．
（2）1
(,)B a =-∞，*a N ∈，
1
(0,)A B a
=，
∵C A
B ⊂
≠，∴
11
2
a >，又0a >， ∴02a <<，*a N ∈，∴1a =． 考点：集合的运算，集合的包含关系． 18．（1）cos α-
；（2）1()6
f α-=． 【解析】
试题分析：（1）由诱导公式可化简；（2）考虑到()6
6
π
π
αα=-
+
，从而
cos cos[()]66
ππ
αα=-+
cos()cos sin()sin 6666ππππαα=---，只要再求得cos()6
π
α-即可．
试题解析：（1）cos cos (tan )
()cos tan cos f ααααααα
-==-．
（2）(0,)2πα∈，∴663πππα-<-<，且1
sin()63
πα-=．
∴cos()63
π
α-
==，
∴1
cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666
6
π
πππππ
αααα=-
+=---=
，
∴1()6
f α-=
． 考点：诱导公式，两角和与差的正弦公式，同角关系．
19．（1）定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈，最小正周期T π=；（2）
37[,],88
k k k Z ππ
ππ+
+∈． 【解析】
试题分析：（1）首先把函数化为()sin()f x A x k ωϕ=++的形式，需要用到二倍角公式，降幂公式，两角差的正弦公式，由公式2T π
ω
=
得周期，定义域是函数式有意义即可，即分
母不为0；（2）由正弦函数的减区间可求得题中函数的减区间，即解不等式
32222
4
2
k x k π
π
π
ππ+
≤-
≤+
，同时注意函数的定义域． 试题解析：（1）由sin 0x ≠，得,x k k Z π≠∈，所以()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈． 因
为
(sin cos )sin 2()2cos (sin cos )sin 2cos 21
sin x x x
f x x x x x x x
-=
=-=--
)14
x π
=--，
所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=． （2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]2
2
k k π
π
ππ++
()k Z ∈， 由32222
4
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
，,x k k Z π≠∈， 得37,88
k x k k Z ππππ+
≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为37[,],88
k k k Z ππ
ππ++∈．
考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式，三角函数的周期、单调性． 【名师点睛】1．y ＝Asin （ωx ＋φ）和y ＝Acos （ωx ＋φ）的最小正周期为
2π
ω
，y ＝tan （ωx
＋φ）的最小正周期为
πω
． 2．求形如y ＝Asin （ωx ＋φ）＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y ＝Acos （ωx ＋φ）和y ＝Atan （ωx ＋φ）的单调区间类似． 20．（1）322；（2）4
π
． 【解析】
试题分析：（1）化简待求式，得cos sin cos sin +-ααααtan
tan 1tan 4tan()1tan 4
1tan tan 4
π
α
απαπαα++===+--，
由()()44
ππ
ααββ+=+--，应用两角和的正切公式可得结论；（2）要求2β，由于2β
(0,)π∈，因此我们先求cos 2β，又2()()βαβαβ=+--，因此我们还要求sin(),cos()αβαβ+-，在已知条件下，这两个值均为正，由同角关系（平方关系）可得，
再应用两角差的余弦公式可得cos 2β．
试题解析：（1）tan tan
cos sin 4tan[()()]tan()44cos sin 1tan tan 4
π
απ
παααββαπαα
α+++--
=+=
=--， 21tan()tan()
3544tan[()()]214221tan()tan()1454
π
αββπαββπαββ-+--+--=
==++-+⨯． （2）∵,αβ均为锐角，∴0αβπ<+<
，∴sin()5
αβ+==
， 又∵2
2
π
π
αβ-
<-<
，∴cos()αβ-==
，
∴cos(2)cos[()()]βαβαβ=+--== ∵β为锐角，∴02βπ<<，∴24
π
β=．
考点：三角函数的求值．
【名师点睛】已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思维为：
（1）先化简所求式子；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手） （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 21．（1）()sin(2)3
f x x π
=-；
（2）1
02
m <<． 【解析】
试题分析：（1）结合五点法，5()12πf 是最大值，11()12πf 是最小值，半周期为11512122
πππ
-=，
由此可先求得ω，再由最大（小）值求得φ；（2）函数变换后得2()sin(4)3
g x x π
=-，不
等式|()|1g x m -<恒成立，即1()1m g x m -<<+恒成立，因此只要求得()g x 在3[,]
88
ππ
上的最大值和最小值即可得结论． 试题解析：（1）由条件，115212122T
πππ=-=，∴2ππω=，∴2ω=，又5sin(2)112
π
ϕ⨯+=，
∴3
π
ϕ=-
，∴()f x 的解析式为()sin(2)3
f x x π
=-
．
（2）将()y f x =的图象先向右平移6
π
个单位，得2sin(2)3y x π=-，
∴2()sin(4)3
g x x π
=-， 而3[
,
]88x ππ
∈，∴2546
36
x π
ππ
-≤-
≤
， ∴函数()g x 在3[,
]88ππ
上的最大值为1，此时2432x ππ-
=，∴724x π=
；最小值为1
2
-，此时2436x ππ-
=-，∴8
x π
=． 3[,]88
x ππ
∈时，不等式|()|1g x m -<恒成立，即1()1m g x m -<<+恒成立，
即max min ()1()1g x m g x m <+⎧⎨>-⎩，∴11
112
m m <+⎧⎪⎨->-⎪⎩，∴102m <<．
考点：函数()sin()f x A ωx φ=+的解析式，五点法，三角函数的图象变换、最值，不等式恒成立问题．
22．（1）单调递增区间为1(,)2+∞，1(,0)2-，单调递减区间为1(,)2-∞-，1(0,)2
；
（2）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧
-<<⎪⎪
⎪
=--≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
【解析】
试题分析：（1）函数()f x 实际上是偶函数，可求出在0x ≥时的单调区间，利用对称得出
另一半的单调区间，也可化函数为分段函数的一般表示法为()f x 2213(),024
13(),024
x x x x ⎧
-+≥⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，
利用二次函数的单调性得结论；（2）0a >，当[1,2]x ∈时，
2211
()21()2124f x ax x a a x a a a
=-+-=-
+--，这是二次函数在给定区间上的最值问题，要按对称轴在区间左边，在区间内，在区间右边分类讨论．
试题解析：（1）1a =，22
21,0()||11,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩2213(),02413(),024
x x x x ⎧
-+≥⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，
∴()f x 的单调递增区间为1(,)2
+∞，1
(,0)2
-，
()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞-，1
(0,)2
．
（2）由于0a >，当[1,2]x ∈时，2211()21()2124f x ax x a a x a a a
=-+-=-
+--， 01，1012a <
<，即1
2a >，()f x 在[1,2]为增函数，()(1)32g a f a ==-， 02，1122a ≤≤，即1142a ≤≤时，11
()()2124g a f a a a ==--，
03，122a >，即104
a <<时，()f x 在[1,2]上是减函数，()(2)63g a f a ==-，
综上可得：163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧
-<<⎪⎪
⎪
=--≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
．
考点：分段函数的单调性，二次函数的单调性，二次函数的最值．
【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．。